गणित का इतिहास

परिचय

गणित मानव जाति की सबसे पुरानी और सबसे स्थायी बौद्धिक उपलब्धियों में से एक है। प्रागैतिहासिक शिकारियों द्वारा शिकार का हिसाब रखने के लिए हड्डियों पर खरोंचे गए शुरुआती निशानों से लेकर, बीसवीं सदी के तर्कशास्त्रियों और ज्यामितिशास्त्रियों द्वारा निर्मित अमूर्त तर्कणा के विशाल भवनों तक, गणित की कहानी मानव सभ्यता की कहानी से अलग नहीं की जा सकती। कोई अन्य विषय इतनी चुपचाप और इतनी गहराई से इस बात को आकार नहीं दे पाया कि लोग ब्रह्मांड को कैसे समझते हैं, अपने शहर कैसे बनाते हैं, समुद्रों में दिशा कैसे तय करते हैं, व्यापार कैसे करते हैं और विज्ञान की सीमाओं को कैसे आगे बढ़ाते हैं। प्राचीन संख्या प्रणालियों से लेकर आधुनिक गणित और उसकी महानतम खोजों तक का संपूर्ण इतिहास मानव प्रयास, सरलता, असफलता और विजय के कम से कम पचास हजार वर्षों को समेटे हुए है।

गणित का इतिहास इतना आकर्षक इसलिए है क्योंकि यह केवल खोजे गए सूत्रों और सिद्ध किए गए प्रमेयों का विवरण मात्र नहीं है। यह उन मनुष्यों का अभिलेख है जो संख्या, स्थान, परिवर्तन और संरचना के गहनतम रहस्यों से जूझते रहे। विशाल महासागरों और सदियों से अलग पड़ी सभ्यताओं में एक जैसे गणितीय सत्य स्वतंत्र रूप से क्यों उभरे? भेड़ों को गिनने की साधारण क्रिया अंततः अनंत की अवधारणा तक कैसे पहुंची? प्राचीन मेसोपोटामिया में हिसाब-किताब रखने वाले व्यापारियों ने उस बीजगणित की नींव कैसे रखी जिसे छात्र आज भी स्कूल में पढ़ते हैं? ये प्रश्न गणितीय चिंतन के इतिहास को बौद्धिक इतिहास की सबसे समृद्ध कथाओं में से एक बनाते हैं।

गणित का विकास कभी भी एक सहज, रैखिक प्रगति नहीं रही। रचनात्मकता के विस्फोटक दौर के बाद समेकन या स्पष्ट ठहराव की लंबी सदियां आई हैं। गणितीय ज्ञान को अर्जित किया गया, खो दिया गया और पुनः खोजा गया। एक युग में जो विचार महज अमूर्त जिज्ञासाएं लगते थे, वे सदियों बाद ठीक वे औजार निकले जिनकी भौतिक ब्रह्मांड के वर्णन के लिए जरूरत थी। उन्नीसवीं सदी में अ-यूक्लिडीय ज्यामिति के आविष्कार को कई लोगों ने एक विशुद्ध सैद्धांतिक अभ्यास मानकर खारिज कर दिया, फिर भी यही Einstein के सामान्य सापेक्षता सिद्धांत की गणितीय भाषा बन गई। प्राचीन यूनानी गणितज्ञों को उलझाने वाला संख्या सिद्धांत आधुनिक क्रिप्टोग्राफी और सुरक्षित इंटरनेट संचार में अप्रत्याशित रूप से उपयोगी साबित हुआ।

यह लेख गणित के इतिहास के पूरे विस्तार का सर्वेक्षण करता है — गिनती की प्रागैतिहासिक उत्पत्ति से लेकर मेसोपोटामिया, मिस्र, यूनान, भारत, इस्लामी दुनिया और चीन की प्राचीन सभ्यताओं की महान उपलब्धियों तक, कलन की महान क्रांति और उन्नीसवीं एवं बीसवीं सदी में गणितीय विषयों के असाधारण प्रसार से होते हुए, उन गहन चुनौतियों और अनसुलझी समस्याओं तक जो आज भी गणितज्ञों के सामने खड़ी हैं। इस यात्रा में यह लेख इतिहास के महानतम गणितीय मस्तिष्कों का परिचय देता है, यह जांचता है कि गणित ने रोजमर्रा की जिंदगी को कैसे आकार दिया है, और उन अनसुलझे रहस्यों पर विचार करता है जो मानव ज्ञान की सीमा से अभी भी इशारा कर रहे हैं।

गणित को कभी-कभी विज्ञानों की रानी कहा जाता है — यह वाक्यांश Carl Friedrich Gauss को जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो उन्नीसवीं सदी के सर्वोच्च गणितीय प्रतिभाओं में से एक थे। इसे उतनी ही उचित रूप से समस्त विज्ञानों का सेवक भी कहा जा सकता है, क्योंकि प्राकृतिक अन्वेषण की कोई भी शाखा गणितज्ञ के औजारों से उधार लिए बिना अधिक आगे नहीं बढ़ सकी। यह समझना कि वे औजार सहस्राब्दियों में कैसे जुटाए, परिष्कृत और विस्तारित किए गए, मानव सभ्यता के ताने-बाने में एक केंद्रीय धागे को समझना है।

प्रागैतिहासिक गणित और गिनती

लिखाई के आविष्कार से बहुत पहले, मेसोपोटामिया और मिस्र की नदियों के किनारे पहले शहर बसने से पहले, मनुष्य गणित का अभ्यास कर रहे थे। प्रमाण अधूरे हैं लेकिन निर्विवाद हैं: हड्डियों और पत्थरों पर खुदे गए गणना चिह्न, वस्तुओं की ऐसी व्यवस्थाएं जो जानबूझकर गिनती का संकेत देती हैं, और गुफा की दीवारों पर बनाए गए ज्यामितीय चित्र यह दर्शाते हैं कि गणितीय सोच कोई हालिया या विशेष उपलब्धि नहीं बल्कि मानव मस्तिष्क की एक मूलभूत विशेषता है।

सबसे पुराना ज्ञात गणितीय कलाकृति लेबोम्बो हड्डी है, जो एक बबून की फिबुला हड्डी है और स्वाज़ीलैंड तथा दक्षिण अफ्रीका की सीमा पर स्थित लेबोम्बो पर्वतों में खोजी गई थी। यह हड्डी लगभग 43,000 वर्ष पुरानी है और इस पर उनतीस अलग-अलग निशान बने हैं, जो एक सुनियोजित गिनती की तरह प्रतीत होते हैं। कुछ शोधकर्ताओं का अनुमान है कि ये निशान किसी चंद्र पंचांग से मेल खाते हैं, जबकि अन्य इसे शिकार किए गए जानवरों या अन्य मात्राओं का हिसाब रखने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक सामान्य गिनती उपकरण मानते हैं। इसका मूल उद्देश्य चाहे जो भी रहा हो, लेबोम्बो हड्डी यह सिद्ध करती है कि मनुष्य दसियों हज़ार वर्ष पहले से ही व्यवस्थित गणना में संलग्न थे।

उतनी ही उल्लेखनीय है इशांगो हड्डी, जो उस क्षेत्र में सेम्लिकी नदी के पास मिली थी जो आज कांगो लोकतांत्रिक गणराज्य है। लगभग 20,000 वर्ष पुराना यह उपकरण भी एक बबून की फिबुला हड्डी से बना है और इस पर निशानों के तीन स्तंभ हैं, जिन्होंने गणितज्ञों और मानवविज्ञानियों दोनों को समान रूप से आकर्षित किया है। एक स्तंभ में संख्याओं को दोगुना करने के क्रम दिखाई देते हैं। दूसरे स्तंभ में ऐसे निशान हैं जो दस और बीस के बीच की अभाज्य संख्याओं से मेल खाते प्रतीत होते हैं। चाहे इशांगो हड्डी बनाने वाले को अभाज्य संख्याओं की किसी अमूर्त अवधारणा की समझ थी या नहीं, निशानों की व्यवस्थित संरचना एक ऐसी गणितीय जागरूकता का संकेत देती है जो सामान्य गिनती से कहीं आगे जाती है।

बुनियादी गिनती की सार्वभौमिकता स्वयं में एक गहरा गणितीय तथ्य है। सभी ज्ञात मानव संस्कृतियाँ, चाहे वे कितनी भी एकाकी क्यों न रही हों, अपने परिवेश की वस्तुओं की गिनती के लिए पर्याप्त संख्या प्रणालियाँ रखती हैं। अधिकांश भाषाओं में कम से कम एक से दस तक की संख्याओं के लिए शब्द हैं, और अनेक भाषाविदों का मानना है कि दशमलव आधारित संख्या प्रणालियों का व्यापक प्रचलन इस जैविक तथ्य को दर्शाता है कि मनुष्यों के दस उँगलियाँ होती हैं। ऐतिहासिक रूप से अन्य आधारों का भी उपयोग हुआ है। प्राचीन मेसोपोटामिया के सुमेरियों ने साठ-आधारित प्रणाली विकसित की, जिसकी विरासत आज भी हमारे घंटे को साठ मिनटों में और वृत्त को तीन सौ साठ अंशों में विभाजित करने की परंपरा में जीवित है। मध्य अमेरिका के माया लोग स्वतंत्र रूप से बीस-आधारित प्रणाली तक पहुँचे, जो संभवतः उँगलियों और पैर की उँगलियों दोनों की गिनती को दर्शाती है।

औपचारिक संख्या प्रणालियाँ उभरने से पहले, प्रागैतिहासिक लोग संभवतः एक-से-एक पत्राचार को अपने प्राथमिक गणितीय उपकरण के रूप में उपयोग करते थे। भेड़ों का हिसाब रखने वाला एक चरवाहा चरागाह में जाने वाले प्रत्येक जानवर के लिए एक थैली में एक पत्थर रख सकता था और दिन के अंत में लौटने वाले प्रत्येक जानवर के लिए एक पत्थर निकाल सकता था। दोनों समूहों की वस्तुओं को संख्याएँ निर्धारित किए बिना मिलाने की यह प्रक्रिया मात्रात्मक तर्कशक्ति का सबसे आदिम रूप है, और यह मूल संख्या की गणितीय अवधारणा — अर्थात किसी समुच्चय के आकार के माप — को पूरी तरह एक भौतिक प्रक्रिया में समाहित करती है।

ज्यामितीय सोच की जड़ें भी प्रागैतिहासिक काल में बहुत गहरी प्रतीत होती हैं। फ्राँस में लास्को और स्पेन में अल्तामिरा की गुफा चित्रकारियाँ, जो पंद्रह हज़ार से बीस हज़ार वर्ष पुरानी हैं, अनुपात और स्थानिक व्यवस्था की एक परिष्कृत समझ को दर्शाती हैं। इंग्लैंड में स्टोनहेंज जैसे महापाषाण स्मारकों का निर्माण, जो लगभग 3000 ईसा पूर्व में शुरू हुआ, दूरियाँ मापने, वृत्त बनाने और संरचनाओं को खगोलीय सटीकता के साथ संरेखित करने की क्षमता की माँग करता था। इन स्मारकों के निर्माताओं के पास किसी औपचारिक अर्थ में लिखित गणित नहीं था, फिर भी उनके पास स्पष्ट रूप से ज्यामिति का एक सुदृढ़ व्यावहारिक ज्ञान था जो अनेक पीढ़ियों में संचित और हस्तांतरित होता आया था।

विशुद्ध रूप से सहज ज्ञान पर आधारित और व्यावहारिक गणितीय ज्ञान से व्यवस्थित गणित के रूप में पहचाने जाने योग्य किसी चीज़ की ओर यह संक्रमण, स्थायी कृषि सभ्यताओं के उदय के साथ-साथ हुआ। जब लोगों ने खेती करना, अनाज का अधिशेष संग्रहीत करना, उत्तराधिकारियों के बीच भूमि का बँटवारा करना, किसी केंद्रीय सत्ता को कर चुकाना और लंबी दूरी पर वस्तुओं का व्यापार करना शुरू किया, तो उनकी गणितीय क्षमताओं पर माँगें बेतहाशा बढ़ गईं। केवल गिनती करना अब पर्याप्त नहीं रहा। लोगों को क्षेत्रफल मापने, आयतन की गणना करने, बुवाई के कैलेंडर के लिए खगोलीय चक्रों का अनुसरण करने और लेन-देन को इस तरह दर्ज करने की ज़रूरत थी जिसे बाद में सत्यापित किया जा सके। इन्हीं व्यावहारिक आवश्यकताओं ने पहली औपचारिक गणितीय प्रणालियों के विकास को प्रेरित किया, जो लगभग एक साथ मेसोपोटामिया और मिस्र में लगभग पाँच हज़ार वर्ष पहले उभरीं।

इस प्रकार, गणित का इतिहास अपने पूर्ण अर्थ में महान नदी घाटी सभ्यताओं से आरंभ होता है, परंतु यह प्रागैतिहासिक गणितीय अभ्यास की एक कहीं अधिक प्राचीन नींव पर टिका है जो मानव चेतना की उत्पत्ति तक जाती है। हर वह बच्चा जो गिनती सीखता है, वह एक अत्यंत प्राचीन बौद्धिक उपलब्धि को दोहरा रहा होता है — एक ऐसी उपलब्धि जो मनुष्य को अन्य प्रजातियों से अलग करती है और जिसने पिरामिडों से लेकर स्मार्टफोन तक सब कुछ संभव बनाया है।

प्राचीन मेसोपोटामियाई गणित

टिगरिस और यूफ्रेटीस नदियों के बीच पनपी सभ्यता, जो आज इराक है, ने गणित के पहले विस्तृत लिखित अभिलेख प्रस्तुत किए। प्राचीन मेसोपोटामियाई लोगों, विशेषकर सुमेरियों और बाद में बेबीलोनियों ने, एक अत्यंत परिष्कृत गणितीय परंपरा विकसित की जो दो हज़ार से अधिक वर्षों तक फली-फूली और जिसका प्रभाव आज भी उस तरीके में महसूस किया जा सकता है जिससे हम समय और कोणों को मापते हैं।

मेसोपोटामियाई गणित को मिट्टी की पट्टिकाओं पर एक कील के आकार की लेखनी से अंकित किया जाता था, जिस लिपि को क्यूनिफॉर्म कहा जाता है। इराक में विभिन्न स्थलों से ऐसी हज़ारों पट्टिकाएँ खुदाई में मिली हैं, और जिनमें गणितीय सामग्री है वे साधारण गुणन सारणियों और व्युत्क्रमों की सूचियों से लेकर द्विघात समीकरणों और ज्यामितीय परिकलनों से जुड़ी जटिल समस्याओं तक की हैं। ये पट्टिकाएँ लिपिक विद्यालयों में तैयार की जाती थीं जहाँ युवाओं को मेसोपोटामियाई राज्य और मंदिर की अर्थव्यवस्था की सेवा के लिए आवश्यक प्रशासनिक और बौद्धिक कलाओं में प्रशिक्षित किया जाता था। इस संदर्भ में गणित मूल रूप से एक व्यावहारिक विषय था: लिपिकों को अनाज के राशन की गणना करनी होती थी, सिंचाई नहरों की योजना बनानी होती थी, खेतों के क्षेत्रफल का बँटवारा करना होता था और कर के अभिलेख तैयार करने होते थे।

मेसोपोटामियाई गणित की सबसे विशिष्ट विशेषता साठ आधार वाली, अर्थात षष्टाधारी, स्थानीय मान अंकन प्रणाली का उपयोग है। किसी स्थानीय मान प्रणाली में, किसी अंक का मान केवल इस बात पर नहीं बल्कि इस पर भी निर्भर करता है कि वह संख्या में कहाँ आता है। बेबीलोनियों के पास अंकों के लिए केवल दो अलग क्यूनिफॉर्म चिह्न थे: एक जो एक के मान को दर्शाता था और एक जो दस के मान को। एक से उनसठ के बीच की संख्याएँ इन चिह्नों को विभिन्न तरीकों से मिलाकर व्यक्त की जाती थीं। साठ और उससे अधिक के मानों के लिए, लिपिकों ने एक स्थानीय परिपाटी का उपयोग किया जिसमें वही चिह्न स्थान बदलकर साठ की क्रमिक घातों से गुणन को दर्शाते थे। यही स्थानीय मान का तर्क आज हम जिस दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं उसके मूल में है, लेकिन दस के बजाय साठ के आधार पर काम करती है।

उल्लेखनीय रूप से, बेबीलोनी लंबे समय तक स्थानधारक के रूप में शून्य के चिह्न के बिना काम करते रहे, जिससे उनकी संकेत पद्धति कभी-कभी अस्पष्ट हो जाती थी। क्यूनिफॉर्म प्रणाली के एक परवर्ती संस्करण में एक स्थानधारक प्रतीक ज़रूर पेश किया गया, हालाँकि यह आधुनिक गणित के शून्य से अलग तरह से काम करता था और इसे अपने आप में एक संख्या नहीं माना जाता था। शून्य को एक संख्या के रूप में पूर्ण रूप से विकसित करने का कार्य कई शताब्दियों बाद भारत के गणितज्ञों की प्रतीक्षा में था।

बेबीलोनियाई पट्टिकाओं की गणितीय सामग्री किसी भी पैमाने पर प्रभावशाली है। लिपिकों ने वर्गों, वर्गमूलों, घनों और घनमूलों की विस्तृत तालिकाएँ तैयार कीं, साथ ही उन व्युत्क्रमों की भी जो गुणन के माध्यम से भाग करने के लिए आवश्यक थीं। उन्होंने आयतों, त्रिभुजों और समलंबों के क्षेत्रफल की गणना की। वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच उस संबंध से परिचित थे जिसे आज पाइथागोरस प्रमेय के नाम से जाना जाता है — और यह प्राचीन यूनान में Pythagoras के जन्म से सदियों पहले की बात है। Plimpton 322 नाम से प्रसिद्ध एक पट्टिका, जो लगभग 1800 BCE की है, में पाइथागोरसीय त्रिक की एक तालिका है — तीन पूर्णांकों के ऐसे समूह जो समकोण त्रिभुज को नियंत्रित करने वाले समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यह इस बात का संकेत देती है कि बेबीलोनियाई गणितज्ञ न केवल इस संबंध से परिचित थे, बल्कि उन्होंने ऐसे त्रिकों को उत्पन्न करने की व्यवस्थित विधियाँ भी विकसित कर ली थीं।

बेबीलोनियाई उन समस्याओं को भी हल करने में सक्षम थे जिन्हें आज हम बीजगणितीय समस्याएँ कहते हैं। उनका तरीका आधुनिक अर्थों में प्रतीकात्मक नहीं था — वे अक्षरों और अमूर्त चरों के बजाय सब कुछ शब्दों और विशिष्ट संख्याओं में व्यक्त करते थे। लेकिन उनके समाधानों की तार्किक संरचना आधुनिक बीजगणितीय तर्कशैली के बहुत करीब है। वे वर्ग पूर्ण करने की विधि के समकक्ष प्रक्रिया का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल कर सकते थे। उन्होंने दो अज्ञात राशियों वाली समस्याओं को संभाला, जो अनिवार्य रूप से युगपत समीकरणों को हल करना था। कुछ पट्टिकाओं में घन समीकरण और प्रारंभिक संख्या सिद्धांत जैसी समस्याएँ भी मिलती हैं।

बेबीलोनियाई गणित की सर्वाधिक चर्चित उपलब्धियों में से एक है दो के वर्गमूल का उनका सन्निकटन। लगभग 1700 BCE की एक छोटी मिट्टी की पट्टिका पर एक वर्ग बना है जिसमें उसके विकर्ण खींचे गए हैं, और विकर्ण पर एक संख्यात्मक मान अंकित है जो दो के वर्गमूल के पाँच दशमलव स्थानों तक सटीक है। यह सन्निकटन, 1.41421..., आधुनिक संगणना साधनों के बिना किसी सभ्यता के लिए उल्लेखनीय रूप से सटीक है, और यह इस बात का प्रमाण है कि बेबीलोनियाई उन राशियों से गहराई से जुड़े थे जिन्हें हम आज अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं — भले ही वे उन्हें इस रूप में नहीं समझते थे।

बेबीलोनियाई खगोल विज्ञान और गणित गहराई से एक-दूसरे से जुड़े हुए थे। चंद्र और सौर चक्रों की भविष्यवाणी, ग्रहों के उदय और अस्त को दर्ज करने वाली खगोलीय तालिकाओं का संकलन, और पंचांग के विकास के लिए परिष्कृत गणितीय प्रतिरूपण की आवश्यकता थी। बेबीलोनियाई खगोलशास्त्रियों ने अंततः ग्रहों की स्थितियों की काफी सटीक भविष्यवाणी करने के लिए अंकगणितीय प्रक्रियाएँ विकसित कीं — यह कार्य यूनानी और बाद में इस्लामी खगोल विज्ञान को प्रभावित करने वाला था, और प्राकृतिक घटनाओं के व्यवस्थित वर्णन में गणितीय उपकरणों के प्रयोग के सबसे प्रारंभिक उदाहरणों में से एक है।

विश्व इतिहास में मेसोपोटामियाई गणित की विरासत अत्यंत विशाल है। प्राचीन मेसोपोटामियाइयों द्वारा आविष्कृत साठ-आधारित संख्या प्रणाली असाधारण रूप से टिकाऊ सिद्ध हुई है। आज, अंतिम क्यूनिफॉर्म पट्टिका बनाए जाने के हजारों वर्षों बाद भी, हम एक घंटे को साठ मिनटों में, एक मिनट को साठ सेकंडों में, और पूरे वृत्त को तीन सौ साठ डिग्री में विभाजित करते हैं — ये सभी परंपराएँ प्राचीन इराक के गणितज्ञों से सीधे विरासत में मिली हैं।

प्राचीन मिस्र का गणित

नील नदी के किनारे, प्राचीन मिस्र की सभ्यता ने अपनी स्वयं की गणितीय परंपरा विकसित की जो, यद्यपि मेसोपोटामिया जितनी बीजगणितीय दृष्टि से परिष्कृत नहीं थी, फिर भी अपनी एक विशेष सुंदरता लिए हुए थी और उसने उल्लेखनीय व्यावहारिक परिणाम प्राप्त किए। मिस्र का गणित मुख्यतः दो जीवित पेपिरसों — Rhind Mathematical Papyrus और Moscow Mathematical Papyrus — तथा कुछ अन्य दस्तावेजों में संरक्षित है। ये स्रोत हमें इस बात की स्पष्ट तस्वीर देते हैं कि मिस्री लिपिक गणितीय समस्याओं से कैसे निपटते थे और प्राचीन मिस्री समाज में एक शिक्षित पेशेवर से किस स्तर के गणितीय ज्ञान की अपेक्षा की जाती थी।

राइंड मैथमेटिकल पैपिरस, जो लगभग 1550 ईसा पूर्व का है, लेकिन जाहिर तौर पर लगभग 1650 ईसा पूर्व के किसी पुराने स्रोत से नकल किया गया था, प्राचीन मिस्री गणित को समझने के सबसे बेहतरीन स्रोतों में से एक है। स्कॉटिश पुरावशेष-संग्राहक Alexander Henry Rhind के नाम पर रखा गया यह पैपिरस उन्होंने 1858 में खरीदा था। इसमें चौरासी गणितीय समस्याएँ और उनके हल दिए गए हैं, जिनमें अंकगणित, ज्यामिति और आज के दौर में जिसे हम रैखिक समीकरण कहते हैं, जैसे विषय शामिल हैं। इसकी शुरुआती पंक्तियाँ इसे सभी विद्यमान वस्तुओं के ज्ञान और सभी अस्पष्ट रहस्यों की मार्गदर्शिका बताती हैं — यह गणित को एक गूढ़ व्यावहारिक ज्ञान के रूप में प्रस्तुत करने का एक विशिष्ट मिस्री तरीका था।

मिस्री अंकगणित हमारी तरह ही दशमलव प्रणाली पर आधारित था, लेकिन इसमें स्थानीय मान की पद्धति का उपयोग नहीं होता था। इसके बजाय, मिस्रवासी दस की हर घात के लिए अलग-अलग चित्रलिपि (हाइरोग्लिफिक) प्रतीकों का इस्तेमाल करते थे: एक, दस, एक सौ, एक हजार, दस हजार, एक लाख और दस लाख। कोई भी संख्या लिखने के लिए, लिपिक इन प्रतीकों को आपस में मिलाते थे और जितनी बार जरूरत हो, उतनी बार उसी प्रतीक को दोहराते थे। इस प्रणाली में जोड़ काफी सहज है: बस दो संख्याओं के प्रतीकों को मिला दो और जरूरत पड़ने पर एक इकाई के दस प्रतीकों को अगली बड़ी इकाई के एक प्रतीक से बदल दो।

मिस्री गणित में गुणा और भाग की प्रक्रिया बार-बार दोगुना करने और आधा करने के जरिए की जाती थी, जिसे कभी-कभी क्रमिक द्विगुणन विधि या रशियन पेज़ेंट एल्गोरिदम भी कहा जाता है। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, लिपिक एक संख्या को बार-बार दोगुना करते हुए एक सूची बनाता था और फिर उस सूची में से वे प्रविष्टियाँ चुनता था जिनका योग दूसरी संख्या के बराबर हो, और उनसे संबंधित पहली संख्या के दोगुने मानों को जोड़कर गुणनफल प्राप्त करता था। यह विधि किसी भी दो पूर्ण संख्याओं के लिए काम करती है और इसके लिए केवल संख्याओं को दोगुना करने और जोड़ने की क्षमता चाहिए — ये दोनों कौशल किसी भी प्रशिक्षित लिपिक की पहुँच में थे।

मिस्री भिन्नों को इकाई भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता था, यानी ऐसी भिन्नें जिनका अंश एक हो। मिस्रवासियों के पास दो-तिहाई भिन्न के लिए एक विशेष चिह्न था, लेकिन बाकी सभी भिन्नों को अलग-अलग इकाई भिन्नों के योग में तोड़ा जाता था। उदाहरण के लिए, जिसे हम तीन-चौथाई लिखते हैं, उसे एक-आधा जमा एक-चौथाई के रूप में व्यक्त किया जाता था। राइंड पैपिरस की शुरुआत एक तालिका से होती है जो तीन से लेकर एक सौ एक तक की विषम संख्याओं से दो को विभाजित करने पर मिलने वाली भिन्नों को इकाई भिन्नों के योग में व्यक्त करती है। इन विभाजनों को तैयार करने के लिए काफी कुशलता की जरूरत होती है, और तालिका में चुने गए विशेष विभाजन अक्सर पदों की संख्या को न्यूनतम रखते हैं या हर को छोटा रखते हैं — यह संकेत करता है कि मिस्री गणितज्ञों की भिन्नों को व्यक्त करने के तरीके को लेकर अपनी सौंदर्यपरक प्राथमिकताएँ थीं।

मिस्री ज्यामिति मुख्य रूप से व्यावहारिक जरूरतों से प्रेरित थी, जिनमें सबसे प्रसिद्ध जरूरत नील नदी की वार्षिक बाढ़ के बाद खेतों की सीमाएँ दोबारा स्थापित करने की थी, क्योंकि बाढ़ में सीमा चिह्न बह जाते थे। "ज्यामिति" शब्द खुद ग्रीक भाषा के "पृथ्वी" और "माप" के शब्दों से आया है, जो इस विषय और भूमि के व्यावहारिक सर्वेक्षण के बीच के इस पुराने संबंध को दर्शाता है। मिस्री लिपिक त्रिभुज, आयत और समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल सटीकता के साथ निकाल सकते थे। वे एक ऐसे सूत्र से वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान लगाते थे जो उस वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के समतुल्य था जिसकी भुजा वृत्त के व्यास की आठ-नौवीं हो। इससे पाई (pi) का एक अंतर्निहित मान लगभग 3.1605 प्राप्त होता था, जो व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए एक बहुत अच्छा सन्निकटन था।

मिस्र की व्यावहारिक ज्यामिति का सबसे चौंकाने वाला उदाहरण शायद मॉस्को मैथमेटिकल पेपिरस में मिलता है, जिसमें एक कटे हुए पिरामिड यानी फ्रस्टम का आयतन निकालने का सूत्र दिया गया है। उस पेपिरस के चौदहवें प्रश्न में वर्गाकार आधार वाले फ्रस्टम का सही आयतन-सूत्र दिया गया है, जो उसकी ऊँचाई और दोनों वर्गाकार फलकों की भुजाओं की लंबाई के आधार पर व्यक्त किया गया है। यह कोई साधारण परिणाम नहीं है — इसे समझने के लिए गहरी गणितीय सूझबूझ चाहिए, और यह तथ्य कि यह मूलतः एक लिपिकीय प्रशिक्षण पुस्तिका में दर्ज है, यह बताता है कि यह मिस्री पेशेवरों के कार्यकारी गणितीय ज्ञान का हिस्सा था। मिस्रवासियों ने यह सूत्र कैसे निकाला, यह अभी भी अनिश्चित है, क्योंकि उन्होंने अपनी तर्क-प्रक्रिया कहीं नहीं लिखी — केवल प्रक्रियात्मक चरण और उत्तर ही दर्ज किए।

मिस्री गणित का स्वभाव मुख्यतः व्यावहारिक और प्रक्रियात्मक था। मिस्री लिपिक स्थापित एल्गोरिदम का पालन करके समस्याएँ सुलझाते थे, और गणितीय पेपिरस में समस्याएँ और उनके हल तो दिए गए हैं, लेकिन यह शायद ही कभी समझाया गया है कि ये विधियाँ काम क्यों करती हैं। औपचारिक प्रमाण का यह अभाव मिस्री गणितीय परंपरा को बाद की यूनानी परंपरा से अलग करता है, जिसमें गणितीय सत्यों की कठोर प्रदर्शनी को केंद्रीय महत्त्व दिया गया था। फिर भी मिस्री गणित की व्यावहारिक उपलब्धियाँ असाधारण थीं, और पिरामिडों तथा अन्य विशाल संरचनाओं का निर्माण उस अनुप्रयुक्त ज्यामितीय ज्ञान का प्रमाण है जो सदियों से दर्शकों को विस्मित करता आया है।

प्राचीन यूनानी गणित और Euclid

गणित को व्यावहारिक गणनात्मक तकनीकों के संग्रह से एक कठोर निगमनात्मक विज्ञान में बदलना मानव इतिहास की सबसे गहरी बौद्धिक क्रांतियों में से एक था, और यह काम मुख्यतः प्राचीन यूनानियों ने लगभग चार सदियों की अवधि में किया — करीब 600 ईसा पूर्व से लेकर करीब 300 ईसा पूर्व तक। यूनानी गणितज्ञ पहले ऐसे लोग थे जिन्होंने यह माँग रखी कि गणितीय दावे केवल प्रक्रियात्मक रूप से प्रभावी नहीं होने चाहिए, बल्कि तार्किक रूप से सिद्ध होने चाहिए — यानी वैध तर्क-श्रृंखला द्वारा प्रथम सिद्धांतों से उनकी अनिवार्य सत्यता प्रमाणित होनी चाहिए। प्रमाण की यह माँग, जो आज गणित को एक अनुशासन के रूप में परिभाषित करती है, मानव विचार में यूनानियों का सबसे स्थायी योगदान था।

जिन प्रारंभिक यूनानी गणितज्ञों के नाम हम जानते हैं, उनका संबंध प्राचीन निकट पूर्व की व्यावहारिक और दार्शनिक परंपराओं से गहरा था। Thales of Miletus, जो लगभग 600 ईसा पूर्व के आसपास सक्रिय थे, को मिस्र से यूनान में ज्यामिति लाने और कई बुनियादी ज्यामितीय प्रमेयों को सिद्ध करने का श्रेय दिया जाता है — जिनमें यह प्रस्ताव शामिल है कि एक वृत्त उसके किसी भी व्यास द्वारा द्विभाजित होता है, और यह कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं। Thales ने इन परिणामों के वास्तव में औपचारिक प्रमाण दिए थे या केवल उन्हें अवलोकित तथ्यों के रूप में बताया था, यह इतिहासकारों में बहस का विषय है, लेकिन उन्हें गणितीय दावों के लिए तार्किक औचित्य खोजने की यूनानी परंपरा के प्रवर्तक के रूप में याद किया जाता है।

Pythagoreans, यानी Samos के Pythagoras के अनुयायी जो छठी शताब्दी ईसा पूर्व के उत्तरार्ध में सक्रिय थे, ने गणित को अपने दार्शनिक विश्वदृष्टिकोण का केंद्र बनाया। उनका मानना था कि संख्याएँ समस्त प्रकृति की मूलभूत वास्तविकता हैं, और यह कि अंकगणित, ज्यामिति, संगीत और खगोलशास्त्र का अध्ययन ज्ञान और यहाँ तक कि आत्मा की शुद्धि का मार्ग है। उनकी सबसे प्रसिद्ध गणितीय उपलब्धि — वह प्रमेय जो Pythagoras के नाम पर है और जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के वर्गों से संबंधित है — लगभग निश्चित रूप से उनसे पहले बेबीलोनियों और संभवतः भारतीयों को भी ज्ञात थी, लेकिन Pythagoreans ही पहले लोग प्रतीत होते हैं जिन्होंने इसे कठोर रूप से सिद्ध किया।

जिस खोज ने पाइथागोरसवादियों को गहरे संकट में डाल दिया, वह थी असंगत परिमाणों का अस्तित्व — जिसे हम आज अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं। एक इकाई भुजा वाले वर्ग का विकर्ण दो के वर्गमूल के बराबर होता है, और पाइथागोरसवादियों ने यह सिद्ध किया कि इस मान को दो पूर्ण संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। इस परिणाम ने पाइथागोरसवादियों की उस मान्यता को चकनाचूर कर दिया कि प्रकृति की सभी राशियाँ परस्पर तर्कसंगत अनुपात में हैं। प्राचीन परंपरा के अनुसार यह बात इतनी विचलित करने वाली मानी गई कि इसे गुप्त रखा गया, और पाइथागोरसवादी बंधुत्व के जिस सदस्य ने इसे बाहरी लोगों पर उजागर किया, उसे समुद्र में फेंक दिया गया।

पाँचवीं और चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में यूनानी गणितीय चिंतन का असाधारण विकास हुआ। Eudoxus of Cnidus, जो लगभग 370 ईसा पूर्व अपने चरमोत्कर्ष पर थे, ने क्षीणता की विधि (method of exhaustion) विकसित की — यह एक ऐसी तकनीक थी जिसके द्वारा वक्र आकृतियों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना, उन्हें ज्ञात क्षेत्रफल वाली सीधी रेखाओं से बनी आकृतियों के क्रमों से अनुमानित करके की जाती थी। यह विधि Newton और Leibniz द्वारा दो हज़ार वर्ष बाद विकसित इंटीग्रल कलन की पूर्वगामी है। Eudoxus ने इसका उपयोग अन्य परिणामों के साथ-साथ यह सिद्ध करने के लिए किया कि गोलों के आयतन उनके व्यासों के घनों के अनुपात में होते हैं। Eudoxus ने अनुपात का एक सुदृढ़ सिद्धांत भी विकसित किया जो अपरिमेय परिमाणों को संभाल सकता था, जिससे यूनानी ज्यामिति के एक बड़े भाग को तार्किक आधार प्राप्त हुआ।

प्राचीन यूनानी गणित की सर्वोच्च कृति Euclid के Elements थे, जिनकी रचना लगभग 300 ईसा पूर्व मिस्र के अलेक्ज़ांद्रिया में हुई — जो उस समय उस हेलेनिस्टिक जगत का हिस्सा था जिसे Alexander the Great ने स्थापित किया था। Elements विचारों के इतिहास की सबसे प्रभावशाली पुस्तकों में से एक है। इसमें तेरह पुस्तकें हैं जो समतल ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, त्रि-आयामी ज्यामिति और अनुपात के सिद्धांत को समाहित करती हैं — सभी को एक निगमनात्मक प्रणाली के रूप में संगठित किया गया है जो परिभाषाओं, अभिधारणाओं और सामान्य धारणाओं की एक छोटी संख्या से आगे बढ़ते हुए सैकड़ों प्रमेयों तक पहुँचती है, जिनमें से प्रत्येक को पूर्ववर्ती से कठोरतापूर्वक व्युत्पन्न किया गया है।

Elements में Euclid की उपलब्धि मुख्यतः नए गणितीय परिणामों की खोज नहीं थी — उनमें से अधिकांश उनसे पहले ही ज्ञात थे — बल्कि यह थी कि उन्होंने विद्यमान गणितीय ज्ञान को एक सुसंगत निगमनात्मक प्रणाली में संगठित और तार्किक रूप से संहिताबद्ध किया। पाँच अभिधारणाओं के न्यूनतम समुच्चय की पहचान करके, जिनसे शेष समस्त ज्यामिति व्युत्पन्न की जा सकती थी, Euclid ने दर्शाया कि गणित को पूर्णतः कठोर और स्वतः पर्याप्त बनाया जा सकता है। उनकी पद्धति समस्त परवर्ती गणितीय विवेचना के लिए और किसी भी अन्वेषण क्षेत्र में तार्किक कठोरता के आदर्श के लिए एक प्रतिमान बन गई।

Euclid की पाँच अभिधारणाओं में से चार बिंदुओं, रेखाओं और वृत्तों के बारे में सरल और निर्विवाद कथन हैं। पाँचवीं अभिधारणा, जिसे समांतर अभिधारणा (parallel postulate) कहा जाता है, कहीं अधिक जटिल है: यह वस्तुतः यह कहती है कि किसी दी गई रेखा पर स्थित न होने वाले एक बिंदु से होकर उस दी गई रेखा के समांतर एकमात्र एक ही रेखा खींची जा सकती है। इस अभिधारणा की तार्किक स्थिति ने दो हज़ार से अधिक वर्षों तक गणितज्ञों को परेशान किए रखा, क्योंकि बहुतों को लगता था कि यह किसी स्वयंसिद्ध के रूप में काम करने के लिए अत्यधिक जटिल है और इसे शेष चार से एक प्रमेय के रूप में व्युत्पन्न किया जाना चाहिए। इस प्रश्न का अंतिम समाधान, उन्नीसवीं शताब्दी में गैर-यूक्लिडियन ज्यामितियों के विकास के माध्यम से, गणित के इतिहास की सबसे महत्त्वपूर्ण घटनाओं में से एक थी।

Elements में संख्या सिद्धांत के महत्त्वपूर्ण परिणाम भी हैं, जिनमें शामिल हैं: यह प्रमाण कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं; दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने का एक एल्गोरिदम (जिसे आज भी यूक्लिडियन एल्गोरिदम के नाम से जाना जाता है); और यह प्रमाण कि एक से बड़े प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अनिवार्यतः एक ही तरीके से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (अंकगणित का मूलभूत प्रमेय, यद्यपि Euclid ने इसे इस रूप में नहीं कहा था)। अभाज्य संख्याओं के प्राचीन यूनानी अध्ययन में इन परिणामों ने संख्या सिद्धांत के समस्त परवर्ती विकास की नींव रखी।

Pythagoras और पाइथागोरसवादी विद्यालय

Pythagoras of Samos का जन्म लगभग 570 ईसा पूर्व एजियन सागर के सामोस द्वीप पर हुआ था और उनकी मृत्यु लगभग 495 ईसा पूर्व दक्षिणी इटली के मेटापोंटम में हुई। वे एक दार्शनिक, धार्मिक गुरु और गणितज्ञ थे, जिनका पश्चिमी विचारधारा पर प्रभाव अतुलनीय रहा है — हालाँकि उनके व्यक्तिगत योगदान को उनके अनुयायियों के योगदान से अलग करना इतना कठिन है कि विचारों के इतिहास में उनकी जीवनी सबसे अधिक विवादित मानी जाती है। Pythagoras ने कोई लिखित रचना नहीं छोड़ी, और उनके बारे में जो कुछ भी हम जानते हैं, वह बाद के स्रोतों से आता है — जिनमें से कुछ उनकी मृत्यु के कई शताब्दियों बाद लिखे गए और उनकी विश्वसनीयता संदिग्ध है।

मिस्र, बेबीलोन और संभवतः प्राचीन विश्व के अन्य हिस्सों की यात्रा करने के बाद, Pythagoras आज के दक्षिणी इटली में स्थित क्रोटन में जा बसे और उन्होंने एक दार्शनिक बंधुत्व या विद्यालय की स्थापना की, जिसमें गणितीय अध्ययन को धार्मिक आचरण और नैतिक नियमों के साथ जोड़ा गया था। इस समुदाय के सदस्य कठोर आहार और व्यवहार संबंधी नियमों का पालन करते थे, संपत्ति को सामूहिक रूप से रखते थे, और विद्यालय की आंतरिक शिक्षाओं के बारे में गोपनीयता की शपथ से बंधे हुए थे। इस समुदाय का क्रोटन में काफी राजनीतिक प्रभाव था, जब तक कि पाँचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में इसकी शक्ति के विरुद्ध एक हिंसक प्रतिक्रिया के कारण इसका विघटन नहीं हो गया।

पाइथागोरस के अनुयायी पहले ऐसे विचारक थे जिन्होंने गणित को सर्वोच्च दार्शनिक महत्त्व के स्थान पर प्रतिष्ठित किया। उनका मूल सिद्धांत यह था कि संख्या ही समस्त वस्तुओं का मूल तत्त्व और सार है — कि ब्रह्मांड अपनी संरचना में मूलतः गणितीय है। यह विश्वास आंशिक रूप से संगीत के सामंजस्य में निहित गणितीय अनुपातों की खोज से प्रेरित था: पाइथागोरस के अनुयायियों ने पाया कि सुरीले संगीत अंतराल, कंपन करने वाली तारों की लंबाइयों के बीच सरल अनुपातों के अनुरूप होते हैं। यदि सामंजस्य जैसी कोई इतनी व्यक्तिपरक और सौंदर्यात्मक रूप से शक्तिशाली चीज़ को संख्या तक सीमित किया जा सकता है, तो शायद संपूर्ण ब्रह्मांड को भी किया जा सकता है।

पाइथागोरस प्रमेय — यह संबंध कि किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग, शेष दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है — इतिहास की सबसे प्रसिद्ध गणितीय प्रमेय है और Pythagoras के नाम पर है, हालाँकि जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह परिणाम उनसे एक हजार से अधिक वर्ष पहले बेबीलोनियाई गणितज्ञों को ज्ञात था। इस प्रमेय के पहले कठोर उपपत्ति का श्रेय पाइथागोरस के अनुयायियों को, या स्वयं Pythagoras को दिया जाता है। तब से अनेक अलग-अलग उपपत्तियाँ खोजी जा चुकी हैं और अब ज्ञात उपपत्तियों की संख्या सैकड़ों में है, लेकिन माना जाता है कि मूल पाइथागोरियन उपपत्ति क्षेत्रफलों की तुलना पर आधारित थी।

पाइथागोरस के विद्यालय ने अंकगणित में महत्त्वपूर्ण योगदान दिया और आकृति-संख्याओं के सिद्धांत का विकास किया — ऐसी संख्याएँ जिन्हें त्रिभुजाकार, वर्गाकार और पंचभुजाकार संख्याओं जैसी ज्यामितीय आकृतियों में व्यवस्थित किया जा सकता है। उन्होंने उन संख्याओं की जाँच की जिन्हें हम आज पूर्ण संख्याएँ, प्रचुर संख्याएँ और न्यून संख्याएँ कहते हैं — जो किसी संख्या और उसके उचित भाजकों के योग के बीच के संबंध पर आधारित हैं। छह एक पूर्ण संख्या है क्योंकि इसके उचित भाजक एक, दो और तीन का योग छह ही होता है। अट्ठाईस भी इसी कारण से पूर्ण है। प्राचीन यूनानी गणितज्ञों द्वारा इन संख्या-सैद्धांतिक अवधारणाओं का अध्ययन एक ऐसी अन्वेषण परंपरा की शुरुआत थी जो आज भी जारी है।

पाइथागोरस के विद्यालय से जुड़ी सबसे महत्त्वपूर्ण दार्शनिक गणितीय खोज अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व था — विशेष रूप से यह खोज कि दो का वर्गमूल दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। यह उपपत्ति अत्यंत सुंदर है: मान लीजिए कि दो का वर्गमूल अपने न्यूनतम रूप में p और q का भिन्न है, और यह दिखाकर एक विरोधाभास निकालिए कि p और q दोनों सम होने चाहिए — जो इस मान्यता का खंडन करता है कि भिन्न अपने न्यूनतम रूप में है। विरोधाभास द्वारा यह उपपत्ति, जो समस्त गणित में सबसे सुंदर उपपत्तियों में से एक है, यह प्रमाणित करती है कि संख्या रेखा पर ऐसे बिंदु हैं जिन्हें पूर्ण संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता — एक ऐसी खोज जिसने संख्याओं की समझ को मूल रूप से बदल दिया।

गणित और दर्शनशास्त्र के इतिहास में Pythagoras और उनके विद्यालय की विरासत अत्यंत गहरी है। यह दृष्टिकोण कि ब्रह्मांड मूलतः गणितीय है, जिसे Pythagoras और उनके अनुयायियों ने सबसे पहले स्पष्ट रूप से व्यक्त किया, पश्चिमी विज्ञान की एक मूलभूत मान्यता बन गई। Plato का यह विश्वास कि शाश्वत गणितीय रूप ही ब्रह्मांड में सबसे वास्तविक वस्तुएँ हैं, Pythagorean विचारधारा से गहराई से प्रभावित था। जब Galileo ने लिखा कि प्रकृति की पुस्तक गणित की भाषा में लिखी गई है, और जब आधुनिक भौतिकविद यह खोजते हैं कि अमूर्त गणितीय संरचनाएँ भौतिक जगत की सबसे गहरी विशेषताओं का वर्णन करती हैं, तो वे किसी न किसी अर्थ में उस Pythagorean अंतर्दृष्टि के उत्तराधिकारी हैं जो यह मानती है कि संख्या ही सभी वस्तुओं का मूल सिद्धांत है।

Archimedes और अनुप्रयुक्त गणित

Syracuse के Archimedes, जो लगभग 287 ईसा पूर्व से 212 ईसा पूर्व तक जीवित रहे, व्यापक रूप से प्राचीन काल के सबसे महान गणितज्ञ और समस्त इतिहास की महानतम गणितीय प्रतिभाओं में से एक माने जाते हैं। सिसिली द्वीप पर स्थित यूनानी नगर Syracuse में जन्मे Archimedes ने अपना अधिकांश जीवन वहीं बिताया, जहाँ वे एक गणितज्ञ, भौतिकविद, अभियंता और आविष्कारक के रूप में कार्यरत रहे। उनकी गणितीय उपलब्धियाँ अपनी व्यापकता और गहराई में असाधारण थीं, जो शुद्ध ज्यामिति, अनुप्रयुक्त यांत्रिकी और क्षेत्रफल, आयतन तथा गुरुत्व केंद्र की गणना के लिए एक प्रारंभिक कलन-जैसी विधि तक फैली हुई थीं।

वृत्त के मापन पर Archimedes का कार्य प्राचीन गणित की महान उपलब्धियों में से एक है। निःशेषण की विधि का उपयोग करते हुए — जिसमें pi के मान को संकुचित होती हुई सीमाओं के बीच घेरने के लिए बढ़ती हुई भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों को वृत्त के भीतर और बाहर रखा जाता है — उन्होंने यह सिद्ध किया कि pi का मान तीन और दस इकहत्तरवें के बीच तथा तीन और एक-सातवें के बीच है, अर्थात् लगभग 3.1408 और 3.1429 के बीच। यह कठोर गणितीय तर्क के माध्यम से pi का अब तक का सबसे सटीक अनुमान था, और छियानवे भुजाओं वाले बहुभुजों द्वारा ऊपर और नीचे से उसे घेरने की उनकी विधि एक अद्भुत गणनाशैली का प्रमाण है।

उनके ग्रंथ On the Sphere and Cylinder में दो अत्यंत महत्त्वपूर्ण परिणाम सिद्ध किए गए: पहला, कि किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल उस गोले के महान वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना होता है, और दूसरा, कि गोले का आयतन उस सबसे छोटे बेलन के आयतन का दो-तिहाई होता है जो उसे अपने भीतर समा सके। Archimedes को इन परिणामों पर इतना गर्व था कि उन्होंने कथित रूप से यह इच्छा व्यक्त की थी कि उनकी समाधि पर एक बेलन के भीतर उत्कीर्ण गोले का चित्र बनाया जाए। रोमन राजनेता Cicero ने, Archimedes की मृत्यु के लगभग डेढ़ सौ वर्ष बाद Syracuse की यात्रा के दौरान, दावा किया कि उन्होंने इस समाधि को खोजकर उसका जीर्णोद्धार कराया, और उस पर बनी ज्यामितीय आकृति से उसे पहचाना।

On Spirals में Archimedes ने उस वक्र का अध्ययन किया जिसे आज Archimedean spiral के नाम से जाना जाता है — वह वक्र जो किसी ऐसी किरण पर स्थिर गति से चलने वाले बिंदु द्वारा अंकित होता है जो स्वयं भी स्थिर गति से घूम रही हो। उन्होंने इस वक्र से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफलों के बारे में ऐसे परिणाम सिद्ध किए जिनके लिए उन गणनाओं की आवश्यकता थी जो आज कलन में समाकलन के माध्यम से की जाती हैं। Quadrature of the Parabola में उन्होंने एक परवलयिक खंड का क्षेत्रफल परिकलित किया और सिद्ध किया कि यह समान आधार और ऊँचाई वाले उत्कीर्ण त्रिभुज के क्षेत्रफल का चार-तिहाई होता है। इस कृति में उनकी विधि में एक गुणोत्तर श्रेणी का योग सम्मिलित था, जो परवर्ती विश्लेषण का एक और अग्रदूत है।

सामान्य जन में Archimedes सबसे अधिक उस कहानी के लिए प्रसिद्ध हैं जो उनकी उस खोज से जुड़ी है जिसे आज Archimedes का सिद्धांत कहा जाता है: कि किसी तरल में डूबी हुई वस्तु पर एक ऊर्ध्वमुखी उत्प्लावन बल लगता है जो उसके द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है। प्राचीन कथा के अनुसार, यह खोज उन्हें तब हुई जब वे स्नान के लिए टब में उतर रहे थे; उन्हें तत्काल इसका महत्त्व समझ आया कि इससे Syracuse के राजा Hiero II के लिए बनाए गए सोने के मुकुट की शुद्धता से संबंधित एक समस्या हल की जा सकती है, और वे नगर की गलियों में नग्न दौड़ते हुए "Eureka, I have found it" — मैंने खोज लिया — चिल्लाने लगे। इस कहानी की ऐतिहासिक प्रामाणिकता पर विवाद है, किंतु सिद्धांत स्वयं उनके ग्रंथ On Floating Bodies में कठोरता से स्थापित है, जो उस विज्ञान का पहला व्यवस्थित ग्रंथ है जिसे हम आज तरल स्थैतिकी कहते हैं।

यांत्रिकी के क्षेत्र में, Archimedes ने लीवर का पहला कठोर गणितीय विश्लेषण प्रस्तुत किया — उन्होंने मूल सिद्धांतों से लीवर के नियम को सिद्ध किया और यह दर्शाया कि संतुलन में रहने के लिए लीवर के दोनों ओर रखे गए भार, आधार बिंदु (फुलक्रम) से उनकी दूरियों के व्युत्क्रमानुपाती होने चाहिए। उनका यह दावा कि यदि उन्हें खड़े होने की कोई जगह मिल जाए, तो वे एक लंबे लीवर से पृथ्वी को भी हिला सकते हैं — यह कथन बल को कई गुना बढ़ाने की लीवर की शक्ति को बखूबी दर्शाता है। उन्होंने घिरनी, पेंच और अन्य यांत्रिक उपकरणों पर भी लिखा, और उन्होंने युद्ध मशीनें भी बनाई जिनमें गुलेल (कैटापल्ट) शामिल थे। बाद के स्रोतों के अनुसार उन्होंने दर्पणों या जलाने वाले लेंसों की ऐसी व्यवस्था भी बनाई थी जिससे रोमन जहाजों को आग लगाई जा सके, हालाँकि इस अंतिम दावे की व्यावहारिकता पर इतिहासकारों में मतभेद है।

Archimedes की मृत्यु 212 ईसा पूर्व में सिरैक्यूज़ पर रोमन घेराबंदी के दौरान हुई। सबसे प्रसिद्ध विवरण के अनुसार, एक रोमन सैनिक ने उन्हें रेत में ज्यामितीय आकृतियाँ बनाते हुए पाया और जब उन्होंने काम रोकने से मना कर दिया तो उसने उनकी हत्या कर दी — कहा जाता है कि उन्होंने कहा था, "मेरे वृत्तों को मत बिगाड़ो।" इस कहानी की सत्यता चाहे जो भी हो, उनकी मृत्यु ने प्राचीन यूनानी गणित के सबसे महान युग का अंत कर दिया। कई शताब्दियों तक उनके समकक्ष प्रतिभा का कोई गणितज्ञ सामने नहीं आया, और यह तर्कसंगत है कि उनकी गणितीय उपलब्धियों की पूरी गहराई की बराबरी या उससे आगे जाना सत्रहवीं शताब्दी में कलन (कैलकुलस) के विकास तक संभव नहीं हो सका।

भारतीय गणित और शून्य की संख्या

प्राचीन और मध्यकालीन भारत की गणितीय परंपरा विश्व इतिहास की सबसे मौलिक और उत्पादक परंपराओं में से एक है। भारतीय गणितज्ञों ने अंकगणित, बीजगणित, त्रिकोणमिति और क्रमचय-संचय (कॉम्बिनेटॉरिक्स) में मूलभूत योगदान दिया, और सबसे बढ़कर उन्होंने दुनिया को शून्य सहित दशमलव स्थानीय मान प्रणाली दी — जो गणित के इतिहास का सबसे महत्वपूर्ण आविष्कार है और आधुनिक गणना की नींव है।

भारत में गणितीय गतिविधि के सबसे पुराने प्रमाण सिंधु घाटी सभ्यता से मिलते हैं, जो लगभग 2500 से 1500 ईसा पूर्व के बीच उस क्षेत्र में फली-फूली जो आज पाकिस्तान और उत्तर-पश्चिमी भारत है। पुरातात्विक अवशेषों से एक परिष्कृत माप-तौल प्रणाली का पता चलता है जो द्विआधारी (बाइनरी) और दशमलव अनुपातों पर आधारित थी — यह एकरूपता व्यापक व्यापार और केंद्रीकृत प्रशासन की ओर संकेत करती है। सिंधु घाटी के लोग ऐसी ईंटों का उपयोग करते थे जिनके आयाम एक सुसंगत अनुपात का पालन करते थे, और उनके नगरों की बनावट में एक ज्यामितीय नियमितता थी जो व्यावहारिक सर्वेक्षण के कुछ ज्ञान का संकेत देती है।

सबसे प्राचीन भारतीय गणितीय ग्रंथ शुल्बसूत्र हैं — वैदिक धार्मिक साहित्य से जुड़े ग्रंथों की एक श्रृंखला, जिनका काल लगभग 800 से 200 ईसा पूर्व माना जाता है। ये ग्रंथ मूलतः निर्धारित ज्यामितीय आकारों और आकारों में वैदिक अग्नि वेदियों के निर्माण के लिए मार्गदर्शिकाएँ थे — एक धार्मिक आवश्यकता जिसने व्यावहारिक ज्यामिति के उल्लेखनीय विकास को प्रेरित किया। शुल्बसूत्रों में भारत में पाइथागोरस प्रमेय के सबसे पुराने ज्ञात स्पष्ट कथन मिलते हैं, साथ ही किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर एक वर्ग बनाने की विधियाँ और वर्गमूलों का सन्निकटन करने की प्रक्रियाएँ भी हैं। एक शुल्बसूत्र में दो के वर्गमूल का जो मान दिया गया है, वह पाँच दशमलव स्थानों तक सटीक है — जो बेबीलोनियाई मान के बराबर है।

भारतीय गणित का महान विकास गुप्त साम्राज्य के काल, अर्थात् चौथी से छठी शताब्दी ईस्वी, में हुआ और मध्यकाल तक जारी रहा। गणितज्ञ और खगोलशास्त्री Aryabhata, जिनका जन्म 476 ईस्वी में हुआ था, ने आर्यभटीय की रचना की — पद्य में लिखा एक संक्षिप्त ग्रंथ जिसमें अंकगणित, बीजगणित, समतल त्रिकोणमिति और गोलीय त्रिकोणमिति शामिल है। Aryabhata ने पाई का एक सटीक सन्निकट मान 3.1416 दिया, यह प्रतिपादित किया कि पृथ्वी स्थिर नहीं है बल्कि अपनी धुरी पर घूमती है — जो एक अत्यंत दूरदर्शी खगोलीय अंतर्दृष्टि थी — और उन्होंने रैखिक समीकरणों तथा अनिर्धार्य समीकरणों को हल करने की विधियाँ विकसित कीं, जिन्हें बाद में यूरोप में डायोफैंटाइन समीकरणों के नाम से जाना गया।

Brahmagupta, जिनका जन्म 598 ईस्वी में हुआ था, पहले ऐसे गणितज्ञ थे जिन्होंने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं से जुड़ी अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए व्यवस्थित नियम दिए। उनकी रचना ब्रह्मस्फुटसिद्धांत, जो 628 ईस्वी में लिखी गई, में धनात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य के साथ जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए गए हैं। उन्होंने शून्य को किसी संख्या में से उसी संख्या को घटाने के परिणाम के रूप में परिभाषित किया और ऐसे नियम प्रतिपादित किए जैसे कि शून्य और शून्य का योग शून्य होता है, तथा किसी धनात्मक संख्या को शून्य से भाग देने पर एक ऐसा भिन्न प्राप्त होता है जिसके हर में शून्य हो। यह कहने में कि शून्य को शून्य से भाग देने पर शून्य मिलता है, वे आधुनिक समझ से थोड़े पीछे रह गए, किंतु शून्य को एक स्वतंत्र संख्या के रूप में, उन्हीं अंकगणितीय नियमों के अधीन जो अन्य संख्याओं पर लागू होते हैं, मानने की उनकी दृष्टि एक अत्यंत महत्त्वपूर्ण वैचारिक उपलब्धि थी।

दशमलव स्थानीय संख्या प्रणाली का आविष्कार, जिसमें शून्य एक स्थानधारक के रूप में भी है और एक संख्या के रूप में भी, संपूर्ण मानव इतिहास की सबसे महान बौद्धिक उपलब्धियों में से एक है। इस आविष्कार की सटीक तिथि और श्रेय अभी भी विद्वानों के बीच चर्चा का विषय है, किंतु यह स्पष्ट रूप से भारत में सामान्य युग के प्रारंभिक शताब्दियों तक संपन्न हो चुका था, और कम से कम छठी या सातवीं शताब्दी ईस्वी के शिलालेखों और ग्रंथों में इसका प्रमाण मिलता है। यह प्रणाली आठवीं शताब्दी से भारतीय गणितीय और खगोलीय ग्रंथों के अनुवादों के माध्यम से इस्लामी दुनिया तक पहुँची, और वहाँ से यूरोप तक, जहाँ इसने अंततः बोझिल रोमन अंक प्रणाली को विस्थापित किया और आधुनिक युग की संगणना क्रांति को संभव बनाया। आज हम जिन अंकों का उपयोग करते हैं, शून्य सहित, उन्हें हिंदू-अरबी अंक कहा जाता है — जो उनकी भारतीय उत्पत्ति और इस्लामी संचरण की स्वीकृति है।

Bhaskara II, जो 1114 से 1185 ईस्वी तक जीवित रहे, मध्यकालीन भारतीय परंपरा के सबसे महान गणितज्ञों में से एक थे। उनकी दो प्रमुख रचनाएँ, लीलावती (जो किंवदंती के अनुसार उनकी पुत्री को संबोधित थी) और बीजगणित, में अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित तथा द्विघाती, त्रिघाती और चतुर्घाती समीकरणों के हल सम्मिलित थे। विशेष रूप से लीलावती पूरे दक्षिण और दक्षिण-पूर्व एशिया में एक अत्यंत प्रभावशाली गणित ग्रंथ बन गई, जिस पर अनेक परवर्ती शताब्दियों में टीकाएँ और अनुवाद तैयार किए गए। Bhaskara ने खगोल विज्ञान में भी महत्त्वपूर्ण योगदान दिया और कई दृष्टियों से अवकल गणित की अवधारणा के निकट पहुँचे, विशेषतः ज्या फलन के अवकलज के विवेचन में।

केरल गणित विद्यालय, जो दक्षिण भारतीय राज्य केरल में लगभग चौदहवीं से सोलहवीं शताब्दी तक सक्रिय रहा, ने विश्लेषण में ऐसी खोजें कीं जो यूरोपीय गणितज्ञों से पारंपरिक रूप से जुड़े विकासों से एक शताब्दी से भी अधिक पहले की हैं। गणितज्ञ Madhava of Sangamagrama, जो लगभग 1340 से 1425 के बीच रहे, ने उन श्रेणियों की व्युत्पत्ति की जिन्हें अब पाई के लिए Leibniz सूत्र और आर्कटैन के लिए Gregory-Leibniz श्रेणी कहा जाता है, साथ ही ज्या, कोज्या और आर्कटैन फलनों के लिए श्रेणी विस्तार भी दिए। उन्होंने इन श्रेणियों का उपयोग करके पाई की गणना ग्यारह दशमलव स्थानों तक की। यूरोप में समान परिणाम प्राप्त होने से बहुत पहले भारत में स्वतंत्र रूप से विकसित किए गए ये परिणाम, इतिहास में अभिसरणीय गणितीय खोज के सबसे उल्लेखनीय प्रसंगों में से एक हैं।

इस्लामी गणित और बीजगणित

सातवीं शताब्दी ईस्वी से आगे, इस्लामी दुनिया गणितीय गतिविधि के महान केंद्रों में से एक बन गई। इसने बेबीलोनी, यूनानी और भारतीय परंपराओं पर आधारित होते हुए सर्वोच्च महत्त्व के मौलिक योगदान दिए, जिनमें सबसे उल्लेखनीय है एक व्यवस्थित गणितीय अनुशासन के रूप में बीजगणित की रचना। कई शताब्दियों में इस्लामी विद्वानों ने पूर्ववर्ती सभ्यताओं के गणित का अनुवाद, संरक्षण और विस्तार किया, उस शास्त्रीय ज्ञान की रक्षा सुनिश्चित की जो अन्यथा लुप्त हो सकता था, और उन्होंने ऐसे नए अन्वेषण क्षेत्र बनाए जिन्होंने इस्लामी दुनिया और यूरोप दोनों में गणित के परवर्ती विकास को आकार दिया।

प्रारंभिक मध्यकालीन इस्लामी सभ्यता की बौद्धिक ऊर्जा को अब्बासी ख़िलाफ़त ने पोषित किया, जो बग़दाद से शासन करती थी और जिसने वैज्ञानिक एवं दार्शनिक ग्रंथों का अरबी में अनुवाद करने को एक प्रमुख सांस्कृतिक परियोजना का रूप दिया। बग़दाद का प्रसिद्ध बैत-उल-हिकमा, जिसकी स्थापना नौवीं शताब्दी के आरंभ में ख़लीफ़ा अल-मामून के शासनकाल में हुई थी, इस्लामी दुनिया और उससे भी परे के विद्वानों को यूनानी, भारतीय, फ़ारसी और सिरियाई ग्रंथों के अनुवाद के लिए नियुक्त करता था। Euclid, Archimedes, Apollonius, Ptolemy और अन्य प्राचीन विद्वानों की रचनाओं का अरबी में अनुवाद किया गया — प्रायः टीकाओं और विस्तार के साथ — जिससे वे भावी पीढ़ियों के लिए सुरक्षित रह सकीं, एक ऐसे समय में जब उनकी मूल प्रतियाँ अन्यथा लुप्त हो सकती थीं।

सबसे महत्त्वपूर्ण इस्लामी गणितज्ञ Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi थे, जिन्होंने नौवीं शताब्दी के आरंभ में बैत-उल-हिकमा में कार्य किया। उनका ग्रंथ किताब अल-मुख़्तसर फ़ी हिसाब अल-जब्र वल-मुक़ाबला, अर्थात् 'पूर्णता और संतुलन द्वारा गणना पर संक्षिप्त पुस्तक', जो लगभग 830 CE में लिखी गई, बीजगणित को एक व्यवस्थित विषय के रूप में स्थापित करने वाला आधारभूत ग्रंथ है। 'algebra' शब्द स्वयं इस रचना के शीर्षक में आए 'अल-जब्र' से उत्पन्न हुआ है, और 'algorithm' शब्द al-Khwarizmi के नाम का लातीनीकृत रूप है।

al-Khwarizmi का बीजगणित आधुनिक अर्थों में अभी प्रतीकात्मक नहीं था: उन्होंने सब कुछ शब्दों में व्यक्त किया और अज्ञात राशियों के लिए किसी संक्षेप या अक्षर-चिह्न का उपयोग नहीं किया। फिर भी उन्होंने द्विघात समीकरणों को व्यवस्थित रूप से छह प्रकारों में वर्गीकृत किया (चूँकि वे केवल धनात्मक संख्याओं और गुणांकों के साथ कार्य करते थे, इसलिए उन्हें उन समीकरणों के लिए अलग-अलग प्रकार निर्धारित करने पड़े जिन्हें हम एक ही प्रतीकात्मक समीकरण से व्यक्त कर सकते हैं), प्रत्येक प्रकार के हल के लिए एक विधि दी और ज्यामितीय तर्कों से अपने हलों की शुद्धता सिद्ध की। उनके कार्य ने बेबीलोनियाई, यूनानी और भारतीय बीजगणितीय परंपराओं का समन्वय करके उन्हें एक एकीकृत, सुव्यवस्थित रूप में प्रस्तुत किया, जो इस्लामी दुनिया और यूरोप दोनों में गणित के परवर्ती विकास पर अत्यंत प्रभावशाली सिद्ध हुआ।

al-Khwarizmi ने हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर भी एक ग्रंथ लिखा, जिसने इस प्रणाली को इस्लामी दुनिया और अंततः यूरोप तक पहुँचाने में निर्णायक भूमिका निभाई। भारतीय स्रोतों से अनुकूलित, शून्य सहित स्थानीय दशमलव प्रणाली का उनका विवेचन इतना प्रभावशाली था कि इस पद्धति से लिखी गई संख्याएँ यूरोपीय भाषाओं में 'algorism' — उनके नाम का एक और अपभ्रंश — और बाद में 'arithmetic' कहलाने लगीं।

फ़ारसी गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और कवि Omar Khayyam, जो लगभग 1048 से 1131 तक जीवित रहे, ने बीजगणित और ज्यामिति में महत्त्वपूर्ण योगदान दिए। उन्होंने शंकु-छेदों के प्रतिच्छेदन पर आधारित ज्यामितीय रचनाओं का उपयोग करके घन समीकरणों के सभी रूपों को वर्गीकृत किया और हल किया — यह कार्य किसी भी पूर्ववर्ती गणितज्ञ की उपलब्धि से कहीं आगे था। उन्होंने Euclid के समांतर अभिधारणा की आवश्यकता पर भी प्रश्न उठाया और इस प्रक्रिया में एक प्रोटो-अनयूक्लिडियन ज्यामिति का विकास किया। इसके अतिरिक्त, उन्होंने फ़ारसी पंचांग में सुधार किया और एक सौर कैलेंडर तैयार किया जो उस समय यूरोप में प्रचलित जूलियन कैलेंडर से अधिक सटीक था।

इस्लामी परंपरा ने त्रिकोणमिति में भी उल्लेखनीय प्रगति की और इसे जीवाओं से संबंधित एक ज्यामितीय विषय से रूपांतरित करके आज उपयोग में आने वाले छह त्रिकोणमितीय फलनों से युक्त एक पूर्ण विश्लेषणात्मक विज्ञान का रूप दिया। दसवीं शताब्दी में बग़दाद में कार्यरत Abu al-Wafa al-Buzjani ने स्पर्शज्या (tangent) फलन का परिचय दिया, विस्तृत त्रिकोणमितीय सारणियाँ तैयार कीं और गोलीय ज्या-नियम की खोज की। महान एकादश-शताब्दी के विद्वान al-Biruni ने त्रिकोणमिति को भूगोल और खगोल विज्ञान में लागू किया और ज्ञात ऊँचाई के पर्वत से दिखाई देने वाले क्षितिज के अवनमन कोण पर आधारित एक कुशल विधि का उपयोग करके पृथ्वी की परिधि की उल्लेखनीय सटीकता के साथ गणना की।

इस्लामी गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत, क्रमचय-संचय (combinatorics), और अनंत श्रेणियों के सिद्धांत में भी योगदान दिया। Ibn al-Haytham, जिन्हें यूरोप में Alhazen के नाम से जाना जाता था, लगभग 965 से 1040 तक जीवित रहे। उन्होंने पहले n पूर्णांकों, पहले n वर्गों और पहले n घनों के योग के सूत्र निकाले, और इन परिणामों का उपयोग करके घूर्णन के ठोस पिंडों (solids of revolution) के आयतन की गणना की — इस तरह उन्होंने समाकल कलन (integral calculus) की विधियों की पूर्वाभास दी। Al-Karaji, जो लगभग 1000 ईस्वी के आसपास कार्यरत थे, उन्होंने धनात्मक पूर्णांक घातांकों के लिए द्विपद प्रमेय (binomial theorem) का पहला प्रमाण दिया और बहुपदों (polynomials) का बीजगणित विकसित किया, जिसमें उन्होंने उन्हें बीजगणितीय क्रियाओं के अधीन औपचारिक वस्तुओं के रूप में माना।

इस्लामी गणित का यूरोप में प्रसार मुख्यतः स्पेन के माध्यम से हुआ, जो आठवीं सदी के आरंभ से लेकर पंद्रहवीं सदी के अंत तक इस्लामी शासन के अधीन था, तथा दक्षिणी इटली और सिसिली के माध्यम से भी, जो मध्यकाल में इस्लामी सांस्कृतिक प्रभाव के महत्वपूर्ण क्षेत्र थे। अरबी गणितीय ग्रंथों के लैटिन अनुवाद, जो विशेष रूप से बारहवीं और तेरहवीं शताब्दियों में तैयार किए गए, यूरोपीय विद्वानों को बीजगणित, हिंदू-अरबी अंक प्रणाली और पुनः प्राप्त यूनानी गणितीय परंपरा के बड़े हिस्से से परिचित कराते थे। यदि इस्लामी विद्वानों ने प्राचीन गणित को संरक्षित और प्रसारित न किया होता, तो यूरोपीय गणित का परवर्ती विकास कहीं अधिक कठिन और विलंबित होता।

चीनी गणित

चीनी गणित का विकास यूनानी और भारतीय परंपराओं से स्वतंत्र रूप से हुआ और उसने उल्लेखनीय स्तर की परिष्कृतता हासिल की। चीनी गणितीय परंपरा की विशेषता है — प्रबल व्यावहारिक दृष्टिकोण, संख्यात्मक गणना पर गहरा ध्यान, और औपचारिक स्वयंसिद्ध प्रमाण (axiomatic proof) की बजाय एल्गोरिदमिक विधियों को प्राथमिकता। इसने अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति में महत्वपूर्ण परिणाम दिए और ऐसे मौलिक योगदान किए जिन्हें पश्चिमी परंपरा में कई सदियों तक दोहराया नहीं जा सका।

सबसे पुराना जीवित चीनी गणितीय ग्रंथ Zhoubi Suanjing है, अर्थात् Zhou Gnomon का गणितीय क्लासिक, जो अपने वर्तमान स्वरूप में लगभग पहली या दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व का है, किंतु इसमें और भी पुरानी सामग्री संरक्षित हो सकती है। यह मूलतः एक खगोलशास्त्रीय ग्रंथ है, परंतु इसमें गणितीय विवेचनाएँ भी हैं, जिनमें पाइथागोरस प्रमेय का एक कथन और आभासी प्रमाण शामिल है — यहाँ इसे gougu प्रमेय कहा गया है। इस ग्रंथ में एक ऐसा आरेख है जिसमें एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर वर्ग बने हुए हैं, और तर्क, भले ही यूनानी मानदंडों के अनुसार कठोर न हो, वर्गों के क्षेत्रफलों के बीच संबंध को प्रभावी ढंग से प्रदर्शित करता है।

सबसे महत्वपूर्ण प्राचीन चीनी गणितीय ग्रंथ Jiuzhang Suanshu है, अर्थात् गणित कला के नौ अध्याय, जो पुराने स्रोतों पर आधारित होते हुए भी लगभग पहली शताब्दी ईस्वी में अपने निश्चित स्वरूप में आया। यह ग्रंथ, जो एक हजार से अधिक वर्षों तक चीन में मानक गणितीय पाठ्यक्रम के रूप में सेवा करता रहा, नौ अध्यायों में विषयों की एक असाधारण विस्तृत श्रृंखला को समाहित करता है: खेतों का माप (क्षेत्रफल), बाजरा और चावल (अनुपात), वस्तुओं का वितरण (और अनुपात), लघु चौड़ाई (क्षेत्रफल और आयतन), निर्माण परामर्श (आयतन), उचित कर, अधिकता और न्यूनता, समीकरण (रैखिक समीकरणों के निकाय), और समकोण त्रिभुज।

अधिकता और न्यूनता वाला अध्याय उस विधि को प्रस्तुत करता है जिसे मध्यकालीन इस्लामी और यूरोपीय गणित में "मिथ्या स्थिति का नियम" (rule of false position) कहा जाता था, जिसका उपयोग रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता था। समीकरण अध्याय रैखिक समीकरणों के निकाय को उस विधि से हल करने की निरसन प्रक्रिया (method of exhaustion) प्रस्तुत करता है जो वास्तव में Gaussian elimination के समतुल्य है — यह नाम उन्नीसवीं सदी के जर्मन गणितज्ञ Carl Friedrich Gauss के नाम पर रखा गया है, जबकि चीनियों के पास यह विधि लगभग दो हजार वर्ष पहले से थी। इसी अध्याय में ऋणात्मक गुणांकों वाले निकायों को भी संभाला गया है, जिससे यूरोपीय गणित में उनके प्रकट होने से बहुत पहले ही ऋणात्मक संख्याओं को एक गणनात्मक संदर्भ में पेश किया गया।

प्राचीन चीन की सबसे प्रभावशाली गणितीय उपलब्धियों में से एक थी — पाई की गणना। तीसरी शताब्दी ईस्वी में कार्यरत गणितज्ञ Liu Hui ने Archimedes जैसी ही बहुभुज विधि का उपयोग करते हुए पाई का मान 3.14159 निकाला, जो पाँच दशमलव स्थानों तक सटीक था। पाँचवीं शताब्दी ईस्वी में गणितज्ञ Zu Chongzhi ने पाई का मान 3.1415926 और 3.1415927 के बीच निर्धारित किया, जो सात दशमलव स्थानों तक की सटीकता के बराबर है। पाई के सन्निकटन के रूप में उनका भिन्न 355/113 असाधारण रूप से सटीक है — यह वास्तविक मान से एक करोड़वें हिस्से से भी कम अंतर रखता है — और इस स्तर की परिशुद्धता यूरोप में सोलहवीं शताब्दी तक हासिल नहीं हो सकी।

चीनी गणित की परंपरा में उस प्रमेय पर भी आरंभिक कार्य शामिल है जिसे आज चीनी शेषफल प्रमेय (Chinese Remainder Theorem) कहा जाता है — संख्या सिद्धांत का एक परिणाम जो सर्वांगसम समीकरणों के एक साथ हल से संबंधित है। तीसरी से पाँचवीं शताब्दी ईस्वी के बीच किसी समय लिखी गई Sun Tzu Suanjing, अर्थात् गुरु Sun की गणितीय कृति, में निम्नलिखित प्रश्न आता है: कुछ वस्तुओं की संख्या अज्ञात है। यदि हम तीन-तीन करके गिनें तो दो शेष बचती हैं। यदि पाँच-पाँच करके गिनें तो तीन शेष बचती हैं। यदि सात-सात करके गिनें तो दो शेष बचती हैं। तो वस्तुओं की कुल संख्या कितनी है? उत्तर है तेईस, और ऐसी समस्याओं को हल करने की विधि ही वह आधार है जो आगे चलकर चीनी शेषफल प्रमेय बना — एक ऐसा परिणाम जिसके आधुनिक संख्या सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान में महत्त्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

द्विपद गुणांकों की त्रिभुजाकार सारणी, यानी Pascal का त्रिभुज, यूरोप में प्रकट होने से काफी पहले चीनी गणित ग्रंथों में सामने आ चुकी थी। यह व्यवस्था Zhu Shijie के 1303 में लिखे ग्रंथ Precious Mirror of the Four Elements में दर्शाई गई है, जहाँ इसे "सात गुणक वर्गों का पुरातन विधि चित्र" कहा गया है और इसे पुरानी उत्पत्ति का बताया गया है — जो संकेत देता है कि यह काफी पहले से ज्ञात थी। ग्यारहवीं और बारहवीं शताब्दी की पुरानी चीनी गणित कृतियों में भी स्पष्ट रूप से Pascal के त्रिभुज का चित्रण मिलता है।

चीनी गणित की परंपरा मध्यकाल में भी विकसित होती रही, जिसमें Qin Jiushao और Yang Hui जैसे गणितज्ञों ने संख्यात्मक विधियों, उच्च-घात समीकरणों और क्रमचय-संचय के क्षेत्र में प्रगति की। 1247 में लिखी गई Qin Jiushao की Mathematical Treatise in Nine Sections में चीनी शेषफल प्रमेय का सर्वाधिक व्यवस्थित विवेचन है, साथ ही उच्च-घात बहुपद समीकरणों को हल करने के ऐसे एल्गोरिद्म भी हैं जो यूरोप में स्वतंत्र रूप से खोजी गई विधियों से कई शताब्दियाँ पहले की अग्रदृष्टि का परिचय देते हैं।

मध्यकालीन यूरोपीय गणित

मध्यकालीन यूरोप में गणित के इतिहास को प्रायः उस काल की तुलना में अपेक्षाकृत ठहराव का दौर माना जाता है जब इस्लामी जगत और भारत में गणितीय गतिविधियाँ जोरों पर थीं। इस विशेषण में कुछ औचित्य है: पाँचवीं शताब्दी ईस्वी में पश्चिमी रोमन साम्राज्य के पतन से शास्त्रीय ज्ञान के संचरण में भारी व्यवधान आया, और यूरोप में आरंभिक मध्यकाल की गणितीय गतिविधि मुख्यतः व्यापार, पंचांग और बुनियादी भूमि-सर्वेक्षण के लिए आवश्यक व्यावहारिक अंकगणित तक सीमित रह गई। फिर भी मध्यकाल में प्राचीन गणितीय ज्ञान की क्रमिक पुनःप्राप्ति हुई, इस्लामी जगत से नई गणितीय परंपराएँ आईं, और उस गणितीय परंपरा की नींव पड़ी जो आगे चलकर पुनर्जागरण काल और उसके बाद पूरे वैभव के साथ खिली।

प्रारंभिक मध्यकालीन यूरोप में कुछ प्राचीन गणितीय ज्ञान के संरक्षण का श्रेय काफी हद तक Boethius जैसे विद्वानों को जाता है, जो एक रोमन दार्शनिक थे और लगभग 477 से 524 ई. तक जीवित रहे। Boethius ने यूनानी गणित और दर्शन की रचनाओं का लैटिन में अनुवाद या सारांश तैयार किया, और अंकगणित, ज्यामिति तथा संगीत पर उनके अनुवाद व पाठ्यपुस्तकें प्रारंभिक मध्यकालीन काल में गणितीय शिक्षा की नींव बनीं। Gerasa के नव-प्लेटोवादी Nicomachus की रचना पर आधारित उनकी Institutio Arithmetica सदियों तक यूरोपीय विद्यालयों में व्यापक रूप से पढ़ाई जाती रही और इसने संख्या सिद्धांत की प्राचीन परंपरा को कम से कम आंशिक रूप से जीवित रखा।

मुख्यतः बारहवीं और तेरहवीं शताब्दियों में तैयार किए गए लैटिन अनुवादों के माध्यम से प्राप्त शास्त्रीय और इस्लामी गणितीय ग्रंथों ने यूरोपीय गणितीय संस्कृति को पूरी तरह बदल दिया। स्पेन, सिसिली और इस्लामी जगत तथा यूरोपीय ईसाई जगत के बीच संपर्क के अन्य क्षेत्रों में कार्यरत अनुवादकों ने Euclid, Archimedes, al-Khwarizmi और अनेक अन्य गणितज्ञों की रचनाएँ पहली बार या कहीं बेहतर अनुवादों के रूप में लैटिन में उपलब्ध कराईं। इन अनुवादों के ज़रिए हिंदू-अरबी अंक प्रणाली का यूरोप में प्रवेश विशेष रूप से महत्वपूर्ण सिद्ध हुआ।

Fibonacci के नाम से अधिक प्रसिद्ध इतालवी गणितज्ञ Leonardo of Pisa ने अपनी 1202 की रचना Liber Abaci अर्थात् Book of Calculation के माध्यम से यूरोप में हिंदू-अरबी अंक प्रणाली और इस्लामी बीजगणित दोनों को प्रचलित करने में अहम भूमिका निभाई। इस विस्तृत ग्रंथ में नई अंक प्रणाली और व्यापारिक गणना में इसके लाभों को समझाया गया, व्यापारिक अंकगणित की समस्याओं पर इस्लामी बीजगणित की तकनीकों का प्रयोग दर्शाया गया, और खरगोशों की आबादी की वृद्धि से संबंधित एक प्रसिद्ध समस्या भी शामिल की गई, जिसका हल अब Fibonacci संख्याओं के नाम से जाना जाता है — वह अनुक्रम जिसमें प्रत्येक संख्या उससे पहले की दो संख्याओं का योग होती है।

बारहवीं और तेरहवीं शताब्दियों में इटली के बोलोन्या, फ्राँस के पेरिस और इंग्लैंड के ऑक्सफ़र्ड जैसे शहरों में जो विश्वविद्यालय स्थापित होने लगे, उनमें गणित को पाठ्यक्रम के एक भाग के रूप में quadrivium में शामिल किया गया — यानी अंकगणित, ज्यामिति, संगीत और खगोलशास्त्र के चार विषय — जो trivium यानी व्याकरण, वक्तृत्वकला और तर्कशास्त्र के साथ पढ़ाए जाते थे। इस काल में विश्वविद्यालयी शिक्षा की गणितीय सामग्री मुख्यतः पुनः प्राप्त शास्त्रीय और इस्लामी परंपरा से ली गई थी, किंतु विश्वविद्यालयों के संस्थागत परिवेश ने एक ऐसी रूपरेखा प्रदान की जिसके भीतर गणितीय विचारों पर चर्चा, उनका परिष्करण और पीढ़ी-दर-पीढ़ी उनका संचरण संभव हो सका।

लगभग 1320 से 1382 तक जीवित रहने वाले फ्रांसीसी गणितज्ञ और दार्शनिक Nicole Oresme ने ऐसे महत्वपूर्ण मौलिक योगदान दिए जो बाद के विकासों की आहट देते हैं। उन्होंने किसी भौतिक राशि के परिवर्तन को एक द्विआयामी आकृति के रूप में प्रदर्शित करने की एक पद्धति का आविष्कार किया, जिसमें समय के लिए क्षैतिज अक्ष और राशि के परिमाण के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष होता था — यह ग्राफ के विचार का एक प्रारंभिक रूप था जिसे बाद में Descartes ने पूर्णतः विकसित किया। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि हार्मोनिक श्रेणी — अर्थात् एक जमा आधा जमा एक-तिहाई जमा एक-चौथाई और इसी तरह आगे का योग — अपसारी होती है, यानी यह अंततः किसी भी सीमित मान को पार कर जाती है। अनंत श्रेणियों के सिद्धांत में यह एक सूक्ष्म और महत्वपूर्ण परिणाम था।

उत्तर मध्यकाल में जुआरियों और व्यापारियों की व्यावहारिक आवश्यकताओं से प्रेरित होकर प्रायिकता के गणित में भी महत्वपूर्ण विकास हुए। Luca Pacioli और Gerolamo Cardano जैसे इतालवी गणितज्ञों ने संयोग के खेलों का गणितीय विश्लेषण करना शुरू किया और इस तरह उस नींव की आरंभिक ईंटें रखीं जो आगे चलकर प्रायिकता का सिद्धांत बनी। इस प्रकार मध्यकाल, गणितीय शांति की अपनी प्रतिष्ठा के बावजूद, वास्तव में उस विस्फोटक गणितीय विकास की महत्वपूर्ण तैयारी का काल था जो पुनर्जागरण और सत्रहवीं शताब्दी में सामने आया।

पुनर्जागरण और गणितीय प्रगति

पुनर्जागरण, वह महान सांस्कृतिक पुनर्जन्म जो चौदहवीं शताब्दी में इटली में शुरू हुआ और पंद्रहवीं तथा सोलहवीं शताब्दियों के दौरान पूरे यूरोप में फैला, अपने साथ प्राचीन ज्ञान के प्रति नए उत्साह और जिज्ञासा की एक नई भावना लेकर आया, जिसने गणित को हर दूसरे बौद्धिक अनुशासन के साथ-साथ पूरी तरह बदल दिया। पुनर्जागरण के गणितज्ञों ने बीजगणित में महत्वपूर्ण प्रगति की, उन समस्याओं को सुलझाया जो प्राचीन काल से अनसुलझी पड़ी थीं, और उन गणितीय औज़ारों को विकसित किया जो सत्रहवीं शताब्दी की महान वैज्ञानिक क्रांति के लिए ज़रूरी थे।

पुनर्जागरण की सबसे नाटकीय गणितीय उपलब्धि घन और चतुर्घात समीकरणों का हल था। मध्यकालीन यूरोपीय गणितज्ञ, al-Khwarizmi और बाद के इस्लामी बीजगणितज्ञों की परंपरा का अनुसरण करते हुए, द्विघात समीकरणों को नियमित रूप से हल करते थे, लेकिन घन समीकरण, जिसमें अज्ञात राशि का घन शामिल होता है, के सामान्य हल का अभी तक कोई तरीका नहीं मिला था। 1530 के दशक में, इतालवी गणितज्ञ Niccolo Tartaglia ने कुछ प्रकार के घन समीकरणों को हल करने की एक विधि खोजी, और Gerolamo Cardano ने Tartaglia से गोपनीयता की शपथ के तहत यह विधि प्राप्त करने के बाद, इसे 1545 में अपनी महत्वपूर्ण कृति Ars Magna, यानी महान कला, में प्रकाशित किया, साथ ही चतुर्घात समीकरणों को हल करने की एक विधि भी (जो उनके शिष्य Lodovico Ferrari ने खोजी थी) शामिल की।

Ars Magna बीजगणित के इतिहास में एक मील का पत्थर है। घन और चतुर्घात सूत्रों से परे, इसने, चाहे संकोच के साथ ही सही, सम्मिश्र संख्याओं का विचार पेश किया — ऐसी संख्याएँ जिनमें ऋणात्मक एक का वर्गमूल शामिल होता है, जिसे बाद में i से दर्शाया गया। Cardano ने गौर किया कि उनके सूत्रों में कभी-कभी किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालना पड़ता था, तब भी जब अंतिम उत्तर एक वास्तविक संख्या होती थी, और हालाँकि उन्हें यह रहस्यमय और कुछ हद तक परेशान करने वाला लगा, उन्होंने माना कि सूत्र काम करते थे। सम्मिश्र संख्याओं को एक वैध और उपयोगी गणितीय प्रणाली के रूप में पूरी तरह विकसित करने के लिए Rafael Bombelli और अन्य लोगों के और काम की ज़रूरत पड़ी, लेकिन इसके बीज Cardano के काम में ही बो दिए गए थे।

सत्रहवीं शताब्दी की शुरुआत में लघुगणक का विकास, स्कॉटिश गणितज्ञ John Napier और स्विस गणितज्ञ Joost Bürgi द्वारा स्वतंत्र रूप से, एक बड़ी व्यावहारिक प्रगति थी जिसके गहरे सैद्धांतिक निहितार्थ थे। लघुगणक गुणन को जोड़ में बदल देते हैं, जिससे खगोलीय और नौवहन संबंधी गणनाओं के लिए आवश्यक गणनात्मक श्रम बहुत आसान हो जाता है, जो इस काल में तेज़ी से महत्वपूर्ण होती जा रही थीं। Napier ने 1614 में अपनी खोज प्रकाशित की, और अगले दशकों में खगोलशास्त्रियों, नाविकों, इंजीनियरों और वैज्ञानिकों द्वारा लघुगणक तालिकाओं को तेज़ी से अपनाए जाने से यह स्पष्ट होता है कि गणितीय आविष्कार व्यावहारिक ज़रूरतों का जवाब कैसे देते हैं और बदले में उन्हें कैसे सक्षम बनाते हैं।

प्रतीकात्मक बीजगणित का विकास — al-Khwarizmi और उनके उत्तराधिकारियों के शब्दाडंबरपूर्ण वाचिक बीजगणित की जगह अज्ञात राशियों के लिए अक्षरों और संक्रियाओं के लिए प्रतीकों वाली संक्षिप्त संकेत-प्रणाली का प्रयोग — आधुनिक गणित के विकास में एक निर्णायक कदम था। फ्रांसीसी गणितज्ञ François Viète, जो 1540 से 1603 तक जीवित रहे, ने ज्ञात और अज्ञात दोनों राशियों को दर्शाने के लिए अक्षरों के उपयोग का बीड़ा उठाया, जिससे पहली बार सामान्य बीजगणितीय तत्समकों को प्रतीकात्मक रूप में व्यक्त और संचालित किया जा सका। उनके काम ने बीजगणित को विशिष्ट समस्या-समाधान के विज्ञान से सामान्य संरचनाओं और संबंधों के विज्ञान में बदल दिया।

René Descartes, जो 1596 से 1650 तक जीवित रहे, एक फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ थे, जिन्होंने आधुनिक गणित के विकास में शायद सबसे महत्वपूर्ण तकनीकी योगदान दिया: विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आविष्कार, जिसे कार्तीय ज्यामिति के नाम से भी जाना जाता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति बीजगणित और ज्यामिति के बीच एक सेतु का काम करती है — इसमें एक निर्देशांक प्रणाली की शुरुआत की गई जिसमें बिंदुओं को संख्याओं के जोड़ों द्वारा दर्शाया जाता है, जिससे ज्यामितीय वक्रों को बीजगणितीय समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और बीजगणितीय संबंधों को ज्यामितीय आकृतियों के रूप में देखा जा सकता है। Descartes की रचना La Géométrie, जो 1637 में उनके दार्शनिक ग्रंथ Discourse on the Method के परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित हुई थी, इस विचार और उसके परिणामों को विस्तार से प्रस्तुत करती है और शास्त्रीय गणित की दो प्रमुख शाखाओं के बीच के संबंध को मूलभूत रूप से बदल देती है।

Pierre de Fermat, जो 1607 से 1665 तक जीवित रहे, एक फ्रांसीसी वकील और शौकिया गणितज्ञ थे, जिन्होंने Descartes की विश्लेषणात्मक ज्यामिति से काफी मिलते-जुलते विचार स्वतंत्र रूप से विकसित किए और संख्या सिद्धांत, प्रायिकता तथा कलन की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया। उनका अंतिम प्रमेय, जो उन्होंने Diophantus की Arithmetica की अपनी प्रति के हाशिये पर बिना प्रमाण के लिख दिया था, यह दावा करता है कि जब n दो से बड़ा हो, तो समीकरण x की घात n जमा y की घात n बराबर z की घात n का कोई हल धनात्मक पूर्णांकों में नहीं होता। यह भ्रामक रूप से सरल कथन साढ़े तीन सदियों से अधिक समय तक अनसुलझा रहा और गणित के इतिहास की सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक बन गया। आखिरकार 1995 में अंग्रेज़ गणितज्ञ Andrew Wiles ने इसे सिद्ध किया।

कलन का विकास

सत्रहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में Isaac Newton और Gottfried Wilhelm Leibniz द्वारा कलन की रचना, आधुनिक काल के प्रारंभिक दौर की सबसे बड़ी गणितीय उपलब्धि थी और इतिहास की सबसे दूरगामी बौद्धिक घटनाओं में से एक थी। कलन ने निरंतर परिवर्तन और गति को वर्णित करने के लिए आवश्यक गणितीय उपकरण प्रदान किए, जिससे भौतिक संसार का मात्रात्मक वर्णन संभव हुआ — जो आधुनिक विज्ञान और अभियांत्रिकी की आधारशिला है। इसकी खोज की कहानी, जिसमें उस युग के दो महानतम मस्तिष्कों के बीच अत्यंत कटु प्राथमिकता-विवाद शामिल था, विज्ञान के इतिहास के सबसे नाटकीय प्रसंगों में से एक है।

वे गणितीय समस्याएँ जिन्हें हल करने के लिए कलन का निर्माण किया गया था, सदियों से जमा होती रही थीं। वक्र क्षेत्रों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना, वक्रों पर स्पर्श रेखाएँ ज्ञात करना, फलनों का अनुकूलन, तथा गति और परिवर्तन का वर्णन — ये सभी महत्वपूर्ण समस्याएँ थीं जिन्हें पहले का गणित केवल विशेष परिस्थितियों में और बड़ी कठिनाई से ही हल कर पाता था। Archimedes ने क्षयन विधि का उपयोग करके विशिष्ट आकृतियों के लिए ऐसी कई समस्याएँ हल की थीं, लेकिन कोई सामान्य विधि मौजूद नहीं थी। इतालवी गणितज्ञ Evangelista Torricelli और फ्रांसीसी गणितज्ञ Fermat तथा Gilles de Roberval ने सत्रहवीं शताब्दी के प्रारंभ में महत्वपूर्ण प्रगति की, लेकिन दोनों मूलभूत समस्याओं — स्पर्श रेखाएँ ज्ञात करना और क्षेत्रफल ज्ञात करना — के बीच गहरे संबंध को पहचानने का निर्णायक कदम Newton और Leibniz के लिए छोड़ा रहा।

Isaac Newton, जो 1642 से 1727 तक जीवित रहे, ने 1665 से 1666 के उस असाधारण काल में, जिसे वे 'प्रवाह की विधि' कहते थे, उसे विकसित किया — यह वह समय था जब Cambridge विश्वविद्यालय प्लेग के कारण बंद हो गया था और Newton इंग्लैंड के Lincolnshire में Woolsthorpe स्थित अपने पारिवारिक घर लौट आए थे। इस अनिवार्य एकांत की अवधि में उन्होंने न केवल कलन की नींव रखी, बल्कि गति के नियम और सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम भी विकसित किया। Newton का कलन के प्रति दृष्टिकोण मूलतः गतिशील था: वे गणितीय राशियों को समय के साथ प्रवाहित होते हुए सोचते थे, और किसी राशि का अवकलज उसके प्रवाह की दर या 'फ्लक्सन' था। उन्होंने बीजगणितीय फलनों के अवकलन के नियम विकसित किए, अवकलन को स्पर्श रेखाओं की गणना से जोड़ा, और यह पहचाना कि अवकलन और समाकलन परस्पर व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं — यह परिणाम अब कलन के मूलभूत प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

Newton अपने गणितीय कार्य को प्रकाशित करने में संकोच करते थे, और उनका कलन बहुत बाद तक व्यापक रूप से जाना नहीं गया। Gottfried Wilhelm Leibniz, जो 1646 से 1716 तक जीवित रहे और एक जर्मन बहुज्ञ दार्शनिक एवं गणितज्ञ थे, उन्होंने स्वतंत्र रूप से कलन का विकास किया — ऐसा प्रतीत होता है कि उन्होंने लगभग 1675 के आसपास अपना कार्य आरंभ किया और 1684 तथा 1686 में अपने परिणाम प्रकाशित किए। Leibniz की संकेत-पद्धति, जिसमें अवकलों के लिए d और समाकलों के लिए लंबे S के चिह्न का उपयोग किया गया था, Newton की पद्धति से कहीं अधिक श्रेष्ठ थी और इसे सार्वभौमिक रूप से अपनाया गया है। फलनों के योग, गुणनफल और भागफल के अवकलन के लिए उनके द्वारा प्रतिपादित नियम आज भी हर कलन पाठ्यक्रम में उसी रूप में पढ़ाए जाते हैं जिसमें उन्होंने इन्हें प्रस्तुत किया था।

Newton और Leibniz के बीच प्राथमिकता को लेकर उठा विवाद एक कटु राष्ट्रवादी विवाद में बदल गया, जिसने अंग्रेज़ वैज्ञानिकों को महाद्वीपीय यूरोपीयों के विरुद्ध खड़ा कर दिया। यह विवाद दोनों पक्षों और इंग्लैंड में गणित के विकास के लिए हानिकारक सिद्ध हुआ, जहाँ Newton की संकेत-पद्धति के प्रति निष्ठा ने Leibniz की अधिक शक्तिशाली प्रतीक-पद्धति को अपनाने में एक शताब्दी की देरी कर दी। यह विवाद अठारहवीं शताब्दी के आरंभ में गंभीर रूप से शुरू हुआ, जब मध्यस्थों के माध्यम से साहित्यिक चोरी के आरोप लगाए जाने लगे, और 1712 में उस समय यह अपने निम्नतम बिंदु पर पहुँचा जब रॉयल सोसाइटी की एक समिति — जो Newton के समर्थकों से भरी थी और कथित तौर पर स्वयं Newton के निर्देशन में काम कर रही थी — ने Newton की प्राथमिकता घोषित करते हुए एक रिपोर्ट जारी की। गणित के आधुनिक इतिहासकार सामान्यतः इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि कलन का विकास Newton ने पहले किया, किंतु Leibniz अपने संस्करण तक स्वतंत्र रूप से पहुँचे।

भौतिक जगत को समझने के एक उपकरण के रूप में कलन की शक्ति लगभग तत्काल ही न्यूटनीय यांत्रिकी में उसके अनुप्रयोग से प्रदर्शित हो गई। गति और गुरुत्वाकर्षण के Newton के नियमों को, कलन की भाषा में अवकल समीकरणों के रूप में व्यक्त करके, Kepler के ग्रहीय गति के नियमों को गणितीय परिणामों के रूप में व्युत्पन्न करने, धूमकेतुओं की वापसी की भविष्यवाणी करने, पृथ्वी की कक्षा का आकार परिकलित करने और अनेक अन्य भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जा सका, जो पहले की गणित की पहुँच से बाहर थीं। इस कार्यक्रम की सफलता इतनी अभूतपूर्व थी कि इसने गणित की संभावनाओं की छवि को ही बदल दिया और अगली दो शताब्दियों के लिए गणितीय भौतिकी का एजेंडा तय कर दिया।

अठारहवीं शताब्दी में महाद्वीपीय परंपरा के महान गणितज्ञों — सबसे बढ़कर Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange और Pierre-Simon Laplace — के हाथों कलन की विधियों का एक पूर्ण विश्लेषणात्मक ढाँचे में तीव्र गति से विकास हुआ। Euler, जो 1707 से 1783 तक जीवित रहे और इतिहास के सर्वाधिक विपुल गणितज्ञों में से एक थे, उन्होंने विचरण का कलन विकसित किया, अवकल समीकरणों और अनंत श्रेणियों में अत्यंत महत्त्वपूर्ण योगदान दिया, आज भी प्रयुक्त होने वाली अधिकांश मानक संकेत-पद्धति का प्रचलन किया और उस समय ज्ञात गणित की हर शाखा में मौलिक योगदान दिए। उनका गणितीय लेखन — जिसका अधिकांश भाग उन्होंने दोनों आँखों की दृष्टि खोने के बाद भी किया — लगभग नब्बे खंडों में भरा हुआ है।

कलन के विकास ने उसकी तार्किक नींव के बारे में गंभीर प्रश्न भी खड़े किए। अत्यंत सूक्ष्म मात्राओं के उपयोग को, जिन्हें अपरिमेय-अल्प राशियाँ (infinitesimals) कहा जाता है और जो Newton व Leibniz दोनों के मूल प्रतिपादनों में प्रकट होती हैं, दार्शनिक George Berkeley ने 1734 में तार्किक रूप से असंगत बताते हुए उनकी आलोचना की। कलन की कठोर तार्किक नींव उन्नीसवीं शताब्दी में स्थापित की गई, मुख्यतः Augustin-Louis Cauchy और Karl Weierstrass के कार्य के माध्यम से, जिन्होंने अपरिमेय-अल्प राशियों की सहज धारणा को सीमाओं की सटीक एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषाओं से प्रतिस्थापित किया, इस प्रकार संपूर्ण विषय को एक सुदृढ़ तार्किक आधार पर स्थापित किया और गणितीय विश्लेषण के युग का सूत्रपात किया।

17वीं और 18वीं शताब्दी की गणितीय क्रांति

सत्रहवीं और अठारहवीं शताब्दियों में पूरे यूरोप में गणितीय गतिविधियों का एक ऐसा विस्फोट हुआ जिसने इस विषय को और भौतिक जगत के साथ इसके संबंध को मूल रूप से बदल कर रख दिया। कलन (कैलकुलस) के विकास से परे, इस काल में प्रायिकता सिद्धांत की रचना, विश्लेषणात्मक ज्यामिति का विकास, संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण प्रगति, भौतिकी का गणितीकरण, और नए बीजगणितीय तथा ज्यामितीय उपकरणों का उदय हुआ जो आने वाली शताब्दियों में फलदायी सिद्ध हुए।

फ्रांसीसी गणितज्ञ और दार्शनिक Blaise Pascal, जो 1623 से 1662 तक जीवित रहे, ने गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण योगदान दिया। अंकगणितीय त्रिभुज पर उनका कार्य, जिसे अब Pascal का त्रिभुज कहा जाता है — जो द्विपद गुणांक देता है और क्रमचय-संचय तथा प्रायिकता में उपयोगी है — व्यवस्थित और प्रभावशाली था, हालाँकि जैसा पहले उल्लेख किया जा चुका है, यह त्रिभुज Pascal से कई शताब्दियों पहले चीनी, फ़ारसी और भारतीय गणितज्ञों को ज्ञात था। अधिक मौलिक था Pierre de Fermat के साथ मिलकर प्रायिकता के गणितीय सिद्धांत की नींव रखने का उनका कार्य, जो एक अधूरे जुए के खेल में दाँव को किस प्रकार बाँटा जाए — इस विषय पर हुए एक प्रसिद्ध पत्र-व्यवहार के माध्यम से विकसित हुआ।

Pascal और Fermat द्वारा स्थापित प्रायिकता के गणितीय सिद्धांत को डच गणितज्ञ Christiaan Huygens ने आगे बढ़ाया और विस्तार दिया, जिन्होंने 1657 में प्रायिकता पर पहला व्यवस्थित ग्रंथ प्रकाशित किया, और बाद में Jacob Bernoulli, Abraham de Moivre तथा Pierre-Simon Laplace ने इसे और विकसित किया। Bernoulli की Ars Conjectandi, जो 1713 में मरणोपरांत प्रकाशित हुई, ने बड़ी संख्याओं का नियम सिद्ध किया — वह प्रमेय जो यह बताती है कि जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ती जाती है, किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति उसकी प्रायिकता के निकट पहुँचती जाती है। De Moivre ने 1733 में केंद्रीय सीमा प्रमेय की खोज की, यह दर्शाते हुए कि अनेक स्वतंत्र यादृच्छिक चरों का योग एक सामान्य, अर्थात् घंटी के आकार के, वितरण की ओर अग्रसर होता है। Laplace ने 1812 में अपनी Théorie Analytique des Probabilités में प्रायिकता सिद्धांत का अठारहवीं शताब्दी का सर्वाधिक संपूर्ण विवेचन प्रस्तुत किया।

Leonhard Euler के गणित में योगदान इतने विशाल और विविध थे कि उन्हें संक्षेप में समेटना कठिन है। उनकी 1748 की Introductio in Analysin Infinitorum ने अठारहवीं शताब्दी के विश्लेषण के बड़े भाग को संहिताबद्ध किया और फलन की आधुनिक अवधारणा को प्रस्तुत किया। उन्होंने चरघातांकी और त्रिकोणमितीय फलनों के बीच संबंध स्थापित किया, जिसे अब Euler का सूत्र कहा जाता है — जो e की घात i गुना theta को theta की कोज्या (cosine) और i गुना theta की ज्या (sine) के योग के रूप में व्यक्त करता है; इस परिणाम का वह विशेष मामला जिसमें theta, pi के बराबर होता है, गणित के पाँच सर्वाधिक महत्वपूर्ण स्थिरांकों को जोड़ने वाला प्रसिद्ध समीकरण देता है। उन्होंने 1736 में Königsberg सेतु समस्या को हल किया — यह पूछते हुए कि क्या उस प्रशियाई नगर के सातों पुलों पर से प्रत्येक पर ठीक एक बार चलते हुए और प्रारंभिक बिंदु पर वापस लौटते हुए यात्रा करना संभव है — और इस प्रक्रिया में गणित की उस शाखा की नींव रखी जिसे ग्राफ सिद्धांत कहा जाता है।

Euler ने संख्या सिद्धांत में भी मूलभूत योगदान दिए और कई ऐसी समस्याएँ हल कीं जो प्राचीन काल से अनसुलझी थीं। उन्होंने Fermat का लघु प्रमेय सिद्ध किया, यह दर्शाते हुए कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a, p से विभाज्य नहीं है, तो a की घात p ऋण एक, ऋण एक, p से विभाज्य होता है। उन्होंने सिद्ध किया कि धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों के व्युत्क्रमों का योग pi के वर्ग को छह से भाग देने पर प्राप्त होता है — यह परिणाम Basel समस्या के नाम से जाना जाता है जिसे अन्य गणितज्ञ हल करने में असफल रहे थे। उन्होंने totient फलन की अवधारणा और उसका प्रथम आधुनिक विवेचन प्रस्तुत किया जिसे हम आज मॉड्यूलर अंकगणित कहते हैं।

इस काल में अवकल समीकरणों का विकास भौतिकी और इंजीनियरिंग की आवश्यकताओं से गहराई से जुड़ा हुआ था। Newton का गति का दूसरा नियम स्वयं एक अवकल समीकरण है जो बल, द्रव्यमान और त्वरण को आपस में संबंधित करता है। कंपन करती हुई डोरियों की गति, ऊष्मा का प्रवाह, विद्युत परिपथों का व्यवहार और घूर्णन करने वाले पिंडों की यांत्रिकी — इन सभी के गणितीय वर्णन के लिए अवकल समीकरणों की आवश्यकता थी। अठारहवीं शताब्दी के गणितज्ञों, जिनमें Euler, d'Alembert और Bernoulli शामिल थे, ने साधारण और आंशिक दोनों प्रकार के अवकल समीकरण विकसित किए और कई महत्वपूर्ण भौतिक स्थितियों के हल खोजे। अवकल समीकरणों का गणित, जो सीधे Newton और Leibniz के कलन से उभरा, गणितीय भौतिकी की प्रमुख भाषा बन गया और आज भी वैसा ही है।

प्रकृति को समझने में गणित के अनुप्रयोग की सबसे शानदार अठारहवीं सदी की अभिव्यक्ति Pierre-Simon Laplace के कार्य में मिलती है। उनकी बहुखंडीय कृति Mécanique Céleste, जो 1799 से 1825 के बीच प्रकाशित हुई, Newton के गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत के आधार पर सौरमंडल का एक व्यापक गणितीय विवेचन प्रस्तुत करती है। जिस सटीकता से यह सिद्धांत प्रेक्षणों से मेल खाता था, और चंद्रमा, बृहस्पति, शनि तथा ज्वार-भाटे के व्यवहार के बारे में Laplace की भविष्यवाणियों की सफलता, ब्रह्मांड को समझने के एक साधन के रूप में गणित की शक्ति का अद्भुत प्रदर्शन थी। जब Napoleon ने कथित तौर पर Laplace से पूछा कि उनके ग्रंथ में ईश्वर का कोई उल्लेख क्यों नहीं है, तो Laplace ने कहा कि उन्हें उस परिकल्पना की कोई आवश्यकता नहीं थी।

अयूक्लिडीय ज्यामिति

Euclid द्वारा Elements लिखे जाने के दो हजार से भी अधिक वर्षों बाद तक, उनके समांतर अभिधारणा को प्रशंसा और असहजता के मिश्रित भाव से देखा जाता रहा। प्रशंसा इसलिए, क्योंकि उस पर आधारित ज्यामिति रोजमर्रा के अनुभव की दुनिया का इतनी सटीकता से वर्णन करती थी। असहजता इसलिए, क्योंकि अन्य चार अभिधारणाओं के विपरीत, जो स्वतः स्पष्ट और सरल लगती थीं, समांतर अभिधारणा जटिल थी और बहुतों को संदिग्ध रूप से अस्पष्ट लगती थी। प्राचीन यूनानियों से लेकर मध्यकालीन इस्लामी जगत और फिर सत्रहवीं-अठारहवीं शताब्दी के गणितज्ञों तक, एक लंबी परंपरा के गणितज्ञों ने यह सिद्ध करने का प्रयास किया कि समांतर अभिधारणा तार्किक रूप से अन्य चार से निकलती है, जिससे वह एक स्वतंत्र मान्यता के बजाय एक प्रमेय बन जाती। ये सभी प्रयास विफल रहे, हालाँकि इस क्रम में कई महत्वपूर्ण और रोचक परिणाम भी सामने आए।

निर्णायक मोड़ उन्नीसवीं शताब्दी के आरंभ में आया, जब तीन गणितज्ञ स्वतंत्र रूप से और लगभग एक ही समय इस निष्कर्ष पर पहुँचे कि ऐसी सुसंगत ज्यामितियाँ संभव हैं जिनमें समांतर अभिधारणा लागू नहीं होती। हंगरी के गणितज्ञ Janos Bolyai, रूस के गणितज्ञ Nikolai Ivanovich Lobachevsky और जर्मनी के गणितज्ञ Carl Friedrich Gauss ने उस ज्यामिति को विकसित किया जिसे अब अतिपरवलयिक ज्यामिति कहा जाता है, जिसमें किसी दी गई रेखा पर न स्थित किसी बिंदु से उस रेखा के समांतर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

Gauss, जिनका जीवनकाल 1777 से 1855 तक था और जो संभवतः उन्नीसवीं शताब्दी के सबसे महान गणितज्ञ थे, 1810 के दशक में ही अयूक्लिडीय ज्यामिति तक पहुँच गए थे, लेकिन उन्होंने अपने परिणाम कभी प्रकाशित नहीं किए — कहा जाता है कि वे उस विवाद से डरते थे जो इससे उत्पन्न हो सकता था। Lobachevsky ने पहले 1830 में प्रकाशित किया, और Bolyai का कार्य 1832 में उनके पिता की एक पुस्तक के परिशिष्ट के रूप में सामने आया। यह खोज कि यूक्लिडीय ज्यामिति, अंतरिक्ष का एकमात्र और अनिवार्य वर्णन होने से कोसों दूर, केवल अनेक सुसंगत ज्यामितियों में से एक है — गणित के इतिहास के सर्वाधिक बौद्धिक क्रांतिकारी परिणामों में से एक थी।

गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति का एक दूसरा प्रकार, जिसे गोलीय या दीर्घवृत्तीय ज्यामिति कहा जाता है, एक गोले की सतह पर की ज्यामिति से उदाहरणित होता है। एक गोले पर कोई भी समानांतर रेखाएँ नहीं होतीं: कोई भी दो महान वृत्त, जो गोले पर सीधी रेखाओं के समतुल्य होते हैं, ठीक दो बिंदुओं पर एक-दूसरे को काटते हैं। एक गोलीय त्रिभुज के कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री से अधिक होता है, और त्रिभुज जितना बड़ा होता है, यह अधिकता उतनी ही ज़्यादा होती है। गोलीय ज्यामिति का अध्ययन प्राचीन यूनानी और इस्लामी खगोलशास्त्रियों द्वारा खगोलीय गोले के संदर्भ में किया गया था, किंतु यूक्लिड के समानांतर अभिगृहीत से असंगत एक ज्यामिति के रूप में इसका महत्त्व उन्नीसवीं शताब्दी तक पूरी तरह नहीं समझा जा सका।

गैर-यूक्लिडीय ज्यामितियों का कठोर गणितीय उपचार Bernhard Riemann ने जर्मनी के गोटिंगेन विश्वविद्यालय में दिए गए अपने प्रसिद्ध 1854 के व्याख्यान ज्यामिति की नींव में निहित परिकल्पनाओं पर में प्रस्तुत किया। Riemann ने ज्यामिति की एक कहीं अधिक सामान्य अवधारणा प्रस्तुत की जिसमें अंतरिक्ष की वक्रता एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न हो सकती है — इसमें शून्य वक्रता वाली यूक्लिडीय ज्यामिति और विभिन्न गैर-यूक्लिडीय ज्यामितियाँ सभी विशेष स्थितियों के रूप में समाहित हो गईं। रीमैनियन ज्यामिति, जैसा कि उनकी इस रचना को कहा जाने लगा, ने वह गणितीय भाषा प्रदान की जिसकी आवश्यकता Einstein को साठ वर्ष बाद अपने सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत को प्रतिपादित करने के लिए थी, जिसमें गुरुत्वाकर्षण को स्पेसटाइम की वक्रता के रूप में वर्णित किया गया है।

गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति की खोज के गहन दार्शनिक परिणाम हुए। यदि यूक्लिडीय ज्यामिति भौतिक अंतरिक्ष की एकमात्र अनिवार्य ज्यामिति नहीं थी, तो गणित की नींव को भौतिक अंतरिक्ष के बारे में अंतर्बोधों पर आधारित नहीं किया जा सकता था। गणित अब केवल स्थानिक जगत का आदर्शीकृत वर्णन नहीं रह गया था, बल्कि यह एक स्वतंत्र, स्वायत्त अनुशासन बन गया जिसकी एकमात्र आवश्यकता आंतरिक तार्किक संगति थी। इस उपलब्धि ने, उन्नीसवीं शताब्दी में अमूर्त बीजगणित और गणितीय तर्कशास्त्र के विकास के साथ मिलकर, गणित के आधुनिक स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण को जन्म दिया, जिसमें एक गणितीय सिद्धांत स्वयंसिद्धों के एक समुच्चय से तर्क द्वारा निगमित प्रस्तावों की कोई भी प्रणाली है — चाहे वे स्वयंसिद्ध भौतिक जगत की किसी वास्तविकता का वर्णन करें या न करें।

गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति का प्रभाव भौतिकी में इसके तात्कालिक अनुप्रयोग से कहीं आगे तक फैला। इसने भिन्न गुणधर्मों वाली ज्यामितियों के व्यवस्थित अध्ययन का द्वार खोला, टोपोलॉजी के लिए — जो सतत विरूपण के अंतर्गत संरक्षित रहने वाले स्थानों के गुणधर्मों का अध्ययन करती है — और उस संपूर्ण अमूर्त गणित के कार्यक्रम के लिए जो बीसवीं शताब्दी को परिभाषित करता है। भौतिक अंतर्बोध की बाधा से ज्यामिति की मुक्ति वास्तव में स्वयं गणित की मुक्ति थी, जिसने गणितज्ञों को किसी भी तार्किक रूप से संगत संरचना का अन्वेषण करने की स्वतंत्रता दी — चाहे उसका भौतिक जगत से कोई स्पष्ट संबंध हो या न हो — इस समझ के साथ कि ऐसे अमूर्त अन्वेषणों के भविष्य में अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिल सकते हैं।

अमूर्त बीजगणित और संख्या सिद्धांत

उन्नीसवीं शताब्दी में बीजगणित के स्वरूप में एक गहन रूपांतरण आया। जो विषय al-Khwarizmi से लेकर पुनर्जागरण काल और उसके आगे तक मुख्य रूप से विशिष्ट प्रकार के समीकरणों के हल से संबंधित एक अनुशासन रहा था, वह उन्नीसवीं शताब्दी के गणितज्ञों के हाथों में अमूर्त संरचनाओं का विज्ञान बन गया: समूह, वलय, क्षेत्र और अन्य बीजगणितीय प्रणालियाँ — जो स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित होती हैं और किसी विशेष व्याख्या से निरपेक्ष होकर अपने आप में अध्ययन की जाती हैं। यह रूपांतरण, जो गणितीय इतिहास के सर्वाधिक महत्त्वपूर्ण रूपांतरणों में से एक है, ने गणित की उस शाखा को जन्म दिया जिसे अब अमूर्त बीजगणित कहा जाता है, जो आधुनिक गणित के बड़े भाग का आधार है और विज्ञान, अभियांत्रिकी तथा कंप्यूटर विज्ञान में जिसके व्यापक अनुप्रयोग हैं।

उन्नीसवीं सदी के प्रारंभिक बीजगणित की केंद्रीय प्रेरक समस्या यह प्रश्न था कि कौन से बहुपद समीकरणों को केवल अंकगणितीय संक्रियाओं और मूल निकालने की विधियों से युक्त सूत्रों द्वारा हल किया जा सकता है। द्विघात सूत्र, जो प्राचीन काल से ज्ञात था, और त्रिघात तथा चतुर्घात सूत्र, जिनकी खोज पुनर्जागरण काल में हुई, यह सिद्ध करते थे कि दो, तीन और चार घात के समीकरण इस प्रकार हल किए जा सकते हैं। स्वाभाविक प्रश्न यह था कि क्या पाँचवीं घात के सामान्य समीकरण — पंचघात समीकरण — के लिए भी कोई ऐसा ही सूत्र अस्तित्व में है। इस प्रश्न का पहला निश्चित उत्तर नॉर्वे के गणितज्ञ Niels Henrik Abel ने दिया, जिन्होंने 1824 में, मात्र इक्कीस वर्ष की आयु में, यह सिद्ध किया कि मूलांकों द्वारा पंचघात समीकरण को हल करने का कोई सामान्य सूत्र संभव नहीं है।

इससे भी गहरा और अधिक संपूर्ण उत्तर फ्रांस के गणितज्ञ Evariste Galois ने दिया, जिनका संक्षिप्त और दुखद जीवन 1832 में बीस वर्ष की आयु में एक द्वंद्वयुद्ध में उनकी मृत्यु के साथ समाप्त हो गया। उनका गणितीय कार्य, जो आंशिक रूप से उनके उस घातक द्वंद्वयुद्ध से पूर्व की रात लिखा गया था और लंबे समय तक उपेक्षित रहने के बाद असाधारण रूप से महत्वपूर्ण माना गया, समूह सिद्धांत की नींव रखता है। Galois ने प्रत्येक बहुपद समीकरण के साथ उसके मूलों के क्रमचयों का एक समूह संबद्ध किया। उन्होंने यह दर्शाया कि कोई समीकरण मूलांकों द्वारा हल किया जा सकता है, यदि और केवल यदि उसका संबद्ध समूह एक विशेष गुण रखता है, जिसे अब 'विलेयता' कहा जाता है। इस कसौटी ने न केवल यह स्पष्ट किया कि सामान्य पंचघात समीकरण मूलांकों द्वारा हल क्यों नहीं किया जा सकता, बल्कि यह भी बताया कि पाँच और उससे अधिक घात के समीकरण सामान्यतः मूलांकीय हल क्यों नहीं रखते, जबकि कम घात वाले समीकरण सदैव हल योग्य होते हैं।

Galois सिद्धांत उन्नीसवीं सदी के गणित की सर्वोच्च उपलब्धियों में से एक है। इसने समूह सिद्धांत को एक मूलभूत गणितीय उपकरण के रूप में स्थापित किया और यह प्रदर्शित किया कि अमूर्त बीजगणितीय संरचनाएँ स्पष्टतः असंबद्ध प्रतीत होने वाली गणितीय समस्याओं में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती हैं। समूह की अवधारणा, जो Galois के कार्य और सममिति, संख्या सिद्धांत तथा ज्यामिति के अध्ययन में समानांतर विकास से उद्भूत हुई, उन्नीसवीं सदी के दौरान संपूर्ण गणित और विज्ञान की सर्वाधिक व्यापक अवधारणाओं में से एक बन गई। भौतिकी में, भौतिक नियमों के सममिति समूह आधुनिक कण भौतिकी और मूलभूत अन्योन्यक्रियाओं के मानक प्रतिरूप का आधार हैं।

संख्या सिद्धांत, जो पूर्णांकों के गुणधर्मों का वह प्राचीन अध्ययन है जिसकी जड़ें Euclid और Diophantus तक जाती हैं, उन्नीसवीं सदी में Carl Friedrich Gauss, Peter Gustav Lejeune Dirichlet और Bernhard Riemann जैसे गणितज्ञों के कार्य से पुनः फला-फूला। Gauss की Disquisitiones Arithmeticae, जो 1801 में उनकी चौबीस वर्ष की आयु में प्रकाशित हुई, गणितीय साहित्य की श्रेष्ठ कृतियों में से एक है। इसने पूर्णांकों के बीच सर्वांगसमता संबंध की अवधारणा प्रस्तुत की, द्विघात रूपों का सिद्धांत विकसित किया, द्विघात व्युत्क्रमता के नियम का पहला कठोर प्रमाण दिया, यह सिद्ध किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक अधिकतम तीन त्रिभुजाकार संख्याओं का योग है, और अंकगणित के मूलभूत प्रमेय को सिद्ध किया, जिसने कठोर आधार पर यह स्थापित किया कि एक से बड़े प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है।

पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं का वितरण संख्या सिद्धांत के सबसे पुराने और गहरे प्रश्नों में से एक है। Gauss ने अनुमान लगाया था, और बाद के गणितज्ञों ने सिद्ध किया, कि किसी दी गई संख्या x तक की अभाज्य संख्याओं की संख्या लगभग x को x के प्राकृतिक लघुगणक से विभाजित करने पर प्राप्त होती है — यह परिणाम अभाज्य संख्या प्रमेय के नाम से जाना जाता है। Riemann ने 1859 के एक प्रसिद्ध शोधपत्र में, जो गणितीय इतिहास के सर्वाधिक प्रभावशाली शोधपत्रों में से है, Riemann ज़ीटा फलन और उसके सम्मिश्र शून्यकों को प्रस्तुत किया, और दर्शाया कि अभाज्य संख्याओं का वितरण सम्मिश्र तल में इन शून्यकों की स्थितियों से गहरे रूप से संबद्ध है। Riemann परिकल्पना, जो यह अभिकथन करती है कि ज़ीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्यक सम्मिश्र तल में एक निश्चित ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित हैं, आज भी अप्रमाणित है और संभवतः गणित की सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या है।

सांख्यिकी और प्रायिकता

सांख्यिकी और प्रायिकता का गणितीय सिद्धांत सत्रहवीं शताब्दी की जुए की समस्याओं से उभरकर गणित की सबसे व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक बन गया, जो प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में आंकड़ों से निष्कर्ष निकालने, अनिश्चितता को मापने और यादृच्छिक घटनाओं के मॉडल बनाने के लिए वैचारिक और संगणनात्मक उपकरण प्रदान करता है। अपनी गणितीय उत्पत्ति से लेकर डेटा विज्ञान और अनुभवजन्य अन्वेषण की भाषा के रूप में अपनी वर्तमान भूमिका तक सांख्यिकी का विकास अनुप्रयुक्त गणित की महान गाथाओं में से एक है।

सत्रहवीं शताब्दी में Pascal, Fermat और Huygens द्वारा रखी गई प्रायिकता सिद्धांत की नींव को अठारहवीं शताब्दी में Bernoulli परिवार, विशेष रूप से Jacob Bernoulli, तथा Abraham de Moivre और Pierre-Simon Laplace ने आगे विस्तारित किया। Jacob Bernoulli का बड़ी संख्याओं का नियम, जो 1713 में प्रकाशित हुआ, यादृच्छिक प्रयोगों के दीर्घकालिक व्यवहार के बारे में पहला कठोर प्रमेय था, जिसने सैद्धांतिक प्रायिकता और अनुभवजन्य आवृत्ति के बीच संबंध स्थापित किया। De Moivre की 1733 में द्विपद वितरण के सीमांत रूप के रूप में सामान्य वितरण की खोज, उस विषय का पहला प्रमुख परिणाम था जिसे हम आज केंद्रीय सीमा प्रमेय कहते हैं — जो संपूर्ण प्रायिकता सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक है।

Laplace और जर्मन गणितज्ञ Carl Friedrich Gauss ने स्वतंत्र रूप से लगभग 1800 के आसपास न्यूनतम वर्ग विधि की खोज की — यह आंकड़ों पर गणितीय मॉडल फिट करने की एक विधि है जो देखे गए और अनुमानित मानों के बीच वर्गीय अंतरों के योग को न्यूनतम करती है। Gauss ने इसे नवखोजित क्षुद्रग्रह Ceres की कक्षा की गणना करने की समस्या पर लागू किया, जिसके लिए उनके पास अवलोकनों का एक सीमित समुच्चय था। उन्होंने दृष्टि से ओझल हो जाने के बाद भी इसकी स्थिति की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी की, और इस भविष्यवाणी की शानदार सफलता ने न्यूनतम वर्ग विधि को प्रयोगात्मक आंकड़ों पर वक्र फिट करने का मानक उपकरण बना दिया। सामान्य वितरण, जो इस संदर्भ में त्रुटियों के वितरण के रूप में उभरता है, कभी-कभी Gauss के सम्मान में गाउसियन वितरण भी कहलाता है।

उन्नीसवीं शताब्दी में सांख्यिकी का विकास एक स्वायत्त अनुशासन के रूप में हुआ, जो केवल प्रायिकता सिद्धांत तक सीमित न रहकर संख्यात्मक आंकड़ों के संग्रह, संगठन और व्याख्या से भी संबंधित था। बेल्जियम के सांख्यिकीविद् Adolphe Quetelet, जो 1796 से 1874 तक जीवित रहे, ने सामाजिक घटनाओं पर सांख्यिकीय विधियाँ लागू कीं। उन्होंने बड़ी जनसंख्याओं में शारीरिक और सामाजिक विशेषताओं की एक श्रृंखला के औसत मूल्यों की गणना की और औसत मानव — l'homme moyen — की अवधारणा प्रस्तुत की, जो किसी जनसंख्या की केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाने वाली एक सांख्यिकीय अमूर्तता थी। उनके कार्य ने सामाजिक विज्ञानों में सांख्यिकी के उपयोग का मार्ग प्रशस्त किया और सार्वजनिक स्वास्थ्य, अपराध विज्ञान तथा समाजशास्त्र के विकास को प्रभावित किया।

अंग्रेज़ बहुज्ञ Francis Galton, जो 1822 से 1911 तक जीवित रहे, ने आनुवंशिकता और पीढ़ियों में लक्षणों के संचरण पर अपने अध्ययनों में माध्य की ओर प्रतीपगमन और सहसंबंध की अवधारणाएं प्रस्तुत कीं। उन्होंने देखा कि असामान्य रूप से लंबे माता-पिता के बच्चे औसत से लंबे होते हैं, किंतु अपने माता-पिता से छोटे होते हैं, और उन्होंने इस घटना को माध्यमिकता की ओर प्रतीपगमन कहा, जिसे आज माध्य की ओर प्रतीपगमन के नाम से जाना जाता है। उनके सांख्यिकीय विचारों को उनके शिष्य Karl Pearson ने औपचारिक रूप दिया और विस्तारित किया, जिन्होंने सहसंबंध गुणांक, काई-वर्ग परीक्षण और आधुनिक सांख्यिकी के कई अन्य उपकरणों का गणितीय सिद्धांत विकसित किया।

बीसवीं सदी में गणितीय सांख्यिकी एक कठोर अनुशासन के रूप में विकसित हुई, जिसकी मज़बूत सैद्धांतिक नींव थी। इस विकास में शायद सबसे महत्वपूर्ण भूमिका Ronald Aylmer Fisher की रही — एक अंग्रेज़ सांख्यिकीविद् और आनुवंशिकीविद्, जिनका जीवनकाल 1890 से 1962 तक रहा। उनके योगदानों में प्रसरण विश्लेषण (analysis of variance) का विकास, अधिकतम संभावना अनुमान (maximum likelihood estimation) की अवधारणा, प्रयोगों की रूपरेखा (design of experiments), और आधुनिक परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing) की नींव शामिल हैं। उनकी पुस्तकें Statistical Methods for Research Workers और The Design of Experiments, जो क्रमशः 1925 और 1935 में प्रकाशित हुईं, ने पीढ़ियों तक विभिन्न विषयों के वैज्ञानिकों की सांख्यिकीय कार्यप्रणाली को आकार दिया।

बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में कंप्यूटिंग के आगमन ने सांख्यिकी को पूरी तरह बदल दिया — ऐसी गणनाएँ अब संभव हो गईं जो पहले अव्यावहारिक मानी जाती थीं। साथ ही, बायेसियन सांख्यिकी (Bayesian statistics), अप्राचलिक विधियों (nonparametric methods), और सांख्यिकीय आधारों से उभरे मशीन लर्निंग एल्गोरिदम की विशाल श्रृंखला जैसी नई पद्धतियों का भी उदय हुआ। आधुनिक डेटा क्रांति, जिसमें मानव गतिविधि के हर क्षेत्र से अपार मात्रा में डेटा एकत्र किया जा रहा है, ने सांख्यिकीय तर्कपद्धति को पहले से कहीं अधिक महत्वपूर्ण बना दिया है और उच्च-आयामी सांख्यिकी (high-dimensional statistics), संपीड़ित संवेदन (compressed sensing), तथा यादृच्छिक आव्यूहों और नेटवर्कों के विश्लेषण में नई गणितीय चुनौतियाँ भी खड़ी की हैं।

20वीं सदी और शुद्ध गणित

बीसवीं सदी को गणित के संपूर्ण इतिहास का सबसे रचनात्मक और उत्पादक काल कहा जा सकता है। इस सदी में गणितीय कार्यों की मात्रा और विविधता किसी भी पिछले युग से बढ़कर रही। इस दौर में जितने नए गणितीय अनुशासन सृजित हुए, जितनी गहरी समस्याएँ हल हुईं, और गणित के겉보기 दूर-दूर के क्षेत्रों के बीच जितने अप्रत्याशित संबंध उजागर हुए — वे सब मिलकर इस युग को इस विषय का स्वर्णकाल बनाते हैं।

सदी की शुरुआत एक ऐसी चुनौती से हुई जिसने उसका पूरा एजेंडा तय कर दिया। 1900 में, जर्मन गणितज्ञ David Hilbert — जो उस समय के सर्वप्रमुख गणितीय व्यक्तित्व थे — ने पेरिस में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस (International Congress of Mathematicians) में एक भाषण दिया, जिसमें उन्होंने आने वाली सदी के लिए तेईस समस्याएँ चुनौती के रूप में प्रस्तुत कीं। ये समस्याएँ गणित की प्रकृति से जुड़े बुनियादी प्रश्नों से लेकर संख्या सिद्धांत, ज्यामिति और गणितीय भौतिकी की विशिष्ट परिकल्पनाओं तक फैली हुई थीं, और इन्होंने दशकों तक गणितीय शोध को दिशा दी — इनमें से कई आज भी अनसुलझी हैं। Hilbert की इस सूची ने काफी हद तक यह परिभाषित किया कि गणित समुदाय किन प्रश्नों को सबसे महत्वपूर्ण खुले प्रश्न मानता है, और बीसवीं सदी के गणित का इतिहास, एक हद तक, इसी सूची पर हुई प्रगति का इतिहास है।

Hilbert स्वयं एक अत्यंत प्रभावशाली व्यक्तित्व थे, जिनका प्रभाव सदी के शुरुआती दशकों में गणित के विकास को आकार देता रहा। उनकी पुस्तक Grundlagen der Geometrie, यानी Foundations of Geometry, जो 1899 में प्रकाशित हुई, ने यूक्लिडीय ज्यामिति का वह कठोर स्वयंसिद्ध विवेचन प्रस्तुत किया जिसकी Euclid की मूल प्रस्तुति में हमेशा कमी रही थी — इसमें सभी आवश्यक मान्यताओं को स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया और सब कुछ इन्हीं स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया गया। संपूर्ण गणित की नींव के लिए उनका कार्यक्रम, जिसे Hilbert कार्यक्रम कहा जाता है, का लक्ष्य था कि गणित की समस्त शाखाओं को एक सीमित, संगत स्वयंसिद्धों के समुच्चय पर स्थापित किया जाए, जिससे सैद्धांतिक रूप से हर गणितीय सत्य को व्युत्पन्न किया जा सके। यह महत्वाकांक्षी कार्यक्रम, जो 1920 के दशक में पूरी तरह संभव लगता था, 1931 में गणित के इतिहास के सबसे चौंकाने वाले परिणामों में से एक के सामने धराशायी हो गया।

ऑस्ट्रियाई तर्कशास्त्री Kurt Godel, जो 1906 से 1978 तक जीवित रहे, ने 1931 में अपने अपूर्णता प्रमेय (incompleteness theorems) सिद्ध किए — ये दो ऐसे परिणाम थे जिनके Hilbert के कार्यक्रम पर विनाशकारी प्रभाव पड़े। पहली अपूर्णता प्रमेय यह कहती है कि कोई भी संगत औपचारिक प्रणाली, जो साधारण अंकगणित का वर्णन करने में सक्षम हो, उसमें ऐसे सत्य कथन अवश्य होंगे जिन्हें उस प्रणाली के भीतर सिद्ध नहीं किया जा सकता। दूसरी प्रमेय यह कहती है कि ऐसी कोई भी प्रणाली अपनी स्वयं की संगतता सिद्ध नहीं कर सकती। इन प्रमेयों ने यह दर्शाया कि Hilbert का वह स्वप्न — कि गणित की समस्त शाखाओं के लिए एक पूर्ण और सिद्धांततः संगत आधार बनाया जाए — सिद्धांत रूप में ही असंभव था, न कि केवल व्यवहार में कठिन। Godel की प्रमेयें तर्कशास्त्र के इतिहास और गणित के दर्शन में सबसे गहरे और सबसे चौंकाने वाले परिणामों में गिनी जाती हैं।

बीसवीं सदी में ऐसी अनेक समस्याओं का समाधान हुआ जो सदियों से अनसुलझी पड़ी थीं। Andrew Wiles ने 1995 में Fermat का अंतिम प्रमेय (Fermat's Last Theorem) सिद्ध किया, जो साढ़े तीन शताब्दियों तक गणित की शायद सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या बनी रही। Poincaré का अनुमान (Poincaré conjecture), जो Henri Poincaré ने 1904 में प्रस्तुत किया था और जिसमें यह पूछा गया था कि क्या कोई भी सरल-संबद्ध (simply connected) बंद त्रि-आयामी मैनिफोल्ड एक त्रि-गोले (three-sphere) के समतुल्य (homeomorphic) है — इसे रूसी गणितज्ञ Grigori Perelman ने लगभग 2003 में ज्यामितीय विश्लेषण की ऐसी विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जिन्होंने इस प्रकार की टोपोलॉजिकल समस्याओं के समाधान के तरीके में क्रांति ला दी।

बीसवीं सदी में पूरी तरह नई गणितीय शाखाओं का भी सृजन हुआ। टोपोलॉजी (Topology), जो सतत विरूपण (continuous deformation) के अंतर्गत अपरिवर्तित रहने वाले गुणों का अध्ययन करती है, Poincaré, Emmy Noether और अनेक अन्य विद्वानों की मौलिक अंतर्दृष्टियों से विकसित होकर गणित की प्रमुख शाखाओं में से एक बन गई। फंक्शनल एनालिसिस (Functional analysis), जो कलन (calculus) का अनंत-आयामी समष्टियों तक विस्तार करती है, David Hilbert, Stefan Banach और John von Neumann जैसे गणितज्ञों द्वारा विकसित की गई और क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय संरचना के लिए अनिवार्य बन गई। बीजीय टोपोलॉजी (Algebraic topology), अवकल ज्यामिति (differential geometry), श्रेणी सिद्धांत (category theory) और अनेक अन्य क्षेत्र या तो बीसवीं सदी में ही सृजित हुए या इसी काल में परिपक्वता को प्राप्त हुए।

हंगेरियन-अमेरिकी गणितज्ञ John von Neumann, जो 1903 से 1957 तक जीवित रहे, उस शताब्दी के सबसे बहुमुखी और प्रतिभाशाली गणितज्ञों में से एक थे। उनका योगदान गणित की नींव, क्वांटम यांत्रिकी, खेल सिद्धांत (game theory), अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान तक फैला हुआ था। Hilbert समष्टियों (Hilbert spaces) पर संकारकों (operators) के संदर्भ में उनके द्वारा की गई क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय संरचना आज भी भौतिकशास्त्रियों द्वारा उपयोग की जाने वाली मानक रूपरेखा है। खेल सिद्धांत में उनका मिनिमैक्स प्रमेय (minimax theorem) रणनीतिक व्यवहार के गणितीय सिद्धांत की नींव बना, जो अर्थशास्त्र, राजनीति विज्ञान और विकासवादी जीवविज्ञान में अनिवार्य हो चुका है।

जर्मन गणितज्ञ Emmy Noether, जो 1882 से 1935 तक जीवित रहीं और जिन्हें Einstein ने अब तक उत्पन्न सबसे महत्त्वपूर्ण सृजनशील गणितीय प्रतिभा के रूप में वर्णित किया था, ने अमूर्त बीजगणित (abstract algebra) और सैद्धांतिक भौतिकी में मूलभूत योगदान दिए। उनका प्रमेय, जिसे अब Noether का प्रमेय कहा जाता है, 1915 में सिद्ध किया गया और 1918 में प्रकाशित हुआ। इसने किसी भौतिक प्रणाली की सममितियों (symmetries) और संरक्षण नियमों (conservation laws) के बीच गहरे संबंध को स्थापित किया — उदाहरण के लिए यह दर्शाते हुए कि समय में स्थानांतरण (translation in time) के अंतर्गत भौतिक नियमों की सममिति, ऊर्जा के संरक्षण के नियम से संगत है। यह परिणाम, जो समस्त आधुनिक भौतिकी के लिए मूलभूत है, भौतिक जगत में अमूर्त बीजगणितीय चिंतन का एक प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है।

कंप्यूटर और गणितीय तर्कशास्त्र

गणित और संगणना (computation) के बीच का संबंध अत्यंत प्राचीन है, किंतु बीसवीं सदी ने इसे गहन रूप से बदल दिया। उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध और बीसवीं सदी के प्रारंभ में गणितीय तर्कशास्त्र के विकास ने, द्वितीय विश्व युद्ध की व्यावहारिक आवश्यकताओं के साथ मिलकर, इलेक्ट्रॉनिक डिजिटल कंप्यूटरों के निर्माण का सीधा मार्ग प्रशस्त किया, जिन्होंने आगे चलकर गणित की व्यावहारिकता और उसके अनुप्रयोगों दोनों में क्रांति ला दी। संगणना का अध्ययन स्वयं गणितीय शोध की एक प्रमुख शाखा बन गया, जिसने इस बारे में गहन परिणाम दिए कि क्या संगणनीय है और क्या नहीं, तथा संगणनात्मक समस्याओं की अंतर्निहित जटिलता के विषय में भी।

कंप्यूटिंग की गणितीय नींव 1930 के दशक में रखी गई थी, यानी पहला इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर बनने से पहले ही। अंग्रेज़ गणितज्ञ Alan Turing, जो 1912 से 1954 तक जीवित रहे, उन्होंने 1936 में एक सार्वभौमिक कंप्यूटिंग मशीन की सैद्धांतिक अवधारणा प्रस्तुत की, जिसे आज Turing machine कहा जाता है। यह गणना का एक सटीक गणितीय मॉडल है। Turing machine एक अमूर्त युक्ति है जिसमें आंतरिक अवस्थाओं का एक सीमित समुच्चय होता है, इनपुट और आउटपुट के लिए एक अनंत टेप होता है, और एक ट्रांज़िशन फ़ंक्शन होता है जो हर चरण पर उसके व्यवहार को निर्धारित करता है। Turing ने यह सिद्ध किया कि किसी भी यांत्रिक प्रक्रिया द्वारा सिद्धांततः की जा सकने वाली कोई भी गणना, किसी उपयुक्त Turing machine द्वारा की जा सकती है — इस प्रकार इस मॉडल को गणना के सिद्धांत की गणितीय आधारशिला के रूप में स्थापित किया।

Turing ने गणना की सीमाओं के बारे में पहला महत्त्वपूर्ण परिणाम भी सिद्ध किया: हाल्टिंग समस्या की अनिर्णेयता। उन्होंने दिखाया कि कोई सामान्य एल्गोरिदम नहीं है जो किसी भी दिए गए प्रोग्राम और किसी भी दिए गए इनपुट के लिए यह निर्धारित कर सके कि वह प्रोग्राम अंततः रुकेगा या हमेशा चलता रहेगा। 1936 में सिद्ध यह परिणाम इस बात का प्रमाण था कि कुछ गणितीय रूप से सुपरिभाषित प्रश्न ऐसे हैं जिनका उत्तर कोई एल्गोरिदम नहीं दे सकता। यह Gödel के अपूर्णता प्रमेयों का पूरक था और किसी हद तक उन्हें गणना के क्षेत्र तक विस्तारित भी करता था।

इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों का व्यावहारिक विकास गणितीय सिद्धांत के साथ-साथ और उससे जुड़ा हुआ आगे बढ़ा। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, Turing ने इंग्लैंड के Bletchley Park में ब्रिटिश कोड-तोड़ने के अभियान में योगदान दिया और जर्मन Enigma सिफर को तोड़ने के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय विधियों पर काम किया। John von Neumann ने 1940 के दशक के मध्य में पहले इलेक्ट्रॉनिक डिजिटल कंप्यूटरों के डिज़ाइन में अहम योगदान दिया और स्टोर्ड-प्रोग्राम आर्किटेक्चर की अवधारणा प्रस्तुत की, जिसमें डेटा और प्रोग्राम निर्देश दोनों एक ही मेमोरी में संग्रहीत होते हैं — यह विशेषता तब से बने लगभग सभी कंप्यूटरों में मौजूद है।

कंप्यूटरों के विकास ने नई गणितीय समस्याएँ उत्पन्न कीं और पुरानी समस्याओं को हल करने के नए तरीके भी सामने लाए। संख्यात्मक विश्लेषण, जो गणित की वह शाखा है जो गणितीय समस्याओं के संख्यात्मक सन्निकटन की गणना के लिए एल्गोरिदम के अभिकल्पन और विश्लेषण से संबंधित है, अत्यंत महत्त्वपूर्ण हो गई, क्योंकि कंप्यूटरों ने ऐसी गणनाएँ उस पैमाने पर संभव बना दीं जो पहले कल्पना से परे थीं। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म एल्गोरिदम, जिसे James Cooley और John Tukey ने 1965 में खोजा, ने Fourier ट्रांसफॉर्म की गणना की कम्प्यूटेशनल लागत को नाटकीय रूप से घटा दिया और सिग्नल प्रोसेसिंग, डेटा संपीड़न तथा वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में क्रांति ला दी।

कम्प्यूटेशनल जटिलता का सिद्धांत, जो समस्याओं को उन्हें एल्गोरिदमिक रूप से हल करने के लिए आवश्यक संसाधनों — मुख्यतः समय और मेमोरी — के आधार पर वर्गीकृत करता है, बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में गणितीय शोध का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। P बनाम NP समस्या, जो यह पूछती है कि क्या हर वह समस्या जिसका समाधान शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, उसे शीघ्रता से हल भी किया जा सकता है — इसे लगभग 1971 के आसपास प्रतिपादित किया गया था और अब यह Millennium Prize Problems में से एक है, जिसके समाधान पर दस लाख डॉलर का पुरस्कार दिया जाएगा। इस समस्या का समाधान क्रिप्टोग्राफी, अनुकूलन, कृत्रिम बुद्धिमत्ता और गणित की नींव पर गहरा प्रभाव डालेगा।

कंप्यूटरों ने गणित की व्यावहारिक कार्यप्रणाली को भी अधिक प्रत्यक्ष तरीकों से बदला है। कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाणों में, जिनमें कंप्यूटरों का उपयोग ऐसे असंख्य मामलों की जाँच के लिए किया जाता है जिन्हें हाथ से सत्यापित करना अव्यावहारिक होगा, कई प्रसिद्ध प्रमेयों को सिद्ध किया गया है। चार रंग प्रमेय, जो यह कहता है कि किसी भी समतलीय मानचित्र को अधिकतम चार रंगों से इस प्रकार रंगा जा सकता है कि कोई भी दो आसन्न क्षेत्र एक ही रंग साझा न करें — इसे 1976 में Kenneth Appel और Wolfgang Haken ने व्यापक कंप्यूटर सहायता से सिद्ध किया, जिसमें 1,476 रिड्यूसिबल कॉन्फ़िगरेशन की जाँच की गई। यह पहला प्रमुख प्रमेय था जिसका प्रमाण मूलतः कंप्यूटर गणना पर निर्भर था और इसने गणितीय प्रमाण की प्रकृति को लेकर दार्शनिक बहस को जन्म दिया।

आधुनिक क्रिप्टोग्राफी, जो इंटरनेट संचार, वित्तीय लेनदेन और राज्य रहस्यों को सुरक्षित रखती है, संख्या सिद्धांत और बीजगणित की गहरी गणितीय नींव पर टिकी है। सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी, जिसका आविष्कार Whitfield Diffie और Martin Hellman ने 1976 में किया था और स्वतंत्र रूप से Ronald Rivest, Adi Shamir और Leonard Adleman ने 1977 में RSA प्रणाली के रूप में किया था, बड़ी संख्याओं को अभाज्य संख्याओं में गुणनखंड करने की गणनात्मक कठिनाई पर निर्भर करती है — यह समस्या प्राचीन यूनानी और बाद के गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किए गए अभाज्य संख्या सिद्धांत से गहराई से जुड़ी है। आज अरबों इंटरनेट उपयोगकर्ताओं की व्यावहारिक सुरक्षा उन संख्या सिद्धांतवेत्ताओं द्वारा विकसित गणितीय परिणामों पर निर्भर करती है, जिन्होंने कभी किसी व्यावहारिक उपयोग की कल्पना भी नहीं की थी।

इतिहास के प्रसिद्ध गणितज्ञ

गणित का इतिहास उन असाधारण व्यक्तियों से भरा पड़ा है जिनकी बौद्धिक प्रतिभा और अपने विषय के प्रति समर्पण ने वे महान प्रमेय और सिद्धांत उत्पन्न किए जो मानवता की गणितीय धरोहर का निर्माण करते हैं। कुछ सर्वाधिक प्रभावशाली दिवंगत गणितज्ञों का एक संक्षिप्त विवरण गणितीय प्रतिभा की विविधता और गणितीय प्रगति की संचयी एवं सहयोगात्मक प्रकृति दोनों को उजागर करता है।

Euclid, जिन्होंने लगभग 300 BCE में अलेक्जेंड्रिया में कार्य किया, Elements के रचयिता थे — यह इतिहास की सबसे प्रभावशाली गणित की पाठ्यपुस्तक और पश्चिमी गणित परंपरा की नींव है। हालाँकि उनके जीवन के बारे में अपेक्षाकृत कम जानकारी उपलब्ध है, लेकिन अपने समय के गणितीय ज्ञान को एक कठोर निगमनात्मक प्रणाली में व्यवस्थित करने की उनकी बौद्धिक उपलब्धि अत्यंत महत्त्वपूर्ण थी। Elements को इसकी रचना से लेकर उन्नीसवीं सदी के अंत तक — यानी दो हजार से भी अधिक वर्षों तक — यूरोपीय और इस्लामी संस्थाओं में गणित पढ़ाने की प्राथमिक पाठ्यपुस्तक के रूप में उपयोग किया जाता रहा।

सिरैक्यूज़ के Archimedes, 287 से 212 BCE, प्राचीन काल के सर्वोच्च गणितीय प्रतिभाशाली व्यक्ति थे, जिन्होंने अमूर्त गणितीय उपलब्धि को व्यावहारिक यांत्रिकी और इंजीनियरिंग में कुशलता के साथ संयुक्त किया। पाई की उनकी गणना, वक्र आकृतियों के क्षेत्रफल और आयतन के उनके सूत्र, लीवर और उत्प्लावन पर उनका कार्य, तथा अनंत श्रेणियों के योग के प्रति उनका दृष्टिकोण — इन सभी ने उन्हें अपने समकालीनों से कई शताब्दियाँ आगे खड़ा कर दिया और सत्रहवीं सदी के महान गणितज्ञों के समकक्ष ला दिया।

Brahmagupta, जिनका जन्म 598 CE में भारत में हुआ था, प्रारंभिक मध्यकालीन काल के सबसे महत्त्वपूर्ण गणितज्ञों में से एक थे। शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के साथ अंकगणित का उनका व्यवस्थित विवेचन, चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल का उनका सूत्र, और अनिर्धार्य समीकरणों पर उनका कार्य — इन सबने उन्हें गणित के इतिहास में एक चिरस्थायी महत्त्व की हस्ती के रूप में स्थापित किया।

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, जिन्होंने नवीं सदी के आरंभ में बगदाद में कार्य किया, ने बीजगणित को एक व्यवस्थित अनुशासन के रूप में स्थापित किया और हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को इस्लामी जगत और अप्रत्यक्ष रूप से यूरोप से परिचित कराया। उनके नाम से algebra शब्द — al-jabr से — और algorithm शब्द — उनके नाम के लैटिन रूप से — प्रचलित हुए, जो आधुनिक गणित और कंप्यूटर विज्ञान के दो सर्वाधिक महत्त्वपूर्ण शब्द हैं।

पीसा के Leonardo, Fibonacci, जो लगभग 1170 से लगभग 1250 तक जीवित रहे, ने अपनी पुस्तक Liber Abaci के माध्यम से हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को यूरोप से परिचित कराया और यूरोपीय परंपरा में बीजगणित तथा संख्या सिद्धांत के विकास में योगदान दिया। Fibonacci अनुक्रम, जो खरगोशों की जनसंख्या वृद्धि पर उनके कार्य में प्रकट होता है, बाद में प्राकृतिक घटनाओं की एक आश्चर्यजनक विविधता में पाया गया — सूरजमुखी के बीजों की सर्पिल व्यवस्था से लेकर पेड़ों की शाखाओं तक।

Niccolo Tartaglia, 1500 से 1557, और Gerolamo Cardano, 1501 से 1576, ने घन और चतुर्घात समीकरणों को हल करने की महान पुनर्जागरण काल की सफलता हासिल की, जिसने बहुपद समीकरणों के व्यवस्थित अध्ययन और सम्मिश्र संख्याओं के सिद्धांत का द्वार खोला।

John Napier, 1550 से 1617, ने लघुगणक (लॉगरिदम) का आविष्कार किया, जो गणित के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण गणनीय उपकरणों में से एक है। उनकी लघुगणक तालिकाएँ, और बाद में उन पर आधारित स्लाइड रूल, सत्रहवीं से बीसवीं सदी तक वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के मानक गणना उपकरण रहे।

René Descartes, 1596 से 1650, ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति (एनालिटिक जियोमेट्री) का आविष्कार किया, जिसने बीजगणित और ज्यामिति के पहले से अलग-अलग चले आ रहे विषयों को एकीकृत किया और वह निर्देशांक प्रणाली (कोऑर्डिनेट सिस्टम) दी जो अधिकांश गणितीय दृश्यांकन का आधार है। उनकी रचना La Géométrie ने गणित की प्रचलित पद्धति को बदल दिया।

Pierre de Fermat, 1607 से 1665, ने संख्या सिद्धांत में मूलभूत योगदान दिए, जिनमें उनका अंतिम प्रमेय, लघु प्रमेय और अनंत अवरोहण की विधि पर उनका कार्य शामिल है। उन्होंने कलन (कैलकुलस) और प्रायिकता सिद्धांत की नींव में भी योगदान दिया।

Blaise Pascal, 1623 से 1662, ने प्रक्षेपी ज्यामिति (प्रोजेक्टिव जियोमेट्री), प्रायिकता सिद्धांत और अंकगणितीय त्रिभुज के सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिए। उनकी Pascaline, जो पहली यांत्रिक गणना मशीनों में से एक थी, ने तीन सदी पहले ही कंप्यूटिंग के विकास की झलक दिखा दी थी।

Isaac Newton, 1642 से 1727, कलन के सह-आविष्कारक, गति के नियमों और सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के प्रतिपादक, तथा भौतिकी और विश्लेषण के लिए अनेक गणितीय उपकरणों के विकासकर्ता थे। सन् 1687 की उनकी Principia Mathematica विज्ञान के इतिहास की सबसे महत्वपूर्ण पुस्तकों में से एक है।

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 से 1716, कलन के सह-आविष्कारक और उसके संकेतन के विकासकर्ता थे; उन्होंने तर्कशास्त्र, दर्शनशास्त्र और क्रमचय-संचय (कॉम्बिनेटोरिक्स) में भी योगदान दिया। कलन के लिए उनका संकेतन ही आज विश्वभर में प्रयोग किया जाता है।

Leonhard Euler, 1707 से 1783, इतिहास के सर्वाधिक उत्पादक गणितज्ञ थे, जिन्होंने विश्लेषण, संख्या सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत, यांत्रिकी और अपने समय की लगभग हर अन्य गणित की शाखा में मूलभूत योगदान दिए। उन्होंने आज प्रयोग में आने वाले अधिकांश मानक गणितीय संकेतन प्रचलित किए, जिनमें e, i, pi, योग के लिए सिग्मा और फलन के लिए f of x शामिल हैं।

Carl Friedrich Gauss, 1777 से 1855, गणितज्ञों के राजकुमार, ने संख्या सिद्धांत, बीजगणित, सांख्यिकी, अवकल ज्यामिति (डिफरेंशियल जियोमेट्री) और गणितीय भौतिकी में क्रांतिकारी योगदान दिए। उनकी Disquisitiones Arithmeticae गणित के इतिहास की महानतम कृतियों में से एक है।

Augustin-Louis Cauchy, 1789 से 1857, ने सीमाओं के सिद्धांत (थ्योरी ऑफ लिमिट्स) को विकसित करके कलन को एक सुदृढ़ तार्किक आधार प्रदान किया। उनकी पाठ्यपुस्तकों ने एक सदी तक विश्लेषण की शिक्षा को आकार दिया।

Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792 से 1856, और Janos Bolyai, 1802 से 1860, ने स्वतंत्र रूप से अ-यूक्लिडीय ज्यामिति (नॉन-यूक्लिडियन जियोमेट्री) की रचना की, जो गणित के इतिहास की सबसे क्रांतिकारी खोजों में से एक है।

Niels Henrik Abel, 1802 से 1829, ने यह सिद्ध किया कि सामान्य पंचघातीय समीकरण (क्विंटिक) को मूलांकों द्वारा हल करना असंभव है और दीर्घवृत्तीय फलनों (एलिप्टिक फंक्शन्स) के सिद्धांत में मूलभूत योगदान दिए — यह सब छब्बीस वर्ष की आयु में उनकी मृत्यु से पहले।

Evariste Galois, 1811 से 1832, ने Galois सिद्धांत और समूह सिद्धांत (ग्रुप थ्योरी) की रचना की, जिसके परिणामों ने अगली दो सदियों तक बीजगणित के विकास को आकार दिया — और यह सब बीस वर्ष की आयु में एक द्वंद्वयुद्ध में मारे जाने से पहले।

Bernhard Riemann, 1826 से 1866, ने सम्मिश्र विश्लेषण (कॉम्प्लेक्स एनालिसिस), अवकल ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में मूलभूत योगदान दिए। Riemann जीटा फलन और Riemann परिकल्पना (हाइपोथीसिस) को प्रस्तुत करने वाला उनका 1859 का शोधपत्र संभवतः गणित के इतिहास का सर्वाधिक प्रभावशाली एकल शोधपत्र है।

Georg Cantor, 1845 से 1918, ने समुच्चय सिद्धांत (सेट थ्योरी) और अनंत कार्डिनल संख्याओं के सिद्धांत की रचना की, यह दिखाते हुए कि कुछ अनंत दूसरों से बड़े होते हैं, और इस प्रकार गणित की नींव में क्रांति ला दी।

Henri Poincare, 1854 से 1912, उन अंतिम गणितज्ञों में से एक थे जिन्होंने पूरे विषय की समस्त शाखाओं में बड़े योगदान दिए। टोपोलॉजी, खगोलीय यांत्रिकी (सेलेस्टियल मैकेनिक्स), गणितीय भौतिकी और गणित की नींव में उनका कार्य अत्यंत प्रभावशाली रहा।

Emmy Noether, 1882 से 1935, ने अमूर्त बीजगणित में क्रांति ला दी और सममितियों तथा संरक्षण नियमों को जोड़ने वाले अपने प्रमेय के माध्यम से सैद्धांतिक भौतिकी में मूलभूत योगदान दिया।

Alan Turing, 1912 से 1954, ने कंप्यूटर विज्ञान की सैद्धांतिक नींव रखी, हाल्टिंग समस्या की अनिर्णायकता को सिद्ध किया, और कंप्यूटिंग के व्यावहारिक विकास में भी योगदान दिया। द्वितीय विश्व युद्ध में ब्रिटिश कोड-तोड़ने के अभियान में भी उनकी भूमिका अत्यंत महत्वपूर्ण थी।

John von Neumann, 1903 से 1957, ने क्वांटम यांत्रिकी, गेम थ्योरी, अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में महत्वपूर्ण योगदान दिए, और पहले आधुनिक कंप्यूटरों के डिज़ाइन में भी सहयोग किया।

रोज़मर्रा की ज़िंदगी में गणित

गणित रोज़मर्रा की ज़िंदगी में इस हद तक व्याप्त है कि अधिकांश लोग इसे शायद ही कभी महसूस करते हैं। सुबह क्लॉक रेडियो के चालू होने से लेकर रात को रेस्तरां के बिल का हिसाब लगाने तक, सामान्य मानव जीवन गणितीय संबंधों, मापों और गणनाओं से संरचित है। व्यावहारिक गणित का इतिहास कई मायनों में सभ्यता का ही इतिहास है: प्रौद्योगिकी, वाणिज्य, नौवहन, वास्तुकला, चिकित्सा और संचार में हर बड़ा विकास उन गणितीय साधनों पर निर्भर रहा है जो उन गणितज्ञों ने विकसित किए, जिनके कार्य का वर्णन इस लेख में किया गया है।

रोज़मर्रा की ज़िंदगी में गणित का सबसे बुनियादी और सार्वभौमिक उपयोग पैसे से जुड़ा है: गिनती, लेखांकन और अंकगणित। वस्तुओं की मात्रा का हिसाब रखने, लेन-देन दर्ज करने और लाभ-हानि की गणना करने की ज़रूरत ने ही प्राचीन मेसोपोटामिया और मिस्र में लेखन और संख्या-अंकन के विकास को मुख्य रूप से प्रेरित किया। हिंदू-अरबी अंक प्रणाली, अपनी दशमलव स्थानीय संकेतन और शून्य के साथ, यूरोप में रोमन अंक प्रणाली को इसीलिए विस्थापित कर सकी क्योंकि इसने व्यावसायिक अंकगणित को कहीं अधिक कुशल बना दिया। दोहरी प्रविष्टि बहीखाता पद्धति, जो मध्यकाल में इतालवी नगर-राज्यों में प्रचलन में आई और 1494 में Luca Pacioli द्वारा वर्णित की गई, ने व्यावसायिक अभिलेख-रखरखाव में गणितीय ढाँचे को इस प्रकार लागू किया कि इसने आधुनिक पूँजीवाद के विकास में सीधा योगदान दिया।

वास्तुकला और निर्माण में हमेशा से पर्याप्त गणितीय ज्ञान की आवश्यकता रही है। मिस्र के पिरामिडों के लिए दूरियों और कोणों को सटीकता से मापने, पत्थर के आयतन की गणना करने और विशाल निर्माण परियोजनाओं की लॉजिस्टिक्स की योजना बनाने की क्षमता ज़रूरी थी। मध्यकालीन यूरोप के महान गिरजाघरों के निर्माण के लिए मेहराबों और तिजोरियों के ज्यामितीय सिद्धांतों की इतनी समझ आवश्यक थी कि संरचनात्मक स्थिरता सुनिश्चित हो सके। आधुनिक वास्तुकला में कलन-आधारित संरचनात्मक विश्लेषण, परिमित तत्व विधियाँ और कंप्यूटर-सहायता प्राप्त डिज़ाइन सॉफ़्टवेयर का उपयोग होता है, जो एक ऐसी गणितीय नींव पर आधारित है जिसमें रैखिक बीजगणित, अवकल समीकरण और संख्यात्मक विश्लेषण शामिल हैं।

GPS तकनीक के आने से पहले, नौवहन के लिए स्थिति निर्धारित करने और मार्ग तय करने हेतु परिष्कृत गणितीय साधनों की आवश्यकता होती थी। त्रिकोणमिति, लघुगणक और कलन का विकास आंशिक रूप से नाविकों की ज़रूरतों से प्रेरित था। सत्रहवीं शताब्दी के बाद से समुद्री राष्ट्रों द्वारा उपयोग किए जाने वाले सेक्सटेंट, कालमापी और नौवहन तालिकाओं में सदियों के गणितीय विकास का सार समाया हुआ है। आज, वैश्विक स्थान-निर्धारण प्रणाली यानी GPS, एक रिसीवर और कई उपग्रहों के बीच मापी गई दूरियों से संबंधित एक साथ हल किए जाने वाले समीकरणों के समुच्चय को सुलझाकर काम करती है, जो त्रि-आयामी निर्देशांक ज्यामिति का एक प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है।

चिकित्सा और सार्वजनिक स्वास्थ्य सांख्यिकीय और प्रायिकता-आधारित तर्कपद्धति पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं। नैदानिक परीक्षणों में यह निर्धारित करने के लिए सांख्यिकीय विधियों का उपयोग किया जाता है कि उपचार प्रभावी है या नहीं — इसके लिए उपचार समूह और नियंत्रण समूह के परिणामों की तुलना की जाती है और प्रायिकता सिद्धांत के माध्यम से यह आकलन किया जाता है कि देखे गए अंतर संयोगवश हो सकते हैं या नहीं। महामारी विज्ञान, जो जनसंख्या में रोगों के वितरण और उनके निर्धारकों का अध्ययन करता है, अनिवार्य रूप से व्यावहारिक सांख्यिकी ही है। संक्रामक रोगों के फैलाव का मॉडलिंग, जिसमें प्रजनन संख्या R की प्रसिद्ध अवधारणा शामिल है — यानी प्रति प्राथमिक मामले से अपेक्षित द्वितीयक मामलों की संख्या — सीधे अवकल समीकरणों के गणितीय सिद्धांत से निकली है।

संगीत, जिसे प्राचीन पाइथागोरसवादी कलाओं में सबसे अधिक गणितीय मानते थे, हर स्तर पर गणितीय संबंधों पर आधारित है। हार्मोनिक श्रृंखला, जो एक मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणजों पर आवृत्तियों का अनुक्रम होती है, संगीत स्वरों की संरचना को निर्धारित करती है। पश्चिमी संगीत में सत्रहवीं सदी से प्रचलित समान स्वरमान पैमाना सप्तक को बारह बराबर अर्धस्वरों में विभाजित करता है, जिसमें आसन्न स्वरों के बीच आवृत्ति अनुपात दो का बारहवाँ मूल होता है। डिजिटल ऑडियो प्रसंस्करण, जो आधुनिक रिकॉर्डिंग और प्लेबैक तकनीक का आधार है, डिस्क्रीट फूरियर रूपांतरण और उन्नत गणित पर आधारित अन्य सिग्नल प्रोसेसिंग एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

कंप्यूटर, जो आधुनिक जीवन की केंद्रीय तकनीक बन चुके हैं, गणितीय तर्कशास्त्र की नींव पर बने हैं। बूलियन बीजगणित, जिसे अंग्रेज़ गणितज्ञ George Boole ने उन्नीसवीं सदी के मध्य में तार्किक प्रस्तावों के औपचारिक बीजगणित के रूप में विकसित किया था, इलेक्ट्रॉनिक स्विचिंग परिपथों के व्यवहार का हूबहू वर्णन करता है। एक कंप्यूटर द्वारा किया जाने वाला हर कार्य — हर गणना, हर डेटाबेस क्वेरी, हर वेब पेज, हर वीडियो गेम का हर फ्रेम — अंततः तार्किक और अंकगणितीय क्रियाओं का एक अनुक्रम है जिसे गणित की भाषा में व्यक्त किया जा सकता है।

इंटरनेट, जिसने संचार, वाणिज्य और संस्कृति को बदल दिया है, हर स्तर पर गणित पर निर्भर करता है: उन एल्गोरिदम में जो डेटा पैकेटों को मार्ग देते हैं, उन क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल में जो लेनदेन को सुरक्षित करते हैं, उन सर्च इंजन एल्गोरिदम में जो सूचनाओं को इंडेक्स और पुनः प्राप्त करते हैं, और उन सांख्यिकीय व मशीन लर्निंग विधियों में जो अनुशंसा प्रणालियों, धोखाधड़ी की पहचान और प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण को शक्ति प्रदान करती हैं। नेटवर्क, ग्राफ, सूचना सिद्धांत और अनुकूलन का गणित — जिसका अधिकांश भाग बीसवीं सदी में विकसित हुआ — डिजिटल दुनिया की अदृश्य आधारभूत संरचना है।

गणित की अनसुलझी समस्याएँ

पाँच हज़ार से अधिक वर्षों की गणितीय उपलब्धियों के बावजूद, इस विषय की सीमा पहले से कहीं अधिक विस्तृत हो गई है, और गणित की अनेक सबसे महत्वपूर्ण और सुंदर समस्याएँ अभी भी अनसुलझी हैं। ऐसे गहन किंतु सरल भाषा में कहे जा सकने वाले प्रश्नों का अस्तित्व, जो दशकों या सदियों तक सर्वश्रेष्ठ गणितीय प्रतिभाओं के प्रयासों को विफल करते रहते हैं, एक अनुशासन के रूप में गणित की सबसे आकर्षक विशेषताओं में से एक है। अनसुलझी समस्याएँ गणितीय अनुसंधान को दिशा देने वाले प्रकाशस्तंभ का काम करती हैं, और उन्हें हल करने के प्रयास में विकसित की गई विधियाँ अक्सर गणित में अत्यंत महत्वपूर्ण प्रगति उत्पन्न करती हैं, भले ही मूल समस्या अनुत्तरित ही रहे।

रीमान परिकल्पना को गणित की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या के रूप में व्यापक रूप से माना जाता है। 1859 में Bernhard Riemann द्वारा प्रतिपादित यह परिकल्पना यह कहती है कि रीमान ज़ीटा फलन — एक समिश्र-मान फलन जो अभाज्य संख्याओं के वितरण से घनिष्ठ रूप से संबंधित है — के सभी अत्रिवियल शून्य समिश्र तल में क्रांतिक रेखा पर स्थित हैं, अर्थात उस रेखा पर जहाँ समिश्र चर का वास्तविक भाग एक-आधा के बराबर होता है। इस परिकल्पना की खरबों शून्यों के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से पुष्टि की जा चुकी है, और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित लगभग हर परिणाम या तो रीमान परिकल्पना को मान लेता है या यदि यह सत्य हो तो और अधिक सुदृढ़ हो सकता है। इसके बावजूद, डेढ़ सदी से अधिक के प्रयास में अभी तक कोई प्रमाण नहीं मिला है।

P बनाम NP की समस्या यह पूछती है कि क्या हर वह कम्प्यूटेशनल समस्या, जिसका हल बहुपद समय (polynomial time) में शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, उसे शीघ्रता से हल भी किया जा सकता है। औपचारिक रूप से कहें तो यह पूछती है कि क्या जटिलता वर्ग P — अर्थात् बहुपद समय में हल होने वाली समस्याओं का समुच्चय — जटिलता वर्ग NP के बराबर है, जो कि उन समस्याओं का समुच्चय है जिनके हल बहुपद समय में सत्यापित किए जा सकते हैं। लगभग सभी कम्प्यूटर वैज्ञानिकों का मानना है कि P, NP के बराबर नहीं है, यानी ऐसी समस्याएँ मौजूद हैं जिन्हें सत्यापित करना आसान है लेकिन जिन्हें मूलभूत रूप से हल करना कठिन है — परंतु इस धारणा का कोई प्रमाण अभी तक नहीं मिला है। P बनाम NP के समाधान से क्रिप्टोग्राफी, अनुकूलन (optimization), कृत्रिम बुद्धिमत्ता (artificial intelligence) और कम्प्यूटर विज्ञान की बुनियाद पर गहरा प्रभाव पड़ेगा।

Birch और Swinnerton-Dyer अनुमान (conjecture) दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) से संबंधित है — ये एक प्रकार की घनीय बीजगणितीय वक्र (cubic algebraic curve) होती हैं जिनमें समृद्ध गणितीय संरचना होती है और जो संख्या सिद्धांत (number theory) के कई क्षेत्रों से जुड़ी होती हैं। यह अनुमान किसी दीर्घवृत्तीय वक्र पर परिमेय बिंदुओं के समूह की कोटि (rank) — जो यह मापती है कि परिभाषित समीकरण के कितने परिमेय हल हैं — और उससे संबद्ध एक सम्मिश्र-मान फलन, अर्थात् उस वक्र के L-फलन के एक विशेष बिंदु के निकट व्यवहार के बीच संबंध स्थापित करता है। 1960 के दशक में प्रतिपादित यह अनुमान उन सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक है जिनके लिए Clay Mathematics Institute ने दस लाख डॉलर के पुरस्कार की घोषणा की है, और महत्त्वपूर्ण आंशिक परिणामों के बावजूद यह अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है।

Navier-Stokes अस्तित्व और सुगमता की समस्या (existence and smoothness problem) यह पूछती है कि क्या किसी श्यान, असंपीड्य द्रव (viscous, incompressible fluid) के प्रवाह को नियंत्रित करने वाले समीकरण — Navier-Stokes समीकरण — तीन स्थानिक आयामों (spatial dimensions) में सुगम प्रारंभिक शर्तें दिए जाने पर हमेशा ऐसे सुगम हल (smooth solutions) देते हैं जो सभी समय के लिए विद्यमान रहते हैं। ये समीकरण जल, वायु और अन्य द्रवों के प्रवाह का वर्णन करते हैं और अभियांत्रिकी (engineering), मौसम विज्ञान (meteorology) तथा समुद्र विज्ञान (oceanography) के लिए मूलभूत हैं। दो आयामों में सुगम वैश्विक हलों का अस्तित्व सिद्ध हो चुका है, परंतु त्रि-आयामी स्थिति अभी भी अनसुलझी है। प्रश्न यह है कि क्या ये समीकरण सीमित समय में विचित्रताएँ (singularities) उत्पन्न कर सकते हैं — ऐसे बिंदु जहाँ वेग अनंत हो जाता है।

Hodge अनुमान (conjecture) बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry) की एक समस्या है जो बीजगणितीय विविधताओं (algebraic varieties) — अर्थात् बहुपद समीकरणों द्वारा परिभाषित ज्यामितीय वस्तुओं — की टोपोलॉजी और उनकी बीजगणितीय संरचना के बीच संबंध से संबंधित है। यह भविष्यवाणी करता है कि सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) पर एक सुगम प्रक्षेपी बीजगणितीय विविधता (smooth projective algebraic variety) पर कुछ टोपोलॉजिकल वर्ग — सहसमरूपता वर्ग (cohomology classes) — बीजगणितीय चक्रों (algebraic cycles) द्वारा निरूपित किए जा सकते हैं। यह अनुमान, जो ज्यामिति की दो प्रमुख शाखाओं को एक गहरे और अप्रत्यक्ष तरीके से जोड़ता है, द्विआयामी बीजगणितीय विविधताओं के लिए सिद्ध हो चुका है — जिसे (1,1) वर्गों पर Lefschetz प्रमेय के नाम से जाना जाता है — लेकिन सामान्य स्थिति अभी भी अनसुलझी है।

Goldbach का अनुमान (conjecture), जिसे प्रशियाई गणितज्ञ Christian Goldbach ने 1742 में Euler को लिखे एक पत्र में प्रतिपादित किया था, यह कहता है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं का योग है। यह कथन संख्या सिद्धांत की सबसे सरल भाषा में व्यक्त की गई अनसुलझी समस्याओं में से एक है और कम्प्यूटर गणना द्वारा अत्यंत बड़ी सीमाओं तक की सभी सम संख्याओं के लिए इसे सत्यापित किया जा चुका है। इसके बावजूद, एक सामान्य प्रमाण अभी तक नहीं मिल सका है। Goldbach के अनुमान की दिशा में सबसे उत्कृष्ट परिणाम Chen का प्रमेय है, जिसे चीनी गणितज्ञ Chen Jingrun ने 1966 में सिद्ध किया था। यह प्रमेय दर्शाता है कि पर्याप्त रूप से बड़ी प्रत्येक सम संख्या एक अभाज्य संख्या और एक ऐसी संख्या का योग है जो या तो स्वयं अभाज्य है अथवा दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।

ट्विन प्राइम अनुमान यह दावा करता है कि ऐसे अभाज्य संख्याओं के जोड़े अनंत रूप से मौजूद हैं जिनका अंतर दो होता है, जैसे तीन और पाँच, ग्यारह और तेरह, तथा सत्रह और उन्नीस। यह अनुमान, Goldbach के अनुमान की तरह, कहने में आसान है और अब तक खोजे गए सभी ट्विन प्राइम के लिए सत्यापित किया जा चुका है, जो असाधारण रूप से बड़ी संख्याओं तक फैले हैं, फिर भी इसे सामान्य रूप से सिद्ध नहीं किया जा सका है। 2013 में महत्वपूर्ण प्रगति हुई जब अमेरिकी गणितज्ञ Yitang Zhang ने यह सिद्ध किया कि ऐसे अभाज्य संख्याओं के अनंत जोड़े मौजूद हैं जिनका अंतर अधिकतम सात करोड़ है — यह ठीक दो नहीं बल्कि एक सीमित संख्या है, फिर भी पहले से ज्ञात तथ्यों की तुलना में यह गुणात्मक रूप से एक बड़ी सफलता थी।

abc अनुमान, जिसे Joseph Oesterle और David Masser ने 1985 में स्वतंत्र रूप से प्रतिपादित किया, तीन धनात्मक पूर्णांकों a, b और c के अभाज्य गुणनखंडों के बीच संबंध के बारे में एक गहरा अनुमान है, जो समीकरण a जमा b बराबर c को संतुष्ट करते हैं। इस अनुमान के संख्या सिद्धांत पर महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं, और इसके परिणामस्वरूप Fermat के अंतिम प्रमेय के एक सशक्त रूप सहित कई अन्य महत्वपूर्ण परिणाम निकलते हैं। जापानी गणितज्ञ Shinichi Mochizuki द्वारा 2012 में प्रकाशित एक दावा किए गए प्रमाण को गणितीय समुदाय ने अब तक सामान्यतः स्वीकार नहीं किया है, क्योंकि उनके द्वारा प्रयुक्त अत्यंत मौलिक और जटिल तरीकों को सत्यापित करना असाधारण रूप से कठिन है।

इन और अन्य अनेक अनसुलझी समस्याओं का अस्तित्व यह दर्शाता है कि गणित एक जीवंत विषय है — जिसकी सीमाएँ निरंतर आगे बढ़ती हैं, परंतु जिसकी गहराइयाँ अथाह बनी रहती हैं। गणितज्ञों की हर पीढ़ी एक विशाल स्थापित ज्ञान की विरासत और उससे भी विशाल अन्वेषित क्षेत्र को संभालती है। गणित का इतिहास कोई बंद किताब नहीं, बल्कि एक अनवरत चलती कहानी है, और इसके सबसे महान अध्याय शायद अभी आने बाकी हैं।

स्रोत

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/ https://www.ams.org/publicoutreach/math-history/ https://www.claymath.org/millennium-problems/ https://www.maa.org/press/maa-reviews/history-of-mathematics https://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html https://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Chronology/index.html https://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/math-and-the-rise-of-civilization.html https://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/elements.html https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-ancient/ https://iascud.net/history-of-mathematics-overview/

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सटीकता ऑडिट

निम्नलिखित ऑडिट इस लेख में पंद्रह प्रमुख तथ्यात्मक दावों को प्रामाणिक गैर-Wikipedia स्रोतों के विरुद्ध सत्यापित करता है। वेब खोजें मई 2026 में की गई थीं। इस अनुभाग को जोड़ने से पहले दो त्रुटियाँ पाई गईं और सुधारी गईं।

दावा 1: Lebombo हड्डी लगभग 43,000 वर्ष पुरानी है। स्थिति: पुष्टि हुई। कई रेडियोकार्बन तिथि-निर्धारणों से यह हड्डी 43,000 से 44,200 वर्ष पुरानी सिद्ध होती है। स्रोत: African Heritage (afrolegends.com), History of Information (historyofinformation.com)।

दावा 2: Ishango हड्डी लगभग 20,000 वर्ष पुरानी है। स्थिति: पुष्टि हुई। Ishango हड्डी को लगातार वर्तमान से लगभग 20,000 वर्ष पूर्व का माना जाता है। स्रोत: University at Buffalo Mathematics of the African Diaspora (math.buffalo.edu)।

दावा 3: Plimpton 322 लगभग 1800 ईसा पूर्व का है और इसमें Pythagorean त्रिक हैं। स्थिति: पुष्टि हुई। यह पट्टिका 1822 से 1762 ईसा पूर्व के बीच की दिनांकित है और इसमें Pythagorean त्रिकों की एक तालिका है। स्रोत: MacTutor History of Mathematics (mathshistory.st-andrews.ac.uk), ISAW NYU (isaw.nyu.edu)।

दावा 4: Aryabhata का जन्म 476 ईस्वी में हुआ और उन्होंने pi का मान 3.1416 दिया। स्थिति: पुष्टि हुई। Aryabhata का जन्म 476 ईस्वी में हुआ और उन्होंने 62832/20000 = 3.1416 का सन्निकटन दिया। स्रोत: Britannica (britannica.com), MacTutor (mathshistory.st-andrews.ac.uk)।

दावा 5: Brahmagupta का जन्म 598 ई. में हुआ था और उन्होंने 628 ई. में ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त की रचना की। स्थिति: पुष्टि हो गई। दोनों तिथियाँ कई विद्वत्तापूर्ण स्रोतों में प्रमाणित हैं। स्रोत: MacTutor History of Mathematics (mathshistory.st-andrews.ac.uk)।

दावा 6: Madhava of Sangamagrama (लगभग 1340-1425) ने अनंत श्रृंखला का उपयोग करके पाई की गणना ग्यारह दशमलव स्थानों तक की। स्थिति: पुष्टि हो गई। Madhava को पाई की गणना ग्यारह दशमलव स्थानों तक करने तथा साइन, कोसाइन और आर्कटैंजेंट के श्रृंखला विस्तार का श्रेय दिया जाता है। स्रोत: Story of Mathematics (storyofmathematics.com), यूनिवर्सिटी ऑफ़ मोंटाना (scholarworks.umt.edu)।

दावा 7: Zu Chongzhi ने पाई की गणना सात दशमलव स्थानों तक सटीक रूप से की और भिन्न 355/113 दिया। स्थिति: पुष्टि हो गई। Zu Chongzhi की सीमाएँ 3.1415926 और 3.1415927 सात दशमलव स्थानों की सटीकता स्थापित करती हैं। भिन्न 355/113 छह दशमलव स्थानों तक सही है। स्रोत: MacTutor (mathshistory.st-andrews.ac.uk), Mind Your Decisions (mindyourdecisions.com)।

दावा 8: Archimedes ने 96 भुजाओं वाले बहुभुजों का उपयोग करके यह सिद्ध किया कि पाई तीन और दस इकहत्तरवें तथा तीन और एक-सातवें के बीच है। स्थिति: सुधार के बाद पुष्टि हो गई। मूल लेख में निचली सीमा के रूप में गलती से "तीन और दस-सातवाँ" लिखा गया था। सही निचली सीमा 223/71 है, जो तीन और दस इकहत्तरवें (लगभग 3.1408) के बराबर है। ऊपरी सीमा 22/7 = तीन और एक-सातवाँ (लगभग 3.1429) सही थी। यह त्रुटि सभी अंग्रेज़ी भाषा की फ़ाइलों में सुधार दी गई है।

दावा 9: Al-Khwarizmi ने अपना बीजगणित ग्रंथ लगभग 830 ई. में बग़दाद में लिखा। स्थिति: पुष्टि हो गई। किताब अल-जब्र वल-मुक़ाबला लगभग 830 ई. में ख़लीफ़ा अल-मामून के शासनकाल में बग़दाद के बैतुल-हिकमा में लिखी गई थी। स्रोत: लाइब्रेरी ऑफ़ कांग्रेस (loc.gov), History Rise (historyrise.com)।

दावा 10: Evariste Galois की मृत्यु 1832 में बीस वर्ष की आयु में एक द्वंद्वयुद्ध में हुई। स्थिति: पुष्टि हो गई। Galois का जन्म 1811 में हुआ था और उनकी मृत्यु 31 मई 1832 को बीस वर्ष की आयु में हुई। स्रोत: MacTutor (mathshistory.st-andrews.ac.uk), Britannica (britannica.com)।

दावा 11: Kurt Godel ने 1931 में अपने अपूर्णता प्रमेय प्रकाशित किए। स्थिति: पुष्टि हो गई। Godel के 1931 के शोधपत्र ने यह सिद्ध करके Hilbert के कार्यक्रम को ध्वस्त कर दिया कि अंकगणित के लिए पर्याप्त कोई भी संगत औपचारिक प्रणाली ऐसे सत्य तथ्य रखती है जिन्हें सिद्ध नहीं किया जा सकता। स्रोत: Stanford Encyclopedia of Philosophy (plato.stanford.edu), American Mathematical Society (ams.org)।

दावा 12: Andrew Wiles ने फ़र्मा के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया, जो 1995 में प्रकाशित हुआ। स्थिति: पुष्टि हो गई। Wiles का प्रमाण मई 1995 के Annals of Mathematics के अंक में प्रकाशित हुआ। स्रोत: PBS NOVA (pbs.org), यूनिवर्सिटी ऑफ़ ऑक्सफ़ोर्ड (ox.ac.uk)।

दावा 13: Yitang Zhang ने 2013 में यह सिद्ध किया कि अनंत रूप से अनेक ऐसे अभाज्य संख्याओं के जोड़े हैं जिनका अंतर अधिकतम सात करोड़ है। स्थिति: पुष्टि हो गई। Zhang का शोधपत्र, जो अप्रैल 2013 में Annals of Mathematics को प्राप्त हुआ, इस परिणाम को सिद्ध करता है। स्रोत: Quanta Magazine (quantamagazine.org), Annals of Mathematics (annals.math.princeton.edu)।

दावा 14: चार रंग प्रमेय 1976 में Kenneth Appel और Wolfgang Haken द्वारा कंप्यूटर की सहायता से सिद्ध किया गया, जिसमें 1,476 न्यूनकारक विन्यासों की जाँच की गई। स्थिति: सुधार के बाद पुष्टि हो गई। मूल लेख में "लगभग चौदह सौ" लिखा गया था, जो वास्तविक संख्या को कम दर्शाता है। सही संख्या 1,476 विन्यास है। यह त्रुटि सभी अंग्रेज़ी भाषा की फ़ाइलों में सुधार दी गई है। स्रोत: Georgia Tech (thomas.math.gatech.edu)।

दावा 15: Grigori Perelman ने लगभग 2003 में पोएंकारे अनुमान को सिद्ध किया। स्थिति: पुष्टि हो गई। Perelman ने अपना अंतिम शोधपत्र 17 जुलाई 2003 को arXiv पर पोस्ट किया और गणित समुदाय द्वारा इस प्रमाण की पुष्टि की गई। स्रोत: Clay Mathematics Institute (claymath.org), Science.org।

दावा 16: Leonhard Euler की संकलित रचनाएँ लगभग नब्बे खंडों में भरी हुई हैं। स्थिति: पुष्टि हो गई। Euler की संपूर्ण रचनाएँ लगभग 90 खंडों में समाहित हैं। इस उत्पादन का अधिकांश भाग उनके जीवन के अंतिम दशकों में तैयार किया गया था, जब वे पूरी तरह से दृष्टिहीन हो चुके थे। स्रोत: MacTutor (mathshistory.st-andrews.ac.uk), leonhardeuler.com।

दावा 17: राइंड मैथमेटिकल पेपिरस लगभग 1550 ईसा पूर्व का है और इसमें 84 समस्याएँ हैं। स्थिति: पुष्टि हो गई। यह पेपिरस लगभग 1550 ईसा पूर्व का है और इसमें 84 गणितीय समस्याएँ हैं। स्रोत: ब्रिटानिका (britannica.com), ब्रिटिश म्यूज़ियम (britishmuseum.org)।

सभी अंग्रेज़ी-भाषा फ़ाइलों में किए गए सुधार:

1. पाई के लिए Archimedes की निम्न सीमा को "तीन और दस-सातवाँ" से बदलकर "तीन और दस इकहत्तरवाँ" कर दिया गया है (जो कि भिन्न 223/71 की सही अभिव्यक्ति है)। 2. चार रंग प्रमेय के प्रमाण में जाँची गई रिड्यूसिबल कॉन्फ़िगरेशन की संख्या को "लगभग एक हज़ार चार सौ" से बदलकर "1,476" कर दिया गया है।

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