数学史 | CountryReports

简介

数学是人类最古老、最经久不衰的智识成就之一。从史前猎人在骨头上刻划记录猎物数量的最早痕迹，到二十世纪逻辑学家和几何学家构建的庞大抽象推理体系，数学的历史与人类文明的历史密不可分。没有任何一门学科能如此静默而又如此深刻地塑造了人们认识宇宙、建造城市、航行海洋、从事商贸以及推动科学边界的方式。数学的完整历史——从古代数字系统到现代数学及其最伟大的发现——跨越了人类至少五万年的努力、智慧、挫折与胜利。

数学史之所以如此引人入胜，在于它不仅仅是一部记录公式发现与定理证明的编年史，更是人类与数量、空间、变化和结构这些最深刻的奥秘搏斗的历史记录。为什么相同的数学真理会在被浩瀚海洋和漫长岁月隔绝的不同文明中独立涌现？简单的数羊之举，又是如何最终引出无穷大这一概念的？古代美索不达米亚的商人记账，又是如何为今天学生仍在学习的代数学奠定基础的？这些问题使数学思想史成为智识史上最丰富的叙事之一。

数学的发展从来都不是一个平稳的线性进程。创造力爆发的时期之后，往往是漫长的积淀或表面上的停滞。数学知识曾被获得、失落，又被重新发现。某个时代看似纯属抽象好奇的思想，数百年后却往往恰恰成为描述物理宇宙所需的精确工具。十九世纪非欧几何的诞生曾被许多人视为纯粹的理论演练，却最终成为Einstein广义相对论的数学语言。古希腊数学家苦苦钻研的数论，在现代密码学和互联网安全通信中找到了意想不到的应用。

本文纵览数学历史的全貌：从史前计数的起源，到美索不达米亚、埃及、希腊、印度、伊斯兰世界和中国等古代文明的辉煌成就；从微积分的伟大变革，到十九、二十世纪数学学科的蓬勃兴盛；再到至今仍困扰着数学家的深刻挑战与悬而未决的难题。文章沿途勾勒历史上最伟大的数学心灵，审视数学如何塑造日常生活，并探讨那些在人类知识前沿持续招手的未解之谜。

数学有时被称为科学的女王，这一说法相传出自十九世纪最杰出的数学天才之一Carl Friedrich Gauss。它同样可以被称为一切科学的仆人，因为自然探索的任何分支若不借助数学家的工具箱，便难以走远。理解这一工具箱是如何在数千年间被组装、磨砺与扩充的，便是理解人类文明织物中的一条核心线索。

史前数学与计数

早在文字发明之前，早在美索不达米亚和埃及河畔第一批城市兴起之前，人类便已在从事数学活动。证据虽然零散，却清晰可辨：刻有计数符号的骨头和石块、暗示刻意计数的物品排列，以及绘于洞穴壁上的几何图案——这些都表明，数学思维并非近代才有的专业成就，而是人类心智的一项根本特征。

已知最古老的数学文物是莱博姆博骨，这是一根狒狒腓骨，发现于斯威士兰与南非交界处的莱博姆博山脉。该骨头距今约43,000年，上面刻有二十九道清晰的刻痕，排列方式似乎经过刻意安排。一些研究人员推测这些刻痕对应着一种太阴历，也有人认为它不过是用来记录猎获动物数量或其他计数的工具。无论其最初用途为何，莱博姆博骨都证明了人类早在数万年前便已开始进行系统性的计数活动。

同样引人瞩目的是伊尚戈骨，发现于如今刚果民主共和国境内塞姆利基河附近。这件由狒狒腓骨制成的工具距今约20,000年，上面刻有三列刻痕，令数学家和人类学家都为之着迷。其中一列似乎呈现出倍增序列，另一列的刻痕则似乎对应十到二十之间的质数。无论伊尚戈骨的制作者是否以任何抽象意义上理解质数的概念，这些刻痕所呈现出的规律性排列，都表明其数学意识已远远超越了简单的计数刻记。

基础计数的普遍性本身就是一个深刻的数学事实。所有已知的人类文化，无论多么与世隔绝，都拥有足以对其生活环境中的物体进行计数的数字系统。大多数语言至少有表示一到十的词汇，许多语言学家认为，十进制数字系统的广泛使用反映了一个生物学事实，即人类有十根手指。历史上也曾使用过其他进制。古代美索不达米亚的苏美尔人发展出一套六十进制系统，其影响延续至今——我们将一小时划分为六十分钟、将圆周划分为三百六十度，皆源于此。中美洲的玛雅人则独立地发展出二十进制系统，这或许反映了他们同时计算手指和脚趾的习惯。

在正式计数系统出现之前，史前人类很可能以一一对应关系作为其主要的数学工具。一位牧羊人若要记录羊的数量，可能会在羊群出栏时往袋中放入一块石子，在羊群傍晚归圈时取出一块石子。这种无需为两组物体分别赋予数值、仅凭匹配对应来完成计数的方式，是定量推理最原始的形式，它以纯粹的物理操作体现了数学中"基数"的概念——即衡量一个集合大小的量度。

几何思维似乎同样具有极为深远的史前渊源。法国拉斯科和西班牙阿尔塔米拉的洞穴壁画距今约一万五千至两万年，展现出对比例关系和空间布局的精妙理解。英格兰巨石阵等巨石建筑始建于公元前3000年前后，其建造需要具备测量距离、标画圆形以及以天文精度对齐结构的能力。这些建筑的建造者在正式意义上并不掌握书面数学知识，但他们显然拥有经过数代人积累与传承的丰富实用几何学知识。

从纯粹直觉性和实用性的数学知识过渡到可被称为系统性数学的形态，与定居农业文明的兴起几乎同步发生。当人们开始耕种、储存剩余粮食、在继承人之间分配土地、向中央权威缴纳赋税，以及进行长途贸易时，对数学能力的需求急剧增加。单纯的计数已远远不够。人们需要测量面积、计算体积、追踪天文周期以制定农业历法，并以日后可供核查的方式记录交易往来。正是这些现实需要推动了最早正式数学体系的形成——这些体系几乎同时在大约五千年前的美索不达米亚和埃及涌现出来。

因此，完整意义上的数学史始于伟大的河谷文明，但其根基则是更为久远的史前数学实践，这一实践可追溯至人类认知能力的起源。每一个学习计数的孩子，都在重演一项具有极其古老历史的智识成就——正是这一成就将人类与其他物种相区别，并使从金字塔到智能手机的一切成为可能。

古代美索不达米亚数学

在今伊拉克境内底格里斯河与幼发拉底河之间兴起的文明，留下了最早的大量书面数学记录。古代美索不达米亚人，尤其是苏美尔人及其后的巴比伦人，发展出了一套卓越精深的数学传统，这一传统繁荣延续了两千余年，其影响至今仍体现在我们计量时间和角度的方式之中。

美索不达米亚的数学知识被记录在用楔形笔触压印而成的泥板上，这种书写方式称为楔形文字。伊拉克各地的遗址中已出土数千块此类泥板，其中涉及数学内容的泥板从简单的乘法表和倒数表，到涉及二次方程与几何计算的复杂问题，不一而足。这些泥板出自抄书学校，年轻男子在那里接受服务于美索不达米亚国家和神庙经济所需的行政与智识技艺的训练。在这一背景下，数学从根本上是一门实用学科：文士需要计算粮食配给、规划灌溉渠道、分配田地面积、编制税收记录。

美索不达米亚数学最显著的特征，是其采用以六十为基数的位置计数制，即六十进制。在位置计数制中，一个数字的值不仅取决于它是哪个数码，还取决于它在数中所处的位置。巴比伦人的楔形文字中只有两种数字符号：一种表示数值一，另一种表示数值十。一到五十九之间的数由这两种符号以不同方式组合而成。对于六十及以上的数值，文士采用位置约定，将相同的符号移至不同位置，以表示乘以六十的各次幂。这与我们今天所用十进制的位置逻辑相同，只是以六十为基数而非以十为基数。

值得注意的是，巴比伦人似乎在相当长的时间内没有使用零作为占位符，这有时使他们的记数法产生歧义。楔形文字系统的后期版本确实引入了一个占位符号，但其功能与现代数学中的零有所不同，且并未被视为一个独立的数。将零作为一个数的完整发展，有待数百年后印度的数学家来实现。

巴比伦泥板的数学内容，无论以何种标准衡量，都令人叹为观止。抄写员编制了大量数表，包括平方、平方根、立方和立方根，以及用于通过乘法完成除法运算所需的倒数表。他们计算了矩形、三角形和梯形的面积。早在毕达哥拉斯诞生于古希腊之前数百年，他们便已掌握了直角三角形各边之间的关系——即现今所称的勾股定理。其中一块著名的泥板被称为普林顿322，年代约为公元前1800年，上面载有一张勾股数表，即满足直角三角形方程的三个整数的组合，这表明巴比伦数学家不仅了解这一关系，还发展出了系统性的方法来生成此类整数组合。

巴比伦人还能够求解我们今天所称的代数问题。他们的方法并不具备现代意义上的符号性：他们用文字和具体数字来表达一切，而非字母和抽象变量。但其解题的逻辑结构与现代代数推理高度吻合。他们能够用一种等同于配方法的程序求解二次方程，也能处理含有两个未知数的问题，实质上相当于求解联立方程组。部分泥板还包含三次方程，以及相当于初等数论的问题。

巴比伦数学最为人称道的成就之一，是他们对2的平方根的近似计算。一块年代约为公元前1700年的小型泥板上，画有一个带对角线的正方形，对角线旁刻有一个数值，与2的平方根精确到小数点后五位的结果相吻合。这一近似值1.41421……对于一个没有现代计算工具的文明而言，精度之高令人惊叹，充分证明了巴比伦人对我们今天所认识的无理数的深入探索——尽管他们当时不会以这种方式来概念化这类数字。

巴比伦的天文学与数学密不可分。预测月球和太阳的周期、编制记录行星升落的天文表，以及历法的制定，都需要精密的数学建模。巴比伦天文学家最终发展出了以相当高的精度预测行星位置的算术方法，这项成果对希腊及后来的伊斯兰天文学产生了深远影响，也是将数学工具系统性应用于描述自然现象的最早范例之一。

美索不达米亚数学在世界历史上留下了深远的影响。古代美索不达米亚人所发明的六十进制，被证明具有超乎寻常的生命力。时至今日，距最后一块楔形文字泥板压制成型已过去数千年，我们仍将一小时分为六十分钟，将一分钟分为六十秒，将整圆划分为三百六十度——这些惯例无一不是直接传承自古代伊拉克的数学家。

古埃及数学

在尼罗河沿岸，古埃及文明发展出了自己独特的数学传统。这一传统在代数方面虽不及美索不达米亚那般精深，却自有其优雅之处，并取得了卓越的实用成果。古埃及数学主要保存于两份传世纸草书中，即莱因德数学纸草书和莫斯科数学纸草书，以及数量较少的其他文献。这些史料为我们清晰呈现了古埃及抄写员处理数学问题的方式，以及古埃及社会中受过教育的专业人士所应具备的数学水平。

《莱因德数学纸草书》约成书于公元前1550年，但显然是从一份约公元前1650年的更古老文献中抄录而来，是了解古埃及数学最重要的史料之一。该纸草书以苏格兰古物学家Alexander Henry Rhind的名字命名，他于1858年购得此书。书中共载有八十四道数学题及其解法，涵盖算术、几何以及我们今天可能称之为线性方程的内容。开篇数行将其描述为通晓万物与揭示一切隐秘的指南，这是古埃及人将数学定性为一种神秘实用智慧的典型表达方式。

古埃及的算术与我们今天一样采用十进制，但并不使用位值记数法。古埃及人为十的每个幂次使用独立的象形文字符号，分别表示一、十、一百、一千、一万、十万和一百万。书吏在书写数字时，只需将这些符号组合起来，根据需要重复使用每个符号。在这套体系中，加法十分直观：将两个数的符号合并，必要时以一个高位符号替换十个低位符号，即可完成进位化简。

古埃及数学中的乘法与除法，是通过反复倍增与折半的方式来完成的，有时被称为"连续倍增法"或"俄罗斯农民算法"。计算两数之积时，书吏会列出其中一个数的一系列倍数，再从中选出相加等于另一个数的各项，将这些项所对应的第一个数的倍数相加，即可得到乘积。这一方法适用于任意两个整数，且只需具备倍增与相加的能力，对受过训练的书吏而言完全不在话下。

古埃及的分数以单位分数之和的形式表示，即分子为一的分数之和。古埃及人为三分之二设有专用符号，但所有其他分数均被分解为若干不同单位分数之和。例如，我们所写的四分之三，在古埃及会被表示为二分之一加四分之一。《莱因德纸草书》开篇附有一张表，列出了将2除以三至一百零一之间各奇数所得分数分解为单位分数之和的方式。生成这些分解式颇费心思，表中所选的特定分解方式往往以项数最少或分母尽量小为原则，表明古埃及数学家对分数的表达方式有其审美上的偏好。

古埃及几何学在很大程度上源于实际需求，其中最广为人知的，是尼罗河每年泛滥冲毁地界标记后重新划定田地边界的需要。"几何"（geometry）一词本身来源于希腊语中"土地"与"测量"两词，正反映了这一学科与土地实地测量之间古老的渊源。古埃及书吏能够准确计算三角形、矩形和梯形的面积。他们对圆面积的近似计算，采用了一个等价于求边长为圆直径九分之八的正方形面积的公式，由此隐含的圆周率近似值约为3.1605，就实际应用而言，这是一个相当精确的近似值。

埃及实用几何学最令人惊叹的例子，或许莫过于《莫斯科数学纸草书》中所载的一个公式——该公式用于计算截锥体（即棱台）的体积。该纸草书的第十四题给出了一个正确的公式，用于计算以正方形为底面的棱台体积，以其高度及两个正方形底面的边长来表示。这是一个颇具难度的结论，需要相当深刻的数学洞察力。它出现在一部本质上属于书吏培训手册的文献中，说明这一知识是埃及专业人员日常数学素养的组成部分。至于埃及人如何推导出这一公式，至今仍不明确，因为他们从未记录自己的推理过程，只留下了操作步骤与最终答案。

埃及数学在性质上以实用性和程序性为主。埃及书吏依照固定的算法解题，数学纸草书呈现的是问题与解法，却鲜少解释这些方法为何有效。这种缺乏形式化证明的特点，使埃及数学传统有别于后来的古希腊传统——后者以严格论证数学真理为核心关切。然而，埃及数学在实践层面的成就卓著，金字塔及其他宏伟建筑的建造，充分体现了其应用几何学知识的高度，令千百年来的观察者叹为观止。

古希腊数学与Euclid

将数学从一套实用计算技法转变为一门严格演绎科学，是人类历史上最深刻的智识革命之一，而这一变革主要由古希腊人完成，历经约四个世纪，时间跨度大致从公元前600年至公元前300年。希腊数学家是最早坚持认为数学命题不仅须在程序上行之有效，更须经由逻辑论证、从第一原理出发通过有效推理链证明其必然为真的人。这种对证明的要求，如今已成为数学学科的本质特征，也是古希腊人对人类思想最为深远的贡献。

我们所知最早有名有姓的希腊数学家，与古代近东的实用及哲学传统有着密切关联。米利都的Thales活跃于公元前600年前后，被认为将几何学从埃及引入希腊，并证明了若干基本几何定理，包括圆的任意直径将圆平分，以及等腰三角形两底角相等等命题。Thales究竟是对这些结论提出了形式化证明，还是仅将其作为观察所得的事实加以陈述，史学界对此尚存争议，但他被视为希腊数学追求逻辑论证传统的开创者。

萨摩斯的Pythagoras的追随者——毕达哥拉斯学派——活跃于公元前六世纪末，他们将数学置于其哲学世界观的核心。他们相信，数是一切自然现象背后的根本实在，研习算术、几何、音乐与天文学是通往智慧乃至灵魂净化之路。以Pythagoras之名命名的定理——关于直角三角形各边平方关系的定理——是该学派最著名的数学成就，而这一定理几乎可以确定在他们之前已为巴比伦人、乃至可能为印度人所知，但毕达哥拉斯学派似乎是最早对其给出严格证明的。

令毕达哥拉斯学派深感不安的发现，是不可公度量的存在——即我们今天所称的无理数。边长为1的正方形，其对角线长度等于2的平方根，而毕达哥拉斯学派证明了这个量无法表示为两个整数之比。这一结论彻底动摇了毕达哥拉斯学派"自然界中一切量皆可用有理数表示"的信念。据古代传说，此发现被视为如此骇人，以至于被列为秘密，而将其泄露给外人的毕达哥拉斯兄弟会成员，据说被投入了大海。

公元前5至4世纪，希腊数学思想迎来了一次蓬勃发展的辉煌时期。约活跃于公元前370年的克尼多斯的Eudoxus，发展了穷竭法——一种通过以已知面积的直线图形序列逼近曲线图形，从而计算其面积和体积的方法。这一方法是两千年后Newton与Leibniz所创积分学的先驱。Eudoxus运用穷竭法证明了若干重要结论，其中包括球体体积之比等于其直径立方之比。Eudoxus还建立了一套严格的比例理论，可处理无理量，从而为希腊几何学的大部分内容提供了逻辑基础。

古希腊数学的集大成之作，是Euclid约于公元前300年在埃及亚历山大城撰写的《几何原本》。亚历山大城当时是Alexander大帝所建希腊化世界的组成部分。《几何原本》是思想史上最具影响力的著作之一。全书共十三卷，涵盖平面几何、数论、立体几何及比例理论，整体以演绎体系加以组织——从少量定义、公设和公理出发，逐步推导出数百条命题，每一条均严格地从前述内容导出。

Euclid在《几何原本》中的成就，主要并非在于发现新的数学结论——其中大多数在他之前已为人所知——而在于将既有数学知识整理归纳为一个严密的演绎体系。通过确立一组最简的假设，即五条公设，并由此推导出几何学的全部其余内容，Euclid表明数学可以做到完全严格且自成体系。他的方法成为此后一切数学论述的范本，也成为任何探究领域中逻辑严谨性的理想标准。

Euclid的五条公设中，有四条是关于点、线和圆的简单而无争议的陈述。第五条公设，即平行公设，则复杂得多：它实质上表明，过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。两千余年来，这条公设的逻辑地位令数学家们深感困扰，许多人认为它过于复杂，不宜作为公理，必定可以从其他四条公设推导而出。这一问题最终通过19世纪非欧几何的创立得到解决，成为数学史上影响最为深远的事件之一。

《几何原本》还包含重要的数论成果，其中有素数有无穷多个的证明、求两数最大公约数的算法（至今仍称为辗转相除法），以及每个大于1的正整数都能唯一地表示为素数之积的证明（即算术基本定理，尽管Euclid并未以此形式加以表述）。古希腊对素数的这些研究成果，为此后数论发展的全部历程奠定了基础。

Pythagoras与毕达哥拉斯学派

萨摩斯的Pythagoras约生于公元前570年，出生地为爱琴海上的萨摩斯岛，约卒于公元前495年，逝世于意大利南部的梅塔蓬图姆。他是一位哲学家、宗教导师和数学家，对西方思想的影响深远而无法估量。然而，由于其个人贡献难以与其追随者的贡献明确区分，他的生平成为思想史上争议最大的传记之一。Pythagoras没有留下任何著述，我们对他的一切了解均来自后人的记载，其中一些文献写于其身后数百年，可靠性存疑。

Pythagoras曾游历埃及、巴比伦以及古代世界的其他地区，此后定居于今意大利南部的克罗托内，创立了一个将数学研究与宗教实践及伦理戒律融为一体的哲学兄弟会（即学派）。这一团体的成员遵守严格的饮食与行为规范，财产公有，并立誓对学派内部的核心教义保密。该团体曾在克罗托内拥有举足轻重的政治影响力，直至公元前五世纪某时，因遭到强烈反弹而告解散。

毕达哥拉斯学派是最早将数学提升至最高哲学地位的思想流派。其核心教义认为，数是万物的本原与实质，宇宙在本质上具有数学结构。这一信念的形成，部分源于对音乐和声背后数学比例关系的发现：毕达哥拉斯学派发现，悦耳的音程对应于振动弦长之间简单的整数比。如果和声这种如此主观而又具有强烈美学感染力的现象都可以归结为数，那么或许整个宇宙也同样如此。

勾股定理——即直角三角形中，斜边的平方等于另外两边的平方之和——是历史上最著名的数学定理，以Pythagoras之名命名。然而如前所述，这一结论早在他之前一千余年便已为巴比伦数学家所知晓。毕达哥拉斯学派或Pythagoras本人被认为最早给出了这一定理的严格证明。此后人们发现了许多不同的证明方式，已知证明的数量多达数百种，但最初的毕达哥拉斯式证明据认为是基于面积比较的方法。

毕达哥拉斯学派在算术领域做出了重要贡献，发展出形数理论——即可以排列成几何图形的数，如三角数、正方数和五边形数等。他们还研究了我们今天所称的完全数、过剩数和不足数，这些概念均基于一个数与其真因子之和之间的关系。六是完全数，因为其真因子1、2、3之和恰好等于6本身；28也是完全数，原因相同。古希腊数学家对这些数论概念的探讨，开创了一种延续至今的研究传统。

与毕达哥拉斯学派相关的、在哲学意义上最为深远的数学发现，是无理数的存在——具体而言，即2的平方根无法表示为两个整数之比的发现。其证明堪称精妙：假设2的平方根等于最简分数p/q，然后通过推导出p和q都必须是偶数的结论，与该分数为最简分数的前提产生矛盾，从而引出反驳。这一反证法证明是数学史上最优美的证明之一，它表明数轴上存在无法用整数之比表示的点，这一发现从根本上改变了人们对数的本质的认识。

毕达哥拉斯及其学派在数学史与哲学史上留下了深远的遗产。宇宙在本质上是数学性的这一观念，由毕达哥拉斯及其追随者最早明确提出，后来成为西方科学的核心预设。柏拉图关于永恒数学形式是宇宙中最真实之物的信念，深受毕达哥拉斯思想的影响。当伽利略写下"自然之书以数学语言写就"，当现代物理学家发现抽象数学结构能够描述物质世界最深层的特征，他们在某种意义上都是毕达哥拉斯"数是万物之本原"这一洞见的传承者。

阿基米德与应用数学

阿基米德生于叙拉古，生卒年约为公元前287年至公元前212年，被普遍认为是古代最伟大的数学家，也是整个数学史上最杰出的数学头脑之一。他出生于西西里岛上的希腊城市叙拉古，一生大部分时间都在那里度过，身兼数学家、物理学家、工程师与发明家数职。他在数学上的成就广度与深度俱佳，涵盖纯粹几何学、应用力学，以及用于计算面积、体积和重心的早期微积分雏形。

阿基米德关于圆的度量的研究，是古代数学的伟大成就之一。他运用穷竭法，通过内接和外切边数不断增加的正多边形，将圆周率的值夹逼于逐步收敛的上下界之间，最终证明圆周率介于三又十分之七十一分之十与三又七分之一之间，即约3.1408与3.1429之间。这是当时通过严格数学论证所得到的最精确的圆周率估算，而他以九十六边形从上下两侧逼近圆周率的方法，更是一项卓越的计算壮举。

他的论著《论球与柱体》证明了两个惊人的结论：球的表面积等于其大圆面积的四倍；球的体积等于能容纳该球的最小圆柱体积的三分之二。阿基米德对这两个结论引以为傲，据说曾要求在其墓碑上刻下一个内切于圆柱的球。罗马政治家西塞罗在阿基米德去世约一个半世纪后造访叙拉古，声称找到并修缮了这座墓，认出它的依据正是墓上的几何图形。

在《论螺线》中，阿基米德研究了如今以他命名的阿基米德螺线——即一个点沿匀速旋转的射线以恒定速度移动时所描绘出的曲线。他证明了关于该曲线所围区域面积的若干结论，所用计算等价于现代微积分中的积分运算。在《抛物线的求积》中，他计算了抛物线弓形的面积，证明其等于具有相同底和高的内接三角形面积的三分之四。这部著作中的方法涉及等比数列的求和，也是后世分析学的先驱之一。

在普通大众中，阿基米德或许最为人熟知的是关于他发现"阿基米德原理"的故事：浸入流体中的物体所受到的向上浮力，等于其所排开流体的重力。据古代传说，他在踏入浴缸时获得了这一发现，意识到它对于解决叙拉古国王赫罗二世金冠纯度问题的重要意义，随即裸身奔上街头，高呼"Eureka（我发现了）"。这一故事的史实准确性尚存争议，但这一原理本身已在他的论著《论浮体》中得到严格确立——该著作是我们今天所称的流体静力学这门科学的第一部系统性论著。

在力学领域，阿基米德首次对杠杆进行了严格的数学论证，从基本原理出发证明了杠杆定律，并指出处于平衡状态的杠杆要求两侧所放置的重量与各自到支点距离成反比。他曾豪言，只要给他一个立足之处，一根足够长的杠杆便能撬动地球，这句话生动体现了杠杆原理放大力量的能力。他还撰写了关于滑轮、螺旋及其他机械装置的著作，并设计了战争机械，包括投石机；据后世史料记载，他还设计了用镜子或燃烧透镜点燃罗马战船的装置，但后者的实用性至今仍受到历史学家的质疑。

公元前212年，阿基米德在罗马军队围攻叙拉古期间遇难。据最广为人知的记载，一名罗马士兵发现他正在沙地上描绘几何图形，当他拒绝被打扰时，士兵将其杀死，他临死前留下了"不要弄乱我的圆"这句话。无论这个故事真实与否，他的死标志着古希腊数学最辉煌时代的终结。此后数百年间，再未出现过才华与之比肩的数学家。可以说，直到十七世纪微积分的诞生，他在数学上的成就之深度才真正得以比肩乃至超越。

印度数学与数字零

古代及中世纪印度的数学传统，堪称世界历史上最具原创性、最富成果的数学传统之一。印度数学家在算术、代数、三角学和组合数学领域做出了根本性的贡献，最重要的是，他们将带有零的十进制位值数字系统贡献给了全世界。这一系统是数学史上最重要的单项发明，也是一切现代计算的基础。

印度最早的数学活动证据来自印度河流域文明。该文明约于公元前2500年至前1500年间兴盛于今巴基斯坦及印度西北部地区。考古遗存揭示出一套采用二进制与十进制比率的精密度量衡体系，其高度统一性表明当时存在广泛的贸易往来和集中的行政管理。印度河流域的人们所使用的砖块尺寸遵循一致的比例关系，其城市规划亦呈现出几何上的规整性，表明当时已具备一定的实用测量知识。

现存最古老的印度数学文献是《绳法经》（Sulbasutras，又称Sulba Sutras），这是一系列附属于吠陀宗教文献的典籍，年代大致在公元前800年至前200年之间。这些文献本质上是建造规定形状和尺寸的吠陀火祭坛的操作手册，正是这一宗教需求推动了相当程度的实用几何学的发展。《绳法经》包含了印度最早已知的勾股定理明确表述，以及将正方形面积等于给定圆面积的作图方法和平方根的近似计算方法。其中一部《绳法经》给出的2的平方根精确到小数点后五位，与巴比伦的数值相当。

印度数学的大繁荣发生在公元四至六世纪的笈多王朝时期，并延续至中世纪。数学家兼天文学家阿里亚哈塔（Aryabhata）生于公元476年，著有《阿里亚哈塔历书》（Aryabhatiya）。这是一部以诗体写就的简明著作，涵盖算术、代数、平面三角学和球面三角学。阿里亚哈塔给出了圆周率3.1416这一精确近似值，提出地球绕自身轴旋转而非静止不动的观点（这是一个极具前瞻性的天文学见解），并发展出求解线性方程及不定方程的方法，后者在欧洲后来被称为丢番图方程。

Brahmagupta生于公元598年，是第一位系统阐述涉及零的算术运算规则以及负数运算规则的数学家。他于公元628年撰写的《婆罗摩历算书》（Brahmasphutasiddhanta）列出了正数、负数与零进行加、减、乘、除运算的法则。他将零定义为一个数减去其自身所得的结果，并给出了诸如"零加零等于零"、"正数除以零所得的分数以零为分母"等规则。他在"零除以零等于零"这一表述上未能达到现代数学的认知水平，但他将零作为一个独立的数、使其与其他数遵循相同算术规则的处理方式，是一次具有头等重要性的概念性突破。

以零既作为占位符又作为数字的十进制位值记数系统的发明，是人类历史上最伟大的智识成就之一。这一发明的确切时间与归属仍是学界讨论的议题，但可以明确的是，它在公元最初几个世纪内已在印度完成，并在至迟公元六至七世纪的碑铭与文献中有所记载。这一系统自八世纪起，随着印度数学与天文学文献的译介传入伊斯兰世界，继而又从伊斯兰世界传至欧洲。在欧洲，它最终取代了繁琐的罗马数字系统，为现代的计算革命奠定了基础。我们今天使用的数字（包括零）被称为"印度-阿拉伯数字"，以铭记其印度起源与伊斯兰传播之功。

Bhaskara II生活于公元1114年至1185年，是中世纪印度数学传统中最伟大的数学家之一。他的两部主要著作——《丽罗娃提》（Lilavati，据传是写给其女儿的）和《算法本源》（Bijaganita）——涵盖了算术、几何、代数，以及二次、三次和四次方程的求解。《丽罗娃提》尤其作为一部数学教材在南亚和东南亚产生了深远影响，此后数百年间不断有人为之作注和翻译。Bhaskara在天文学方面亦有重要贡献，并在多个方面与微积分的概念若合符节，尤其体现在他对正弦函数导数的处理上。

喀拉拉数学学派活跃于印度南部喀拉拉邦，时间大约从十四世纪延续至十六世纪，他们在分析学领域的发现比欧洲数学家的相关成就早逾一个世纪。数学家Madhava of Sangamagrama生活于约公元1340年至1425年，推导出了如今被称为"莱布尼茨圆周率公式"和"格雷戈里-莱布尼茨反正切级数"的结果，以及正弦、余弦和反正切函数的级数展开式。他利用这些级数将圆周率计算到小数点后十一位。这些成果在欧洲取得类似结果之前很久便已在印度独立发展出来，构成了数学史上最为非凡的殊途同归式发现之一。

伊斯兰数学与代数学

自公元七世纪起，伊斯兰世界成为数学活动的重要中心之一。伊斯兰学者在巴比伦、希腊和印度数学传统的基础上，作出了极具重要性的原创贡献，其中最为突出的是将代数学创立为一门系统性的数学学科。在数百年间，伊斯兰学者翻译、保存并拓展了各先行文明的数学成果，确保了古典知识的留存——若非如此，这些知识或将湮没无存——同时他们还开创了新的研究领域，深刻影响了伊斯兰世界与欧洲此后的数学发展。

早期中世纪伊斯兰文明的思想活力得益于阿拔斯王朝的培育。阿拔斯王朝定都巴格达，将科学和哲学著作译成阿拉伯语列为重要的文化工程。巴格达的智慧宫于九世纪初由哈里发马蒙创立，汇聚了来自伊斯兰世界各地乃至域外的学者，将希腊、印度、波斯和叙利亚文献译成阿拉伯语。欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯、托勒密及其他古代学者的著作被译成阿拉伯语，往往附有注疏和补充阐发，使这些文献得以流传后世——若非如此，原典或许早已湮没无存。

伊斯兰世界最重要的数学家是Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，他于九世纪初在智慧宫工作。他撰写的《代数学》（Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala，意为《还原与对消计算概要》），写于公元830年前后，是代数学作为系统性学科的奠基之作。"代数"（algebra）一词本身来源于该书书名中的"al-jabr"，而"算法"（algorithm）一词则是al-Khwarizmi姓名的拉丁化形式。

al-Khwarizmi的代数学在现代意义上尚非符号化的：他以文字表达一切，对未知量既不使用缩写，也不使用字母符号。但他系统地将二次方程分为六种类型（由于他只处理正数和正系数，因此需要用分类来表达我们今天用一个符号方程即可涵盖的情形），为每种类型给出求解算法，并借助几何论证证明了解的正确性。他的工作综合了巴比伦、希腊和印度的代数传统，以统一而有条理的形式加以呈现，对此后伊斯兰世界和欧洲的数学发展产生了深远影响。

al-Khwarizmi还撰写了一部关于印度-阿拉伯数字系统的著作，在将这一数字系统传播至伊斯兰世界、进而传入欧洲的过程中发挥了关键作用。他依据印度文献对含零位值十进制系统所作的阐述影响深远，以至于这种记数方式在欧洲语言中被称为"algorism"（这是其姓名的另一种讹变形式），后来又演变为"arithmetic"（算术）。

波斯数学家、天文学家兼诗人Omar Khayyam生活于约1048年至1131年，在代数学和几何学领域作出了重大贡献。他利用圆锥曲线交点的几何构造，对所有类型的三次方程进行了分类并给出求解方法，其成就远超此前任何数学家。他还质疑欧几里得平行公设是否具有必要性，在此过程中发展出一种雏形非欧几何；此外，他还对波斯历法进行了改革，创制了一种比当时欧洲通行的儒略历更为精确的太阳历。

伊斯兰传统在三角学领域也取得了重大进展，将其从一门处理弦长的几何学科发展为涵盖我们今天所用六种三角函数的完整分析科学。Abu al-Wafa al-Buzjani于十世纪在巴格达工作，引入了正切函数，编制了详细的三角函数表，并发现了球面正弦定理。十一世纪的博学大家al-Biruni将三角学应用于地理学和天文学，并以一种巧妙的方法——利用从已知高度的山顶所见地平线的俯角——精确计算出了地球周长。

伊斯兰数学家在数论、组合学和无穷级数理论方面也作出了重要贡献。Ibn al-Haytham在欧洲被称为Alhazen，生活于约965年至1040年，他推导出了前n个整数、前n个平方数和前n个立方数之和的公式，并利用这些结果计算旋转体的体积，预示了积分学的方法。Al-Karaji活跃于公元1000年前后，他给出了正整数指数二项式定理的首个证明，并发展了多项式代数，将多项式视为可进行代数运算的形式对象。

伊斯兰数学向欧洲的传播，主要经由西班牙以及意大利南部和西西里岛两条途径实现。西班牙自八世纪初至十五世纪末处于伊斯兰统治之下，而意大利南部和西西里岛在中世纪时期同样受到伊斯兰文化的深刻影响。尤其是在十二、十三世纪，阿拉伯数学文献的拉丁译本使欧洲学者得以接触代数学、印度-阿拉伯数字系统以及大量已被重新发掘的古希腊数学传统。若非伊斯兰世界对古代数学的保存与传播，欧洲数学的后续发展将会面临更大困难，也将被大幅推迟。

中国数学

中国数学独立于希腊和印度传统而自主发展，并达到了相当高的成就水平。中国数学传统的特点在于：具有强烈的实用取向，注重数值计算，以及偏好算法方法而非形式公理化证明。中国数学在算术、代数和几何学领域取得了重要成果，并作出了若干原创性贡献，这些贡献在西方传统中数百年后才得以重现。

现存最古老的中国数学文献是《周髀算经》。该文献现存版本约成书于公元前一、二世纪，但其内容可能保留了更为古老的材料。《周髀算经》主要是一部天文学著作，但其中包含数学论述，含有勾股定理的表述及其证明。书中使用了一幅图示，展示了一个直角三角形三边各自所作的正方形，其论证虽不符合希腊的严格标准，但有效地说明了三个正方形面积之间的关系。

最重要的中国古代数学文献是《九章算术》，其定本约成于公元一世纪，但取材于更早的文献。该书在中国作为标准数学教材沿用了一千余年，涵盖范围极为广泛，按九章编排，分别为：方田（面积）、粟米（比例）、衰分（更多比例）、少广（面积与体积）、商功（体积）、均输、盈不足、方程（线性方程组）和勾股。

盈不足章介绍了一种方法，在中世纪伊斯兰和欧洲数学中被称为"试位法"，用于求解线性方程。方程章介绍了通过相当于高斯消元法的方式求解线性方程组的方法——该方法以十九世纪德国数学家Carl Friedrich Gauss命名，而中国人早在约两千年前便已掌握此法。同一章中还处理了含负系数的方程组，在欧洲数学引入负数之前便已在计算的情境中运用了负数。

中国古代数学最令人叹为观止的成就之一，是对圆周率的计算。数学家刘徽生活于公元三世纪，他采用与阿基米德类似的多边形方法，将圆周率计算为3.14159，精确到小数点后五位。公元五世纪，数学家祖冲之将圆周率精确至3.1415926与3.1415927之间，即精确到小数点后七位。他以355/113作为圆周率的近似分数，精度极高，与真实值的误差不足千万分之一，而欧洲直到十六世纪才达到这一精度水平。

中国数学传统还包括对今日所称"中国剩余定理"的早期探索——该定理属于数论范畴，涉及同余方程组的同时求解。成书于公元三至五世纪之间的《孙子算经》载有如下问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答案是二十三，而求解此类问题的方法，正是后来发展为中国剩余定理的核心内容，该定理在现代数论与计算机科学中均有重要应用。

帕斯卡三角形——即二项式系数的三角形排列——在中国数学典籍中出现的时间，远早于其在欧洲的出现。这一排列见于朱世杰1303年所著《四元玉鉴》，书中称之为"古法七乘方图"，并言其由来已久，说明早在更早之前便已为人所知。中国十一、十二世纪的早期数学著作中，亦有明确描绘帕斯卡三角形的内容。

中国数学传统在中世纪持续发展，秦九韶、杨辉等数学家在数值方法、高次方程与组合数学领域取得了重要进展。秦九韶于1247年所著《数书九章》，对中国剩余定理作了最为系统的论述，书中亦载有求解高次多项式方程的算法，其思路领先欧洲独立发现同类方法数个世纪之久。

中世纪欧洲数学

中世纪欧洲的数学史，通常被认为是一段相对停滞的时期，与同时期伊斯兰世界和印度蓬勃发展的数学活动相比，显得黯然失色。这一评价不无依据：公元五世纪西罗马帝国的覆灭，对古典学术的传承造成了严重冲击，欧洲中世纪早期的数学活动大体局限于商业、历法与基础测量所需的实用算术。然而，中世纪同样见证了古代数学知识的逐步复苏、伊斯兰世界数学传统的传入，以及日后在文艺复兴时期及其后大放异彩的数学传统之滥觞。

在中世纪早期的欧洲，部分古代数学知识得以保存，这在很大程度上归功于波爱修斯等学者的贡献。波爱修斯是一位罗马哲学家，生活于公元约477年至524年。他将希腊数学与哲学著作译成拉丁文或加以摘要整理，其关于算术、几何与音乐的译著和教科书奠定了中世纪早期数学教育的基础。他的《算术教程》改编自新柏拉图主义者Nicomachus of Gerasa的著作，在欧洲各地学校中沿用数百年，保存了古代数论传统的至少一部分内容。

古典与伊斯兰数学文献的重新发现，主要依托12至13世纪间完成的拉丁文译本得以传播，从而深刻改变了欧洲的数学文化。在西班牙、西西里岛以及伊斯兰世界与欧洲基督教世界接触的其他地区，众多译者将Euclid、Archimedes、al-Khwarizmi及许多其他数学家的著作首次译成拉丁文，或提供了质量大为改善的译本。印度-阿拉伯数字系统经由这些译著传入欧洲，其影响尤为深远。

意大利数学家Leonardo of Pisa，即广为人知的Fibonacci，通过其1202年的著作《计算之书》（Liber Abaci）在向欧洲引介印度-阿拉伯数字系统和伊斯兰代数学方面发挥了重要作用。这部内容宏富的著作详细阐述了新数字系统及其在商业计算中的优势，展示了将伊斯兰代数技术应用于商业算术问题的方法，并收录了一道关于兔子种群增长的著名问题——其解答涉及如今所称的斐波那契数列，即数列中每个数均等于前两个数之和。

12至13世纪间，欧洲各地城市相继兴办大学，如意大利的博洛尼亚、法国的巴黎以及英格兰的牛津，这些大学将数学纳入课程体系，作为"四艺"的组成部分——即算术、几何、音乐与天文四门学科，与"三艺"——文法、修辞和逻辑——并列。这一时期大学数学教育的内容主要取材于重新发现的古典与伊斯兰传统，但大学的制度环境提供了一个框架，使数学思想得以在其中被探讨、完善，并代代相传。

法国数学家兼哲学家Nicole Oresme，生活于约1320年至1382年间，作出了重要的原创性贡献，预示了后来的诸多发展。他发明了一种以二维图形表示物理量变化的作图方法，以水平轴表示时间，以垂直轴表示该量的大小，这是图形概念的早期形式，后来由Descartes加以完整发展。他还证明了调和级数——即1加二分之一加三分之一加四分之一如此递加的总和——是发散的，意即其和最终将超过任何有限界限。这是无穷级数理论中一个精妙而重要的结论。

中世纪晚期，概率数学领域也出现了重要进展，这一进展由赌博者和商人的实际需求所推动。Luca Pacioli、Gerolamo Cardano等意大利数学家开始对机会游戏进行数学分析，为日后最终发展成为概率论的学科奠定了早期基础。因此，中世纪尽管以数学上的沉寂著称，实则是一个重要的准备时期，为文艺复兴及17世纪数学的爆发式发展铺就了道路。

文艺复兴与数学的进步

文艺复兴是一场伟大的文化复兴运动，发端于十四世纪的意大利，并于十五、十六世纪间传遍欧洲。这场运动带来了对古典学问的重新热忱，以及一种崭新的探究精神，不仅深刻改变了数学，也彻底革新了其他一切学术领域。文艺复兴时期的数学家在代数领域取得了重要进展，解决了自古代以来悬而未决的难题，并发展出了十七世纪伟大科学革命所需的数学工具。

文艺复兴时期最具戏剧性的数学成就，是三次方程和四次方程的求解问题。中世纪欧洲数学家承袭花拉子米及其后伊斯兰代数学家的传统，已能常规性地求解二次方程，但涉及未知数三次幂的三次方程，始终未能找到一般性的解法。16世纪30年代，意大利数学家Niccolo Tartaglia发现了求解某类三次方程的方法。Gerolamo Cardano在以保密为誓向Tartaglia取得该方法后，将其与其学生Lodovico Ferrari所发现的四次方程解法一同收录于1545年出版的里程碑式著作《大术》（Ars Magna）中。

《大术》是代数学史上的一座里程碑。除三次方程和四次方程的求解公式本身之外，该书还以较为试探性的方式引入了复数的概念——即涉及负一的平方根的数，后来以i表示。Cardano注意到，他的公式有时需要对负数取平方根，即便最终结果是实数亦然。尽管他对此感到神秘甚至有些困惑，但他承认这些公式确实有效。将复数发展为一套合法且实用的数学体系，还需要Rafael Bombelli等人的进一步工作，但其根源已埋藏于Cardano的研究之中。

十七世纪初，苏格兰数学家John Napier与瑞士数学家Joost Bürgi分别独立发明了对数，这是一项具有深远理论意义的重大实践进步。对数将乘法运算转化为加法运算，极大地简化了天文和航海计算所需的运算量，而这类计算在当时正变得日益重要。Napier于1614年发表了这一发现，此后数十年间，天文学家、航海家、工程师和科学家迅速采用对数表，充分说明了数学发明如何回应实际需求，并反过来推动实践的发展。

符号代数的发展——即以字母代表未知数、以符号代表运算，取代花拉子米及其后继者那种较为繁冗的修辞式代数——是现代数学发展历程中的关键一步。法国数学家François Viète，生于1540年，卒于1603年，率先使用字母同时表示已知量和未知量，从而首次实现了以符号形式陈述和推导一般性代数恒等式。他的工作将代数学从一门专注于解决具体问题的学科，转变为一门研究普遍结构与关系的科学。

René Descartes，这位生于1596年、卒于1650年的法国哲学家兼数学家，对现代数学的发展做出了或许是最为重要的一项技术性贡献：解析几何的发明，又称笛卡尔几何。解析几何通过引入坐标系，将点用数对来表示，从而在代数与几何之间架起了一座桥梁——几何曲线可以用代数方程来描述，代数关系也可以被可视化为几何图形。Descartes的《几何学》于1637年作为其哲学著作《方法论》的附录出版，阐述了这一思想及其推论，从根本上改变了古典数学两大分支之间的关系。

Pierre de Fermat，这位生于1607年、卒于1665年的法国律师和业余数学家，独立发展出了与Descartes解析几何极为相似的思想，并在数论、概率论以及微积分基础等领域做出了重要贡献。他的"最后定理"以无证明的形式写在其所藏丢番图《算术》的页边空白处，断言当n大于2时，方程x的n次方加y的n次方等于z的n次方在正整数范围内无解。这一看似简单的命题在三个半世纪有余的时间里悬而未决，成为数学史上最著名的未解难题之一，直至1995年才由英国数学家Andrew Wiles最终证明。

微积分的发展

17世纪下半叶，Isaac Newton与Gottfried Wilhelm Leibniz创立了微积分，这是近代早期最伟大的数学成就，也是历史上影响最为深远的智识事件之一。微积分提供了描述连续变化与运动所需的数学工具，使对物理世界的定量描述成为可能，而这正是现代科学与工程学的基石。这一发现背后有一段关于优先权的极为激烈的争论，发生在那个时代两位最杰出的思想巨匠之间，堪称科学史上最具戏剧性的篇章之一。

微积分所要解决的数学问题已积累了数百年之久。曲线区域面积与体积的计算、曲线切线的确定、函数的优化，以及运动与变化的描述，都是此前的数学仅能在特殊情形下以极大困难勉强处理的紧迫问题。Archimedes曾用穷竭法针对特定图形解决了许多此类问题，但通用方法尚不存在。意大利数学家Evangelista Torricelli以及法国数学家Fermat与Gilles de Roberval在17世纪初取得了重要进展，但认识到两个基本问题——求切线与求面积——之间深刻联系这一关键一步，最终留给了Newton与Leibniz。

Isaac Newton生于1642年，卒于1727年。在1665年至1666年那段非凡岁月里，他发展出了他所称的"流数法"。彼时剑桥大学因瘟疫停办，Newton退居英格兰林肯郡伍尔斯索普的家中。在这段被迫独居的时光里，他不仅奠定了微积分的基础，还建立了运动定律与万有引力定律。Newton对微积分的处理方式主要是动态性的：他将数学量视为随时间流动的量，而某个量的导数即为其流动速率，即流数。他建立了对代数函数求微分的法则，将微分与切线计算联系起来，并认识到微分与积分互为逆运算——这一结论即今日所称的微积分基本定理。

牛顿不愿发表其数学研究成果，他的微积分在很久之后才广为人知。德国博学家、哲学家兼数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646—1716年）独立发展了微积分，据考其研究工作约始于1675年，并于1684年和1686年发表了研究成果。莱布尼茨的符号体系——以d表示微分、以拉长的S符号表示积分——远优于牛顿的表示法，并已被普遍采用。他所阐述的函数之和、积与商的微分法则，至今仍以其原始形式出现在每一门微积分课程的教学中。

牛顿与莱布尼茨之间的优先权之争逐渐演变为一场激烈的民族主义论战，英国科学家与欧洲大陆学者彼此对立，这场争论对双方及英国数学的发展均造成了损害——对牛顿符号体系的忠诚使莱布尼茨更为强大的符号系统在英国推迟了整整一个世纪才得以采用。这场争论于十八世纪初正式爆发，双方通过中间人相互指控剽窃，并于1712年达到最低谷——皇家学会的一个委员会在牛顿支持者的把持下、据称在牛顿本人的主导下发布报告，宣布牛顿享有优先权。现代数学史学家普遍认为，牛顿最先发展了微积分，但莱布尼茨是独立得出其版本的。

微积分作为理解物理世界之工具的强大威力，几乎在其诞生之初便通过对牛顿力学的应用得到了充分展示。以微积分语言写成微分方程形式的牛顿运动定律与万有引力定律，可用于推导开普勒行星运动定律作为数学推论，预测彗星的回归，计算地球轨道的形状，并解决大量此前数学无法企及的物理问题。这一进程的成功如此辉煌，以至于彻底改变了人们对数学所能实现之成就的认知，并为此后两个世纪的数理物理学确立了发展方向。

十八世纪，欧洲大陆传统的伟大数学家们——尤其是莱昂哈德·欧拉、约瑟夫-路易·拉格朗日和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯——将微积分方法迅速发展为完整的分析学框架。欧拉生于1707年，卒于1783年，是历史上最多产的数学家之一，他发展了变分法，在微分方程与无穷级数领域作出了巨大贡献，引入了沿用至今的大量标准符号，并对当时已知的数学各分支作出了根本性贡献。他的数学著述——其中大部分是在双目失明后完成的——多达约九十卷。

微积分的发展也引发了对其逻辑基础的深刻质疑。哲学家乔治·贝克莱于1734年批评牛顿与莱布尼茨原始表述中所出现的无穷小量（即无穷小）在逻辑上自相矛盾。微积分严密的逻辑基础最终在十九世纪得以确立，主要归功于奥古斯丁-路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯的工作——他们以精确的ε-δ极限定义取代了对无穷小量的直觉性认知，将整个学科置于坚实的逻辑基础之上，从而开创了数学分析的新纪元。

17至18世纪的数学革命

十七世纪和十八世纪，欧洲数学活动呈现出爆发式增长，从根本上改变了这门学科及其与物理世界的关系。除微积分的发展之外，这一时期还见证了概率论的创立、解析几何的发展、数论的重要进展、物理学的数学化，以及新的代数与几何工具的兴起——这些成果在随后的几个世纪中相继结出硕果。

法国数学家兼哲学家 Blaise Pascal 生于1623年，卒于1662年，对数学的多个分支作出了重要贡献。他对算术三角形（现称帕斯卡三角形）的研究系统而深具影响力，该三角形给出了二项式系数，并在组合数学和概率论中有广泛应用。不过，如前所述，这一三角形本身早在 Pascal 之前数个世纪便已为中国、波斯和印度的数学家所知晓。更具原创性的是他与 Pierre de Fermat 合作奠定数学概率论基础的工作——这一理论是通过一段著名的通信发展起来的，通信的起因是如何分配一场中断的博弈中的赌注。

Pascal 和 Fermat 所奠定的数学概率论，经由荷兰数学家 Christiaan Huygens 进一步发展与完善——他于1657年出版了第一部系统性的概率论专著；此后，Jacob Bernoulli、Abraham de Moivre 和 Pierre-Simon Laplace 又相继对其加以推进。Bernoulli 的《猜度术》（Ars Conjectandi）于1713年在其身后出版，证明了大数定律，即随着试验次数无限增加，某一事件发生的相对频率趋近于其概率。De Moivre 于1733年发现了中心极限定理，证明了大量独立随机变量之和趋向于正态分布（即钟形分布）。Laplace 则在其1812年出版的《概率的分析理论》（Théorie Analytique des Probabilités）中，对概率论作出了十八世纪最为完备的系统性阐述。

Leonhard Euler 对数学的贡献极为丰富、涉猎广博，难以简短概括。他于1748年出版的《无穷分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum）系统整理了十八世纪分析学的大量成果，并引入了现代函数概念。他通过现称为欧拉公式的结论，揭示了指数函数与三角函数之间的深刻联系——将 e 的 i 乘以 θ 次幂表达为 θ 的余弦加上 i 乘以 θ 的正弦；当 θ 等于 π 时，该公式的特殊情形便给出了那个将数学中五个最重要常数联系在一起的著名等式。他于1736年解决了哥尼斯堡七桥问题——即能否恰好走遍这座普鲁士城市的全部七座桥各一次并返回出发点——并由此创立了数学的一个分支：图论。

Euler 还对数论作出了根本性贡献，解决了若干自古代以来悬而未决的问题。他证明了费马小定理，即若 p 为素数，且 a 不被 p 整除，则 a 的 p 减一次幂减去一能被 p 整除。他证明了正整数平方倒数之和等于 π 的平方除以六，这一结论即著名的巴塞尔问题，此前曾令众多数学家徒劳求索。他还引入了欧拉函数（即totient函数）的概念，并首次对我们现今所称的模运算给出了现代意义上的系统处理。

这一时期微分方程的发展与物理学和工程学的需求密切相关。牛顿第二运动定律本身就是一个联系力、质量与加速度的微分方程。振动弦的运动、热的传导、电路的特性以及旋转体的力学，都需要借助微分方程进行数学描述。十八世纪的数学家，包括Euler、d'Alembert和Bernoulli，发展了常微分方程和偏微分方程，并为许多最重要的物理情形找到了解。微分方程的数学理论直接源于Newton和Leibniz的微积分，成为数学物理的主要语言，至今仍是如此。

将数学应用于认识自然这一事业，在十八世纪最辉煌的成就体现于Pierre-Simon Laplace的工作。他的多卷本著作《天体力学》于1799年至1825年间陆续出版，以Newton的万有引力理论为基础，对太阳系进行了系统而全面的数学阐述。理论与观测的高度吻合，以及Laplace对月球、木星、土星运动和潮汐现象所作预测的成功，有力地证明了数学作为理解宇宙之工具的强大力量。据说拿破仑曾问Laplace，为何其著作中只字未提上帝，Laplace据称回答道：他不需要那个假设。

非欧几何

自Euclid写下《几何原本》之后的两千余年间，他的平行公设始终令人在钦佩之余又感到不安。钦佩，是因为建立于其上的几何学如此完美地描述了日常经验中的世界。不安，则是因为与其他四条看似不言而喻的公设不同，平行公设措辞复杂，许多人觉得它可疑地缺乏直观性。从古希腊人，到中世纪伊斯兰世界的学者，再到十七、十八世纪的数学家，一长串数学家都曾尝试证明平行公设可以从其余四条公设中逻辑地推导出来，从而将其化为一条定理而非独立的假设。所有这些尝试均以失败告终，尽管其中许多在过程中产生了重要而有趣的成果。

决定性的突破发生在十九世纪初，三位数学家彼此独立、几乎在同一时期得出结论：存在不满足平行公设的自洽几何体系。匈牙利数学家Janos Bolyai、俄国数学家Nikolai Ivanovich Lobachevsky以及德国数学家Carl Friedrich Gauss，共同发展了如今被称为双曲几何的理论——在这一几何中，过直线外一点，可以作无数条直线与已知直线平行。

Gauss生于1777年，卒于1855年，或许是十九世纪最伟大的数学家。他早在1810年代便已得出非欧几何的结论，却始终未曾发表，据说是因为担心由此引发的争议。Lobachevsky于1830年率先发表了相关成果，Bolyai的工作则于1832年以附录形式收入其父的著作。欧氏几何远非对空间唯一而必然的描述，不过是众多自洽几何体系之一——这一发现，是数学史上最具革命性意义的智识成就之一。

第二类非欧几何被称为球面几何或椭圆几何，球面上的几何即为其典型例证。在球面上，不存在任何平行线：任意两条大圆——球面上直线的类比——恰好相交于两点。球面三角形的内角之和大于一百八十度，且三角形越大，超出的角度越大。球面几何早已被古希腊和伊斯兰天文学家在研究天球时加以探讨，但其作为一种与欧几里得平行公设相悖的几何体系的重要意义，直至十九世纪才得到充分认识。

Bernhard Riemann 于1854年在德国哥廷根大学发表了著名演讲《论作为几何学基础的假设》，为非欧几何提供了严格的数学处理框架。Riemann 提出了一个更为广泛的几何概念，其中空间曲率可以因点而异，将各处曲率为零的欧几里得几何以及各种非欧几何均纳入其中，作为特殊情形加以统一。他所创立的黎曼几何，提供了爱因斯坦六十年后建立广义相对论所需的数学语言——在广义相对论中，引力被描述为时空的曲率。

非欧几何的发现带来了深刻的哲学影响。既然欧几里得几何并非描述物理空间的唯一必然几何体系，数学的基础便不能再建立于对物理空间的直觉之上。数学不再仅仅是对空间世界的理想化描述，而成为一门自由、自主的学科，其唯一要求是内部逻辑的一致性。这一认识与十九世纪抽象代数和数理逻辑的发展相互融合，催生了现代数学的公理化观点——在这一观点中，一个数学理论是由一组公理经逻辑推导出的命题体系，至于这些公理是否描述物理世界中的任何事物，则在所不论。

非欧几何的影响远远超出了其在物理学中的直接应用。它为系统研究具有不同性质的几何体系打开了大门，催生了拓扑学——一门研究空间在连续形变下保持不变之性质的学科——并推动了定义二十世纪数学面貌的整个抽象数学纲领的形成。几何学从物理直觉束缚中的解放，也是数学本身的解放，使数学家得以探索任何逻辑自洽的结构，无论其是否与物理世界存在显而易见的联系，并坚信这些抽象探索或许会在未来找到意想不到的应用。

抽象代数与数论

十九世纪见证了代数学本质的深刻变革。从花拉子米到文艺复兴时期乃至此后，代数学始终主要致力于特定类型方程的求解；而在十九世纪数学家的手中，它演变为一门研究抽象结构的学科：群、环、域以及其他由公理定义、就其自身加以研究的代数系统，不依赖于任何具体的诠释。这场变革是数学史上最重要的变革之一，催生了如今被称为抽象代数的数学分支，它构成了现代数学的重要基础，并在科学、工程和计算机科学领域有着广泛应用。

十九世纪早期代数学的核心驱动问题，是关于哪些多项式方程可以通过仅含算术运算和根式提取的公式来求解。自古以来已知的二次方程求根公式，以及文艺复兴时期发现的三次和四次方程求根公式，表明二次、三次和四次方程均可如此求解。自然而然地，人们便想知道对于一般的五次方程——即五次多项式方程——是否也存在类似的公式。这一问题的首个确定性答案来自挪威数学家Niels Henrik Abel，他于1824年以二十一岁之龄证明了不存在用根式求解一般五次方程的通用公式。

更为深刻而完整的答案由法国数学家Evariste Galois给出。他的一生短暂而充满悲剧色彩，1832年在一场决斗中离世，年仅二十岁。他的数学著作部分写于那场致命决斗的前一夜，长期遭到忽视，后来才被认定为非凡之作。Galois在其研究中发展了群论，将每个多项式方程与其根的一个置换群相关联。他证明了一个方程可以用根式求解，当且仅当其对应的群具有某种现今称为"可解性"的性质。这一判据不仅解释了为何一般五次方程不可用根式求解，也阐明了为何五次及更高次方程通常不存在根式解，而低次方程则始终存在。

Galois理论是十九世纪数学最杰出的成就之一。它将群论确立为一种基本的数学工具，并证明了抽象代数结构能够为表面上毫不相关的数学问题提供深刻的洞见。群的概念源于Galois的工作，以及对称性、数论和几何学研究中的平行发展，在整个十九世纪逐渐成为数学与科学中最为普遍的概念之一。在物理学中，物理定律的对称群是现代粒子物理学及基本相互作用标准模型的基础。

数论是研究整数性质的古老学科，可追溯至Euclid与Diophantus，在十九世纪经由Carl Friedrich Gauss、Peter Gustav Lejeune Dirichlet和Bernhard Riemann等人的工作得以复兴。Gauss的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）出版于1801年，彼时他年仅二十四岁，是数学文献中的经典之作。该著作引入了整数同余关系的概念，发展了二次型理论，给出了二次互反律的首个严格证明，证明了每个正整数都是至多三个三角数之和，并证明了算术基本定理，在严格基础上确立了每个大于一的正整数都具有唯一的素因子分解。

素数在整数中的分布是数论中最古老、最深刻的问题之一。Gauss猜测，后来的数学家予以证明：不超过给定数x的素数个数近似等于x除以x的自然对数，这一结论被称为素数定理。Riemann在1859年发表的一篇著名论文中，引入了Riemann zeta函数及其复数零点，并阐明了素数的分布与这些零点在复平面上的位置之间存在深刻的内在联系。该论文是数学史上最具影响力的论文之一。Riemann假设断言zeta函数所有非平凡零点均位于复平面中某一特定竖直线上，至今仍未得到证明，或许是数学中最著名的未解难题。

统计学与概率论

统计学与概率论从17世纪的赌博问题起步，逐渐发展成为数学中应用价值最高的分支之一，为从数据中进行推断、量化不确定性以及对自然科学和社会科学中的随机现象建立模型提供了概念与计算工具。统计学从其数学源头演进为当今数据科学与实证研究通用语言的历程，堪称应用数学领域最为精彩的故事之一。

Pascal、Fermat 与 Huygens 在17世纪奠定的概率论基础，在18世纪由伯努利家族（尤其是 Jacob Bernoulli）以及 Abraham de Moivre 和 Pierre-Simon Laplace 得到进一步发展。Jacob Bernoulli 于1713年发表的大数定律，是首个关于随机试验长期行为的严格定理，确立了理论概率与经验频率之间的联系。De Moivre 于1733年发现正态分布是二项分布的极限形式，这一成果是我们如今所称的中心极限定理的首项重大结果，而中心极限定理是整个概率论中最重要的定理之一。

Laplace 与德国数学家 Carl Friedrich Gauss 在1800年前后各自独立发现了最小二乘法——一种通过最小化观测值与预测值之差的平方和来将数学模型拟合至数据的方法。Gauss 将其应用于根据有限观测数据计算新发现的小行星谷神星轨道的问题，成功预测了它在消失于视野之后重新出现的位置。这一预测的惊人成功，使最小二乘法成为将曲线拟合至实验数据的标准工具。在此背景下作为误差分布出现的正态分布，有时也被称为高斯分布，以纪念 Gauss 的贡献。

19世纪，统计学发展为一门独立学科，其关注范围不再局限于概率论，而是延伸至数值数据的收集、整理与解释。比利时统计学家 Adolphe Quetelet（1796—1874）将统计方法应用于社会现象，计算了大规模人口在各类体质与社会特征上的平均值，并引入了"平均人"（l'homme moyen）这一概念——一种代表总体集中趋势的统计学抽象。他的研究开创了统计学在社会科学中的应用先河，并对公共卫生、犯罪学及社会学的发展产生了深远影响。

英国博学家 Francis Galton（1822—1911）在研究遗传及性状跨代传递的过程中，提出了均值回归与相关性的概念。他注意到，异常高大的父母所生子女往往高于平均水平，但身高不及其父母，并将这一现象称为"向平庸回归"，即现今所称的均值回归。他的统计学思想由其学生 Karl Pearson 加以形式化与拓展，后者建立了相关系数的数学理论，发展了卡方检验，并创建了现代统计学的众多其他工具。

二十世纪，数理统计发展成为一门具有坚实理论基础的严谨学科。英国统计学家兼遗传学家Ronald Aylmer Fisher（1890—1962年）或许是这一发展进程中最重要的人物。他的贡献包括：创立方差分析、提出最大似然估计的概念、开拓实验设计方法，以及奠定现代假设检验的基础。他分别于1925年和1935年出版的《研究工作者的统计方法》与《实验设计》两部著作，影响了数代各学科科学家的统计实践。

二十世纪下半叶，计算机的兴起使统计学发生了深刻变革——许多此前难以实现的运算由此成为可能。与此同时，贝叶斯统计、非参数方法，以及从统计学基础中衍生出的种类繁多的机器学习算法相继兴起，进一步推动了这场变革。现代数据革命使人类各个活动领域都积累了海量数据，统计思维因此比以往任何时候都更为重要，同时也在高维统计理论、压缩感知以及随机矩阵与网络分析等领域催生了新的数学挑战。

二十世纪与纯数学

二十世纪可以说是整个数学史上最富创造力、最硕果累累的时期。这一世纪所完成的数学工作，无论在数量上还是在多样性上，都超越了以往任何时代。新数学学科的涌现、难题的深度突破，以及表面上相距甚远的数学领域之间出人意料的内在联系，共同使这个时代成为数学发展的黄金时代。

这个世纪以一次奠定议程的挑战开篇。1900年，德国数学家David Hilbert——彼时数学界最杰出的人物——在巴黎举行的国际数学家大会上发表演讲，提出了二十三个问题，作为对新世纪的挑战。这些问题涵盖数学本身性质的基础性追问，乃至数论、几何学和数学物理中的具体猜想，数十年间引领着数学研究的方向，其中几个至今仍悬而未决。Hilbert的问题清单在很大程度上界定了数学界所认为最重要的开放性问题，二十世纪数学史在某种意义上，也是这份清单上不断取得进展的历史。

Hilbert本人是一位极具影响力的巨擘，深刻塑造了二十世纪前数十年数学发展的走向。他于1899年出版的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）为欧几里得几何提供了严格的公理化处理——这正是欧几里得原著一直所欠缺的——将所有必要的假设明确列出，并从这些公理出发对一切命题加以证明。他为整个数学基础所构想的方案——"Hilbert纲领"——旨在将全部数学建立在一组有限且相容的公理之上，使每一条数学真理原则上都能从中推导出来。这一纲领在二十世纪二十年代既雄心勃勃，又似乎切实可行，却于1931年被数学史上最震撼人心的成果之一彻底击碎。

奥地利逻辑学家Kurt Godel（1906—1978）于1931年证明了他的不完备性定理，这两个结果对希尔伯特计划造成了毁灭性的打击。第一不完备性定理指出，任何足以描述普通算术的相容形式系统，必然包含在该系统内部无法被证明的真命题。第二不完备性定理则指出，这样的系统无法证明自身的相容性。这些定理表明，希尔伯特关于为全部数学建立一个完备且可证明相容之基础的梦想，在原则上就是不可能实现的，而不仅仅是实践中的难题。Godel的定理是逻辑学史与数学哲学史上最深刻、最令人震惊的成果之列。

二十世纪见证了许多悬而未决数百年之久的问题最终得到解决。Andrew Wiles于1995年证明了费马大定理，此前这一问题作为数学史上最著名的未解难题已历经三个半世纪。庞加莱猜想由Henri Poincare于1904年提出，询问任何单连通的封闭三维流形是否与三维球面同胚，俄罗斯数学家Grigori Perelman于2003年前后利用几何分析方法予以证明，其方法革新了处理此类拓扑问题的整体思路。

二十世纪还催生了全新的数学学科。拓扑学研究连续形变下保持不变的性质，从Poincare、Emmy Noether及众多学者奠定的基础性洞见出发，发展成为数学的重要分支之一。泛函分析将微积分推广至无穷维空间，由David Hilbert、Stefan Banach、John von Neumann等数学家共同发展建立，并成为量子力学数学表述的核心工具。代数拓扑、微分几何、范畴论及众多其他领域或诞生于二十世纪，或在这一时期走向成熟。

匈牙利裔美国数学家John von Neumann（1903—1957）是那个世纪最全才卓越的数学家之一。他的贡献跨越数学基础、量子力学、博弈论、经济学与计算机科学等多个领域。他以希尔伯特空间上的算子为框架对量子力学所作的数学表述，至今仍是物理学家沿用的标准体系。他在博弈论中提出的极小极大定理，为战略行为数学理论奠定了基础，这一理论已成为经济学、政治学与进化生物学不可或缺的工具。

德国数学家Emmy Noether（1882—1935）被爱因斯坦誉为迄今为止最具创造力的数学天才，她在抽象代数与理论物理方面作出了根本性的贡献。她于1915年证明、1918年发表的定理——如今称为诺特定理——揭示了物理系统的对称性与守恒律之间的深刻联系，例如证明了物理定律在时间平移下的对称性对应于能量守恒。这一成果对整个现代物理学具有根本性意义，是抽象代数思维直接应用于物理世界的范例。

计算机与数理逻辑

数学与计算之间的关系由来已久，但二十世纪对其进行了深刻的变革。十九世纪末至二十世纪初数理逻辑的发展，加之第二次世界大战的现实需求，直接促成了电子数字计算机的诞生，而计算机的出现又反过来彻底改变了数学的研究实践及其应用方式。计算本身的研究成为数学研究的一个重要分支，在哪些问题可以被计算、哪些不能，以及计算问题的内在难度等方面产生了深刻的成果。

计算机的数学基础奠定于20世纪30年代，彼时第一台电子计算机尚未问世。英国数学家Alan Turing（1912—1954）于1936年提出了通用计算机器的理论概念，即现在所称的图灵机，作为计算的精确数学模型。图灵机是一种抽象装置，具有有限的内部状态集合、用于输入输出的无限纸带，以及规定其每一步行为的转移函数。Turing证明了任何原则上可由机械程序执行的计算，都可以由某台适当的图灵机来完成，从而将这一模型确立为计算理论的数学基础。

Turing还证明了关于计算局限性的第一个重大结论：停机问题的不可判定性。他证明了不存在一种通用算法，能够针对任意给定的程序和任意给定的输入，判断该程序最终是否会停机还是永远运行下去。这一结论于1936年得到证明，表明存在数学上定义明确、却无任何算法能够回答的问题，从而补充并在某种程度上将Godel的不完备性定理延伸至计算领域。

电子计算机的实际发展与数学理论的演进相互交织、并行推进。第二次世界大战期间，Turing参与了英国在英格兰布莱切利园的密码破译工作，致力于研究破解德国恩尼格玛密码机所用的数学方法。John von Neumann在20世纪40年代中期对第一批电子数字计算机的设计作出了关键性贡献，提出了存储程序体系结构——即数据与程序指令共同存储于同一内存中——这一特征为此后几乎所有计算机所沿用。

计算机的发展催生了新的数学问题，也为解决旧问题提供了新的方法。数值分析是数学中专门研究设计和分析算法、以对数学问题进行数值近似计算的分支，随着计算机使此类计算在以往难以想象的规模上成为可能，这一分支的重要性大幅提升。1965年由James Cooley和John Tukey发现的快速傅里叶变换算法，大幅降低了计算傅里叶变换的计算代价，推动了信号处理、数据压缩和科学计算领域的革命性变革。

计算复杂性理论根据求解算法所需的资源——主要是时间和内存——对问题进行分类，在20世纪下半叶成为数学研究的重要领域。P与NP问题——即询问每一个解可被快速验证的问题是否也能被快速求解——约于1971年被正式提出，现已列入千禧年大奖难题，悬赏百万美元以待其解决。这一问题的解决将对密码学、优化、人工智能以及数学基础产生深远影响。

计算机还以更为直接的方式改变了数学的研究实践。借助计算机辅助证明，研究者可以利用计算机核验大量人工验证不切实际的情形，已有若干著名定理借此得以证明。四色定理——即任何平面地图均可用至多四种颜色着色，使得相邻区域颜色各异——于1976年由Kenneth Appel和Wolfgang Haken在计算机的大量辅助下得到证明，共核验了1,476种可归约构型。这是第一个证明在本质上依赖计算机计算的重大定理，并由此引发了关于数学证明本质的哲学争论。

现代密码学保障着互联网通信、金融交易和国家机密的安全，其深层基础建立在数论与代数之上。公钥密码学由 Whitfield Diffie 和 Martin Hellman 于1976年发明，Ronald Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 于1977年独立发明了 RSA 系统，这一体系依赖于将大数分解为质因数在计算上的困难性——这一问题与古希腊及后世数学家所研究的质数理论有着深刻的内在联系。如今，数十亿互联网用户的实际安全保障，依赖于那些当初根本未曾考虑过实际应用的数论学家所取得的数学成果。

历史上的著名数学家

数学史上涌现出众多杰出人物，他们凭借卓越的智识天赋和对学问的执着投入，创立了伟大的定理与理论，共同构成了人类的数学遗产。简要回顾若干最具影响力的已故数学家，既能彰显数学天才的多元面貌，也能呈现数学进步所具有的累积性与协作性。

欧几里得约于公元前300年活跃于亚历山大城，是《几何原本》的作者。《几何原本》是历史上影响最深远的数学教科书，也是西方数学传统的奠基之作。尽管关于他生平的记载甚少，但他将那个时代的数学知识整理成一套严密演绎体系的学术成就，堪称卓绝。从成书之日起至19世纪末，《几何原本》在欧洲和伊斯兰世界的学术机构中始终作为数学教学的主要教材，沿用逾两千年之久。

叙拉古的 Archimedes（公元前287年至公元前212年）是古代最伟大的数学天才，在抽象数学成就之外，于应用力学与工程学领域同样卓越非凡。他对圆周率的计算、关于曲线图形面积与体积的公式、在杠杆与浮力方面的研究，以及对无穷级数求和的探索，使他远超同时代人数个世纪，足以与17世纪的伟大数学家相媲美。

Brahmagupta 于公元598年生于印度，是中世纪早期最重要的数学家之一。他对含零与负数的算术进行了系统阐述，提出了圆内接四边形面积公式，并在不定方程领域作出了重要贡献，由此确立了他在数学史上经久不衰的重要地位。

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi 于9世纪初活跃于巴格达，将代数创立为一门系统性学科，并将印度-阿拉伯数字系统引入伊斯兰世界，进而间接传入欧洲。"代数"（algebra）一词源自他著作中的"al-jabr"，"算法"（algorithm）一词则源自其名字的拉丁化形式，这两个词是现代数学与计算机科学中最重要的术语之一。

比萨的 Leonardo，即 Fibonacci，生活于约1170年至约1250年间，他通过《计算之书》将印度-阿拉伯数字系统引入欧洲，并推动了欧洲代数与数论传统的发展。斐波那契数列出现在他关于兔子种群增长的研究中，此后被发现广泛存在于自然界的众多现象之中，从向日葵种子的螺旋排列到树木的分枝生长，令人叹为观止。

Niccolo Tartaglia（1500年至1557年）与 Gerolamo Cardano（1501年至1576年）在文艺复兴时期取得了重大突破，成功求解了三次方程与四次方程，由此开启了对多项式方程的系统研究以及复数理论的大门。

John Napier，1550年至1617年，发明了对数，这是数学史上最重要的计算工具之一。他的对数表以及后来以此为基础发明的计算尺，是17世纪至20世纪科学家和工程师的标准计算工具。

René Descartes，1596年至1650年，发明了解析几何，将代数与几何这两门此前相互独立的学科统一起来，并建立了坐标系——这一坐标系至今仍是大多数数学可视化的基础。他的著作《几何学》彻底改变了数学的研究方式。

Pierre de Fermat，1607年至1665年，在数论领域做出了奠基性贡献，包括费马大定理、费马小定理，以及无穷递降法的相关研究。他还对微积分和概率论的基础发展作出了重要贡献。

Blaise Pascal，1623年至1662年，在射影几何、概率论以及算术三角形理论方面做出了重要贡献。他发明的帕斯卡计算器是最早的机械计算机之一，比计算机的正式问世早了三个世纪。

Isaac Newton，1642年至1727年，微积分的共同发明者，运动定律和万有引力定律的奠基人，同时为物理学和数学分析发展了大量数学工具。他于1687年出版的《自然哲学的数学原理》是科学史上最重要的著作之一。

Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年至1716年，微积分的共同发明者及其符号体系的创立者，同时在逻辑学、哲学和组合数学领域也有重要贡献。他所创立的微积分符号体系至今仍被全世界普遍沿用。

Leonhard Euler，1707年至1783年，是历史上著述最为丰富的数学家，在分析学、数论、图论、力学以及他所处时代几乎所有其他数学分支上都做出了奠基性贡献。他引入了当今通用的大多数标准数学符号，包括e、i、π、求和符号σ以及函数符号f(x)。

Carl Friedrich Gauss，1777年至1855年，数学王子，在数论、代数、统计学、微分几何和数学物理领域取得了突破性成就。他的《算术研究》是数学史上最伟大的著作之一。

Augustin-Louis Cauchy，1789年至1857年，通过建立极限理论，为微积分奠定了严格的逻辑基础。他的教科书影响了整整一个世纪的数学分析教学。

Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792年至1856年，与Janos Bolyai，1802年至1860年，各自独立创立了非欧几何，这是数学史上最具革命性的发现之一。

Niels Henrik Abel，1802年至1829年，证明了一般五次方程不可能用根式求解，并在椭圆函数理论方面做出了奠基性贡献，而这一切均在他二十六岁英年早逝之前完成。

Evariste Galois，1811年至1832年，创立了伽罗瓦理论和群论，其深远影响塑造了此后两个世纪代数学的发展走向，而他本人在二十岁时便因决斗身亡。

Bernhard Riemann，1826年至1866年，在复分析、微分几何和数论领域做出了奠基性贡献。他于1859年发表的论文引入了黎曼ζ函数和黎曼假设，至今或许仍是数学史上影响最为深远的单篇论文。

Georg Cantor，1845年至1918年，创立了集合论和无限基数理论，证明了某些无穷大比其他无穷大更大，从而彻底革新了数学的基础。

Henri Poincare，1854年至1912年，是最后几位在整个数学学科范围内做出重大贡献的数学家之一。他在拓扑学、天体力学、数学物理以及数学基础方面的工作产生了极为深远的影响。

Emmy Noether，1882年至1935年，彻底变革了抽象代数，并通过将对称性与守恒定律相联系的定理，为理论物理学作出了根本性的贡献。

Alan Turing，1912年至1954年，奠定了计算机科学的理论基础，证明了停机问题的不可判定性，并为计算技术的实际发展作出了贡献。他在第二次世界大战中对英国的密码破译工作也至关重要。

John von Neumann，1903年至1957年，在量子力学、博弈论、经济学和计算机科学领域作出了重大贡献，并参与设计了最早的现代计算机。

数学在日常生活中的应用

数学渗透于日常生活的程度，远超大多数人的意识。从清晨收音机闹钟响起的那一刻，到深夜在餐厅核算账单，人类的普通生活无不由数学关系、度量与计算所构成。应用数学的历史，在很大程度上就是人类文明本身的历史：技术、商业、航海、建筑、医学与通信领域的每一项重大进步，都有赖于本文所介绍的那些数学家所发展出的数学工具。

数学在日常生活中最基本、最普遍的应用体现在货币领域：计数、记账与算术运算。追踪货物数量、记录交易往来、核算盈亏得失的需要，是推动古代美索不达米亚和埃及发展出书写系统与数字符号的主要动力之一。印度-阿拉伯数字系统凭借其十进制位值记数法与零的概念，之所以能在欧洲取代罗马数字系统，正是因为它使商业算术的效率大为提升。复式记账法在中世纪意大利城邦兴起，并由Luca Pacioli于1494年加以系统阐述，它将数学结构引入商业账簿管理，直接推动了现代资本主义的发展。

建筑与工程建设历来都需要深厚的数学知识。埃及金字塔的建造要求能够精确测量距离与角度、计算石料体积，并对规模庞大的建设工程进行统筹规划。欧洲中世纪的宏伟大教堂则要求建造者充分理解拱券与穹顶的几何原理，以确保结构的稳固性。现代建筑则综合运用基于微积分的结构分析、有限元方法以及计算机辅助设计软件，其数学基础涵盖线性代数、微分方程与数值分析等多个领域。

在全球定位系统（GPS）技术出现之前，航海导航需要借助复杂精密的数学工具来确定位置和规划航线。三角学、对数与微积分的发展，在一定程度上都受到了航海者实际需求的驱动。自17世纪起，各海洋国家广泛使用的六分仪、精密航海钟与航海数表，凝聚了数百年数学发展的成果。如今，全球定位系统（GPS）的工作原理是求解一组联立方程，这些方程描述了接收机到多颗卫星之间的测量距离关系，是三维坐标几何的直接应用。

医学和公共卫生在很大程度上依赖统计推断与概率推理。临床试验采用统计方法来判断某种治疗手段是否有效，通过比较治疗组与对照组的结果，并运用概率论评估所观察到的差异究竟是真实效果还是偶然因素所致。流行病学是研究疾病在人群中的分布规律及其决定因素的学科，本质上就是应用统计学。传染病传播的数学建模，包括著名的基本再生数R——即每个原发病例平均引发的继发病例数——直接源自微分方程的数学理论。

音乐是古代毕达哥拉斯学派认为最具数学性的艺术，其每一个层面都建立在数学关系之上。泛音列——即基频整数倍频率所构成的序列——决定了乐音的音色结构。自十七世纪以来在西方音乐中广泛使用的十二平均律，将一个八度音程均等划分为十二个半音，相邻音符之间的频率比为2的十二次方根。数字音频处理是现代录音与回放技术的核心，它以离散傅里叶变换及其他基于高等数学的信号处理算法为基础。

计算机已成为现代生活的核心技术，其根基在于数理逻辑。布尔代数由英国数学家George Boole于十九世纪中叶创立，最初是作为逻辑命题的形式代数体系，后来人们发现它能够精确描述电子开关电路的行为。计算机所执行的每一项操作——每一次运算、每一次数据库查询、每一个网页的响应、每一帧游戏画面的渲染——归根结底都是一系列逻辑运算与算术运算，均可用数学语言加以描述。

互联网深刻改变了通信、商业与文化的面貌，而它在每一个层面都离不开数学的支撑：数据包路由算法、保障交易安全的密码协议、用于信息索引与检索的搜索引擎算法，以及驱动推荐系统、欺诈检测和自然语言处理的统计方法与机器学习方法。网络、图论、信息论与优化理论等数学分支——其中大部分形成于二十世纪——构成了数字世界不可见的基础设施。

数学中的未解问题

尽管数学已有五千余年的辉煌积累，这门学科的前沿仍在不断向外延伸，许多最重要、最深刻的数学问题至今悬而未决。那些表述简洁却令最顶尖的数学头脑数十年乃至数百年都束手无策的深层问题，正是数学作为一门学科最令人着迷的特质之一。未解问题如同灯塔，为数学研究指引方向；而在尝试解决这些问题的过程中所发展出的方法，即便原问题仍未攻克，往往也能带来意义重大的数学进展。

黎曼猜想被普遍认为是数学中最重要的未解问题。这一猜想由Bernhard Riemann于1859年提出，断言黎曼ζ函数——一个与素数分布密切相关的复值函数——的所有非平凡零点均位于复平面上的临界线上，即复变量实部等于二分之一的那条直线。迄今为止，计算机已对数万亿个零点进行了验证，结果均与猜想相符；解析数论中几乎所有涉及素数分布的结论，要么以黎曼猜想为前提，要么在其成立的条件下可以得到加强。尽管如此，经过一个半多世纪的不懈探索，至今仍无人给出证明。

P与NP问题询问的是：每一个解可以在多项式时间内快速验证的计算问题，是否也可以被快速求解。更正式地说，它询问复杂性类P（即可在多项式时间内求解的问题集合）是否等于复杂性类NP（即解可在多项式时间内验证的问题集合）。几乎所有计算机科学家都认为P不等于NP，即存在易于验证但本质上难以求解的问题，然而这一信念的证明至今仍难以实现。P与NP问题的解决将对密码学、优化、人工智能以及计算机科学的基础产生深远影响。

Birch与Swinnerton-Dyer猜想涉及椭圆曲线——一类具有丰富数学结构的三次代数曲线，与数论的许多领域紧密相连。该猜想将椭圆曲线上有理点群的秩（一个衡量定义方程有理解数量的数）与一个相关的复值函数——即该曲线的L函数——在特定点附近的行为联系起来。这一猜想形成于20世纪60年代，是克雷数学研究所设立百万美元奖金的七个千禧年大奖难题之一，尽管已有重要的部分性结果，但该猜想至今仍未得到证明。

纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题询问的是：在三维空间中，给定光滑初始条件时，描述粘性不可压缩流体流动的方程——纳维-斯托克斯方程——是否始终存在对所有时间均成立的光滑解。这些方程描述了水、空气及其他流体的流动，是工程学、气象学和海洋学的基础。在二维情形下，光滑全局解的存在性已得到证明，但三维情形至今仍是未解之谜。问题的核心在于：这些方程是否可能在有限时间内产生奇点，即速度趋于无穷大的点。

Hodge猜想是代数几何中的一个问题，涉及代数簇（由多项式方程定义的几何对象）的拓扑结构与其代数结构之间的关系。它预言：复数域上光滑射影代数簇的某些拓扑类——上同调类——可以由代数闭链来表示。这一猜想以深刻而非显而易见的方式连接了几何学的两个主要分支，已在二维代数簇的情形下得到证明（即关于(1,1)类的Lefschetz定理），但一般情形至今仍未解决。

Goldbach猜想由普鲁士数学家Christian Goldbach在1742年致Euler的一封信中提出，断言每个大于2的偶数都是两个素数之和。这一命题是数论中表述最为简洁的未解问题之一，已通过计算机计算在极大范围内的所有偶数上得到验证。尽管如此，一般性的证明至今仍难以实现。在向Goldbach猜想迈进的成果中，最重要的是陈氏定理——由中国数学家陈景润于1966年证明，表明每个足够大的偶数都是一个素数与另一个数之和，而那个数或者是素数，或者是两个素数的乘积。

孪生素数猜想断言，存在无穷多对相差为2的素数对，例如3与5、11与13、17与19。这一猜想与哥德巴赫猜想一样，表述简单，且已在迄今发现的所有孪生素数中得到验证——这些素数可延伸至极大的数值，但在一般情况下仍未获证明。2013年，美国数学家张益唐证明了存在无穷多对素数之差至多为七千万，取得了重要进展。这一结果给出的是一个有限的上界，而非恰好为2，但相较于此前已知的结论，这在本质上是一次突破。

abc猜想由Joseph Oesterle和David Masser于1985年各自独立提出，是一个关于满足方程a加b等于c的三个正整数a、b、c的素因子分解之间关系的深刻猜想。该猜想对数论具有重大影响，其推论涵盖多项重要结论，包括费马大定理的一个强化形式。日本数学家Shinichi Mochizuki于2012年发表了一篇声称证明该猜想的论文，但截至目前，由于他所采用的方法极具独创性且高度复杂，验证难度极大，数学界对此尚未普遍认可。

上述问题以及众多其他未解问题的存在，表明数学是一门充满活力的学科——其前沿不断向前推进，而其深处却永无穷尽。每一代数学家都继承了丰厚的既有知识遗产，以及一片更为广阔的未知领域。数学的历史并非一部已经合上的书，而是一个仍在续写的故事，其最伟大的篇章或许就在前方。

参考来源

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/ https://www.ams.org/publicoutreach/math-history/ https://www.claymath.org/millennium-problems/ https://www.maa.org/press/maa-reviews/history-of-mathematics https://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html https://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Chronology/index.html https://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/math-and-the-rise-of-civilization.html https://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/elements.html https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-ancient/ https://iascud.net/history-of-mathematics-overview/

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以下审核针对本文中的15项关键事实陈述，依据权威非维基百科来源进行核实。网络检索于2026年5月完成。共发现2处错误，已在附加本节前予以更正。

陈述1：莱邦博骨距今约43,000年。状态：已确认。多项放射性碳测年结果将该骨骼定年为距今43,000至44,200年。来源：非洲遗产（afrolegends.com）、信息史（historyofinformation.com）。

陈述2：伊尚戈骨距今约20,000年。状态：已确认。伊尚戈骨的测年结果一致显示其历史约为距今20,000年。来源：布法罗大学非洲裔数学史（math.buffalo.edu）。

陈述3：普林顿322号泥板约成于公元前1800年，包含勾股数组。状态：已确认。该泥板的年代被认定为公元前1822年至公元前1762年之间，内含勾股数组表。来源：麦克托尔数学史（mathshistory.st-andrews.ac.uk）、纽约大学古代世界研究所（isaw.nyu.edu）。

陈述4：Aryabhata生于公元476年，并给出圆周率近似值3.1416。状态：已确认。Aryabhata生于公元476年，给出近似值62832/20000 = 3.1416。来源：不列颠百科全书（britannica.com）、麦克托尔（mathshistory.st-andrews.ac.uk）。

第5条声明：Brahmagupta生于公元598年，于公元628年撰写了《婆罗摩修正体系》（Brahmasphutasiddhanta）。状态：已证实。两个日期均有多方学术资料佐证。来源：圣安德鲁斯大学麦克托尔数学史网站（mathshistory.st-andrews.ac.uk）。

第6条声明：Madhava of Sangamagrama（约1340—1425年）利用无穷级数将圆周率计算至小数点后十一位。状态：已证实。Madhava被公认为将圆周率计算至小数点后十一位的学者，并推导出正弦、余弦及反正切的级数展开式。来源：数学的故事网站（storyofmathematics.com）、蒙大拿大学（scholarworks.umt.edu）。

第7条声明：祖冲之将圆周率精确计算至小数点后七位，并给出分数355/113。状态：已证实。祖冲之所给出的上下界3.1415926与3.1415927确立了小数点后七位的精度。分数355/113精确至小数点后六位。来源：麦克托尔网站（mathshistory.st-andrews.ac.uk）、Mind Your Decisions（mindyourdecisions.com）。

第8条声明：Archimedes利用96边形证明了圆周率介于三又十个七十一分之一与三又七分之一之间。状态：经更正后已证实。原文错误地将下界表述为"三又十个七分之一"。正确的下界为223/71，即三又十个七十一分之一（约为3.1408）。上界22/7即三又七分之一（约为3.1429），表述正确。此错误已在所有英文文件中予以更正。

第9条声明：Al-Khwarizmi约于公元830年在巴格达撰写了其代数学著作。状态：已证实。《代数学》（Kitab al-Jabr wal-Muqabala）约于公元830年在哈里发马蒙统治下，于巴格达智慧宫撰成。来源：美国国会图书馆（loc.gov）、History Rise（historyrise.com）。

第10条声明：Evariste Galois于1832年在一场决斗中去世，年仅二十岁。状态：已证实。Galois生于1811年，于1832年5月31日去世，享年二十岁。来源：麦克托尔网站（mathshistory.st-andrews.ac.uk）、《大英百科全书》（britannica.com）。

第11条声明：Kurt Godel于1931年发表了其不完备性定理。状态：已证实。Godel于1931年发表的论文证明了任何足以支撑算术的相容形式系统均包含无法证明的真命题，从而彻底颠覆了Hilbert的形式化纲领。来源：斯坦福哲学百科全书（plato.stanford.edu）、美国数学学会（ams.org）。

第12条声明：Andrew Wiles证明了费马大定理，相关成果于1995年发表。状态：已证实。Wiles的证明发表于1995年5月出版的《数学年刊》。来源：PBS NOVA（pbs.org）、牛津大学（ox.ac.uk）。

第13条声明：张益唐于2013年证明了存在无穷多对相差不超过七千万的素数对。状态：已证实。张益唐的论文于2013年4月投稿至《数学年刊》，证明了这一结论。来源：《量子》杂志（quantamagazine.org）、《数学年刊》（annals.math.princeton.edu）。

第14条声明：四色定理于1976年由Kenneth Appel与Wolfgang Haken借助计算机辅助完成证明，共验证了1,476个可约构型。状态：经更正后已证实。原文表述为"约一千四百个"，低估了实际数量。正确数量为1,476个构型。此错误已在所有英文文件中予以更正。来源：佐治亚理工学院（thomas.math.gatech.edu）。

第15条声明：Grigori Perelman约于2003年证明了庞加莱猜想。状态：已证实。Perelman于2003年7月17日将其最终论文发布至arXiv，该证明随后获得数学界认可。来源：克雷数学研究所（claymath.org）、Science.org。

第16条声明：Leonhard Euler的文集全集约有九十卷。状态：已证实。Euler的全集约达90卷。其中大量成果产生于他生命最后数十年完全失明之后。来源：麦克托尔网站（mathshistory.st-andrews.ac.uk）、leonhardeuler.com。

第17条声明：莱因德数学纸草书的年代约为公元前1550年，共包含84道题目。状态：已证实。该纸草书年代约为公元前1550年，包含84道数学题。来源：不列颠百科全书（britannica.com）、大英博物馆（britishmuseum.org）。

已应用于所有英语文件的更正：

1. 阿基米德圆周率下界的表述由"三又十分之七"更正为"三又七十一分之十"（即分数223/71的正确表达方式）。2. 四色定理证明中所检验的可归约构型数量由"约一千四百个"更正为"1,476"。