Historia de las Matemáticas

Introducción

Las matemáticas se encuentran entre los logros intelectuales más antiguos y duraderos de la especie humana. Desde las primeras marcas trazadas en hueso por cazadores prehistóricos que llevaban la cuenta de sus presas, hasta los vastos edificios del razonamiento abstracto construidos por los lógicos y geómetras del siglo veinte, la historia de las matemáticas es inseparable de la historia de la civilización humana misma. Ninguna otra disciplina ha moldeado tan silenciosa y tan profundamente la manera en que las personas comprenden el universo, construyen sus ciudades, navegan sus mares, llevan a cabo su comercio y amplían las fronteras de la ciencia. La historia completa de las matemáticas, desde los sistemas numéricos antiguos hasta las matemáticas modernas y sus grandes descubrimientos, abarca al menos cincuenta mil años de esfuerzo, ingenio, fracaso y triunfo humanos.

Lo que hace tan fascinante la historia de las matemáticas es que no es simplemente una crónica de fórmulas descubiertas y teoremas demostrados. Es el registro de seres humanos que luchan con los misterios más profundos de la cantidad, el espacio, el cambio y la estructura. ¿Por qué las mismas verdades matemáticas aparecen de manera independiente en culturas separadas por vastos océanos y siglos? ¿Cómo llevó el simple acto de contar ovejas al concepto del infinito? ¿Cómo sentaron los comerciantes que llevaban cuentas en la antigua Mesopotamia las bases del álgebra que los estudiantes siguen estudiando en la escuela hoy en día? Estas preguntas convierten la historia del pensamiento matemático en una de las narrativas más ricas de la historia intelectual.

El desarrollo de las matemáticas nunca ha sido una progresión lineal y fluida. A los períodos de creatividad explosiva les han seguido largos siglos de consolidación o aparente estancamiento. El conocimiento matemático ha sido ganado, perdido y redescubierto. Las ideas que en una época parecían meras curiosidades abstractas resultaron ser, siglos después, precisamente las herramientas necesarias para describir el universo físico. La invención de la geometría no euclidiana en el siglo diecinueve fue descartada por muchos como un ejercicio puramente teórico, sin embargo se convirtió en el lenguaje matemático de la relatividad general de Einstein. La teoría de números sobre la que meditaban los matemáticos de la antigua Grecia encontró una aplicación inesperada en la criptografía moderna y en la comunicación segura por internet.

Este artículo recorre el alcance completo de la historia matemática, desde los orígenes prehistóricos del conteo hasta los formidables logros de las civilizaciones antiguas de Mesopotamia, Egipto, Grecia, India, el mundo islámico y China, pasando por la gran revolución del cálculo y la extraordinaria proliferación de disciplinas matemáticas en los siglos diecinueve y veinte, hasta los profundos desafíos y problemas abiertos que aún enfrentan los matemáticos hoy en día. A lo largo del camino, perfila las mentes matemáticas más grandes de la historia, examina cómo las matemáticas han moldeado la vida cotidiana y considera los misterios sin resolver que siguen convocando desde la frontera del conocimiento humano.

Las matemáticas son descritas a veces como la reina de las ciencias, frase atribuida a Carl Friedrich Gauss, uno de los más grandes genios matemáticos del siglo diecinueve. Con igual razón podría llamarse la servidora de todas las ciencias, ya que ninguna rama de la indagación natural ha podido avanzar mucho sin tomar prestado del conjunto de herramientas del matemático. Entender cómo ese conjunto de herramientas fue ensamblado, refinado y ampliado a lo largo de los milenios es entender un hilo central en el tejido de la civilización humana.

Las Matemáticas Prehistóricas y el Conteo

Mucho antes de la invención de la escritura, antes de que las primeras ciudades se alzaran junto a los ríos de Mesopotamia y Egipto, los seres humanos ya practicaban las matemáticas. La evidencia es fragmentaria pero inconfundible: huesos y piedras tallados con marcas de conteo, disposiciones de objetos que sugieren un conteo deliberado, y patrones geométricos pintados en paredes de cuevas indican que el pensamiento matemático no es un logro reciente o especializado, sino una característica fundamental de la mente humana.

El artefacto matemático conocido más antiguo es el hueso de Lebombo, un peroné de babuino descubierto en las montañas de Lebombo, en la frontera entre Suazilandia y Sudáfrica. El hueso, que data de aproximadamente 43.000 años atrás, tiene veintinueve muescas distintas dispuestas en lo que parece ser un conteo deliberado. Algunos investigadores han especulado que las marcas corresponden a un calendario lunar, mientras que otros ven simplemente un dispositivo de conteo utilizado para registrar animales cazados u otras cantidades. Sea cual fuere su propósito original, el hueso de Lebombo demuestra que los seres humanos realizaban enumeraciones sistemáticas decenas de miles de años atrás.

Igualmente notable es el hueso de Ishango, encontrado cerca del río Semliki en la región que hoy es la República Democrática del Congo. Con una antigüedad de aproximadamente 20.000 años, esta herramienta hecha de un peroné de babuino tiene tres columnas de muescas que han fascinado por igual a matemáticos y antropólogos. Una columna parece mostrar secuencias de duplicación. Otra columna contiene muescas que parecen corresponder a números primos entre diez y veinte. Independientemente de si el creador del hueso de Ishango comprendía los números primos en algún sentido abstracto, la organización de los patrones en las marcas sugiere un nivel de conciencia matemática que va mucho más allá del simple conteo con marcas.

La universalidad del conteo básico es en sí misma un hecho matemático profundo. Todas las culturas humanas conocidas, por aisladas que estén, poseen sistemas numéricos adecuados para el conteo de objetos en su entorno. La mayoría de las lenguas tienen palabras para los números del uno al diez como mínimo, y muchos lingüistas creen que el uso generalizado de sistemas numéricos de base diez refleja el hecho biológico de que los seres humanos tienen diez dedos. Históricamente también se han utilizado otras bases. Los sumerios de la antigua Mesopotamia desarrollaron un sistema de base sesenta cuyo legado persiste hoy en día en nuestra división de la hora en sesenta minutos y del círculo en trescientos sesenta grados. Los mayas de América Central llegaron de manera independiente a un sistema de base veinte, que refleja quizás el conteo tanto de los dedos de las manos como de los pies.

Antes de que surgieran los sistemas de numeración formales, los pueblos prehistóricos probablemente utilizaban la correspondencia uno a uno como su principal herramienta matemática. Un pastor que llevaba la cuenta de sus ovejas podría colocar una piedra en una bolsa por cada animal llevado a pastar y retirar una piedra por cada animal que regresaba al final del día. Este proceso de emparejar objetos en dos conjuntos sin necesariamente asignarles números representa la forma más primitiva de razonamiento cuantitativo, y codifica el concepto matemático de cardinalidad, la medida del tamaño de un conjunto, en un procedimiento puramente físico.

El pensamiento geométrico también parece tener raíces prehistóricas muy profundas. Las pinturas rupestres de Lascaux en Francia y Altamira en España, que datan de hace quince mil a veinte mil años, muestran una comprensión sofisticada de la proporción y la disposición espacial. La construcción de monumentos megalíticos como Stonehenge en Inglaterra, que comenzó alrededor del año 3000 a.C., requirió la capacidad de medir distancias, trazar círculos y alinear estructuras con precisión astronómica. Los constructores de estos monumentos carecían de matemáticas escritas en ningún sentido formal, pero claramente poseían un sólido conocimiento práctico de la geometría que había sido acumulado y transmitido a lo largo de muchas generaciones.

La transición del conocimiento matemático puramente intuitivo y práctico a algo reconocible como matemáticas sistemáticas ocurrió en paralelo con el surgimiento de civilizaciones agrícolas sedentarias. Cuando las personas comenzaron a cultivar, a almacenar excedentes de grano, a dividir la tierra entre herederos, a pagar impuestos a una autoridad central y a comerciar mercancías a largas distancias, las exigencias sobre sus capacidades matemáticas aumentaron enormemente. El conteo ya no era suficiente. Las personas necesitaban medir áreas, calcular volúmenes, rastrear ciclos astronómicos para los calendarios de siembra y registrar transacciones de maneras que pudieran verificarse posteriormente. Estas necesidades prácticas impulsaron el desarrollo de los primeros sistemas matemáticos formales, que surgieron casi simultáneamente en Mesopotamia y Egipto hace aproximadamente cinco mil años.

La historia de las matemáticas en su sentido pleno comienza, por tanto, con las grandes civilizaciones de los valles fluviales, pero descansa sobre una fundación mucho más antigua de práctica matemática prehistórica que se remonta a los orígenes mismos de la cognición humana. Cada niño que aprende a contar está recapitulando un logro intelectual de enorme antigüedad, uno que distingue a la especie humana y que ha hecho posible todo, desde las pirámides hasta el teléfono inteligente.

Las Matemáticas de la Antigua Mesopotamia

La civilización que creció entre los ríos Tigris y Éufrates en lo que hoy es Iraq produjo los primeros registros matemáticos escritos de gran extensión. Los antiguos mesopotámicos, en particular los sumerios y posteriormente los babilonios, desarrollaron una tradición matemática de notable sofisticación que floreció durante más de dos mil años y cuya influencia aún puede sentirse en la forma en que medimos el tiempo y los ángulos hoy en día.

Las matemáticas mesopotámicas fueron registradas en tablillas de arcilla impresas con un estilete en forma de cuña, una escritura conocida como cuneiforme. Miles de estas tablillas han sido excavadas en yacimientos de todo Iraq, y aquellas con contenido matemático van desde simples tablas de multiplicación y listas de recíprocos hasta sofisticados problemas que involucran ecuaciones cuadráticas y cálculos geométricos. Las tablillas fueron producidas en escuelas de escribas donde se formaba a jóvenes en las artes administrativas e intelectuales necesarias para servir al Estado mesopotámico y a la economía del templo. Las matemáticas eran fundamentalmente una disciplina práctica en este contexto: los escribas necesitaban calcular raciones de grano, planificar canales de irrigación, distribuir áreas de campo y compilar registros fiscales.

La característica más distintiva de las matemáticas mesopotámicas es su uso de un sistema de numeración posicional de base sesenta, o sexagesimal. En un sistema posicional, el valor de un dígito depende no solo de qué numeral es, sino de dónde aparece en el número. Los babilonios tenían solo dos signos cuneiformes distintos para los numerales: uno que representaba el valor uno y uno que representaba el valor diez. Los números entre uno y cincuenta y nueve se expresaban combinando estos signos de diversas maneras. Para valores de sesenta en adelante, los escribas usaban una convención posicional en la que los mismos signos cambiaban de posición para indicar multiplicación por potencias sucesivas de sesenta. Esta es la misma lógica posicional que subyace al sistema decimal que usamos hoy, pero operando en base sesenta en lugar de base diez.

Sorprendentemente, los babilonios parecen haber funcionado durante mucho tiempo sin un signo para el cero como marcador de posición, lo que ocasionalmente hacía su notación ambigua. Una versión posterior del sistema cuneiforme sí introdujo un símbolo de marcador de posición, aunque funcionaba de manera diferente al cero de las matemáticas modernas y no se trataba como un número en sí mismo. El pleno desarrollo del cero como número debió esperar a los matemáticos de India muchos siglos después.

El contenido matemático de las tablillas babilónicas es impresionante por cualquier medida. Los escribas compilaron extensas tablas de cuadrados, raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas, así como tablas de recíprocos necesarios para llevar a cabo la división mediante la multiplicación. Calcularon el área de rectángulos, triángulos y trapecios. Trabajaron con la relación entre los lados de un triángulo rectángulo que hoy se conoce como el teorema de Pitágoras, siglos antes de que Pitágoras naciera en la antigua Grecia. Una famosa tablilla, conocida como Plimpton 322 y que data de alrededor del año 1800 a.C., contiene una tabla de ternas pitagóricas, conjuntos de tres enteros que satisfacen la ecuación que rige los triángulos rectángulos, lo que sugiere que los matemáticos babilonios no solo conocían esta relación, sino que habían desarrollado métodos sistemáticos para generar tales ternas.

Los babilonios también eran capaces de resolver lo que hoy llamaríamos problemas algebraicos. Su enfoque no era simbólico en el sentido moderno: expresaban todo con palabras y números específicos en lugar de letras y variables abstractas. Pero la estructura lógica de sus soluciones corresponde estrechamente al razonamiento algebraico moderno. Podían resolver ecuaciones cuadráticas usando un procedimiento equivalente a completar el cuadrado. Manejaban problemas que involucran dos incógnitas, resolviendo esencialmente ecuaciones simultáneas. Algunas tablillas contienen ecuaciones cúbicas y problemas que equivalen a la teoría elemental de números.

Uno de los logros más célebres de las matemáticas babilónicas es su aproximación de la raíz cuadrada de dos. Una pequeña tablilla de arcilla de alrededor del año 1700 a.C. muestra un cuadrado con sus diagonales trazadas, y en la diagonal está inscrito un valor numérico que corresponde a la raíz cuadrada de dos con una precisión de cinco decimales. Esta aproximación, 1,41421..., es notablemente precisa para una civilización sin herramientas computacionales modernas, y atestigua el profundo compromiso de los babilonios con lo que hoy reconocemos como números irracionales, aunque no los habrían conceptualizado como tales.

La astronomía y las matemáticas babilónicas estaban profundamente entrelazadas. La predicción de los ciclos lunares y solares, la compilación de tablas astronómicas que registraban la salida y puesta de los planetas, y el desarrollo de un calendario requerían una modelización matemática sofisticada. Los astrónomos babilonios produjeron finalmente procedimientos aritméticos para predecir posiciones planetarias con considerable precisión, un trabajo que influyó en la astronomía griega y posteriormente islámica, y que representa uno de los primeros ejemplos de la aplicación de herramientas matemáticas a la descripción sistemática de los fenómenos naturales.

El legado de las matemáticas mesopotámicas en la historia mundial es inmenso. El sistema de base sesenta que inventaron los antiguos mesopotámicos ha demostrado ser extraordinariamente duradero. Hoy, miles de años después de que se presionara la última tablilla cuneiforme, seguimos dividiendo la hora en sesenta minutos, el minuto en sesenta segundos y el círculo completo en trescientos sesenta grados, siendo cada una de estas convenciones una herencia directa de los matemáticos del antiguo Iraq.

Las Matemáticas del Antiguo Egipto

A lo largo del río Nilo, la civilización del antiguo Egipto desarrolló su propia tradición matemática que, aunque menos sofisticada algebraicamente que la de Mesopotamia, poseía su propia elegancia y logró resultados prácticos notables. Las matemáticas egipcias se conservan principalmente en dos papiros que han sobrevivido, el Papiro Matemático de Rhind y el Papiro Matemático de Moscú, junto con un número menor de otros documentos. Estas fuentes nos ofrecen una imagen clara de cómo los escribas egipcios abordaban los problemas matemáticos y qué nivel de conocimiento matemático se esperaba de un profesional educado en la sociedad del antiguo Egipto.

El Papiro Matemático de Rhind, que data de alrededor del año 1550 a.C. pero que aparentemente fue copiado de una fuente más antigua de alrededor del año 1650 a.C., es una de las mejores fuentes para comprender las matemáticas del antiguo Egipto. Nombrado en honor al anticuario escocés Alexander Henry Rhind, quien lo compró en 1858, el papiro contiene ochenta y cuatro problemas matemáticos con soluciones, que cubren temas como aritmética, geometría y lo que hoy podríamos llamar ecuaciones lineales. Sus líneas iniciales lo describen como una guía para el conocimiento de todas las cosas existentes y todos los secretos oscuros, una forma típicamente egipcia de enmarcar las matemáticas como una forma de sabiduría práctica esotérica.

La aritmética egipcia se basaba en un sistema decimal, como el nuestro, pero no utilizaba la notación posicional. En cambio, los egipcios usaban símbolos jeroglíficos separados para cada potencia de diez: uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. Para escribir un número, los escribas simplemente combinaban estos símbolos, repitiendo cada uno tantas veces como fuera necesario. La suma en este sistema es bastante natural: simplemente se combinan los símbolos de dos números y se simplifica intercambiando diez símbolos de una denominación por un símbolo de la denominación inmediatamente superior cuando sea necesario.

La multiplicación y la división en las matemáticas egipcias se llevaban a cabo mediante un proceso de duplicación y reducción a la mitad repetidas, que a veces se denomina el método de duplicación sucesiva o el algoritmo del campesino ruso. Para multiplicar dos números, el escriba escribía una serie de duplicaciones de uno de los números y luego seleccionaba de esta lista las entradas que suman el otro número, añadiendo las duplicaciones correspondientes del primer número para obtener el producto. Este método funciona para dos números enteros cualesquiera y requiere únicamente la capacidad de duplicar números y sumar, habilidades al alcance de cualquier escriba entrenado.

Las fracciones egipcias se expresaban como sumas de fracciones unitarias, es decir, fracciones con numerador uno. Los egipcios tenían un signo especial para la fracción dos tercios, pero todas las demás fracciones se descomponían en sumas de fracciones unitarias distintas. Por ejemplo, lo que nosotros escribiríamos como tres cuartos se expresaría como un medio más un cuarto. El Papiro de Rhind comienza con una tabla que da descomposiciones de fracciones de la forma dos dividido por un número impar, del tres al ciento uno, en sumas de fracciones unitarias. Generar estas descomposiciones requiere considerable ingenio, y las descomposiciones particulares elegidas en la tabla a menudo minimizan el número de términos o mantienen pequeños los denominadores, lo que sugiere que los matemáticos egipcios tenían preferencias estéticas sobre cómo debían expresarse las fracciones.

La geometría egipcia estaba motivada en gran medida por preocupaciones prácticas, la más famosa de las cuales era la necesidad de restablecer los límites de los campos después de que las inundaciones anuales del Nilo borraran las marcas. La propia palabra geometría proviene de las palabras griegas para tierra y medición, lo que refleja esta antigua conexión entre la disciplina y la agrimensura práctica. Los escribas egipcios podían calcular con precisión las áreas de triángulos, rectángulos y trapecios. Aproximaban el área de un círculo usando una fórmula equivalente a calcular el área de un cuadrado cuyo lado es ocho novenas del diámetro del círculo, lo que da un valor implícito de pi de aproximadamente 3,1605, una muy buena aproximación para propósitos prácticos.

Quizás el ejemplo más asombroso de geometría práctica egipcia se encuentra en el Papiro Matemático de Moscú, que contiene una fórmula para el volumen de una pirámide truncada, o tronco de pirámide. El problema catorce de ese papiro da una fórmula correcta para el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, expresada en términos de su altura y las longitudes de los lados de sus dos caras cuadradas. Este es un resultado no trivial que requiere una considerable perspicacia matemática, y el hecho de que aparezca en lo que es esencialmente un manual de formación para escribas indica que era parte del conocimiento matemático operativo de los profesionales egipcios. La manera en que los egipcios derivaron esta fórmula sigue siendo incierta, ya que nunca registran su proceso de razonamiento, solo los pasos procedimentales y la respuesta.

Las matemáticas egipcias eran de carácter principalmente práctico y procedimental. Los escribas egipcios resolvían problemas siguiendo algoritmos establecidos, y los papiros matemáticos presentan problemas y soluciones, pero raramente explican por qué funcionan los métodos. Esta ausencia de demostración formal distingue la tradición matemática egipcia de la posterior tradición griega, que hizo de la demostración rigurosa de las verdades matemáticas su preocupación central. Sin embargo, los logros prácticos de las matemáticas egipcias fueron extraordinarios, y la construcción de las pirámides y otras estructuras monumentales atestigua un nivel de conocimiento geométrico aplicado que ha impresionado a los observadores durante milenios.

Las Matemáticas de la Antigua Grecia y Euclides

La transformación de las matemáticas de una colección de técnicas computacionales prácticas en una ciencia deductiva rigurosa fue una de las revoluciones intelectuales más profundas de la historia humana, y fue lograda principalmente por los antiguos griegos durante un período de aproximadamente cuatro siglos, desde alrededor del año 600 a.C. hasta alrededor del año 300 a.C. Los matemáticos griegos fueron los primeros en insistir en que las afirmaciones matemáticas no solo deben ser procedimentalmente eficaces, sino lógicamente demostradas, probadas como necesariamente verdaderas a partir de primeros principios mediante una cadena de razonamiento válido. Esta exigencia de demostración, que es ahora la característica definitoria de las matemáticas como disciplina, fue la contribución más duradera de los griegos al pensamiento humano.

Los primeros matemáticos griegos que conocemos por nombre estaban estrechamente vinculados a las tradiciones prácticas y filosóficas del antiguo Cercano Oriente. Se atribuye a Tales de Mileto, que floreció alrededor del año 600 a.C., haber introducido la geometría desde Egipto a Grecia y haber demostrado varios teoremas geométricos básicos, incluida la proposición de que un círculo es bisecado por cualquiera de sus diámetros y que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Los historiadores debaten si Tales ofreció realmente demostraciones formales de estos resultados o simplemente los enunció como hechos observados, pero se le recuerda como el originador de la tradición griega de buscar justificación lógica para las afirmaciones matemáticas.

Los pitagóricos, seguidores de Pitágoras de Samos, que floreció a finales del siglo VI a.C., situaron las matemáticas en el centro de su cosmovisión filosófica. Creían que los números eran la realidad fundamental subyacente a toda la naturaleza y que el estudio de la aritmética, la geometría, la música y la astronomía era el camino hacia la sabiduría e incluso hacia la purificación del alma. Su logro matemático más famoso, el teorema que lleva el nombre de Pitágoras y que relaciona los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo, era casi con certeza conocido por los matemáticos babilonios y posiblemente por los indios antes que ellos, pero los pitagóricos parecen haber sido los primeros en demostrarlo rigurosamente.

El descubrimiento que perturbó profundamente a los pitagóricos fue la existencia de magnitudes inconmensurables, lo que hoy llamamos números irracionales. La diagonal de un cuadrado de lado uno tiene una longitud igual a la raíz cuadrada de dos, y los pitagóricos demostraron que esta cantidad no puede expresarse como una razón de dos números enteros. Este resultado, que destruyó la creencia pitagórica de que todas las cantidades en la naturaleza estaban relacionadas racionalmente, fue considerado, según la tradición antigua, tan perturbador que se mantuvo en secreto, y el miembro de la hermandad pitagórica que lo reveló a los extraños fue arrojado al mar.

Los siglos V y IV a.C. vieron un extraordinario florecimiento del pensamiento matemático griego. Eudoxo de Cnido, que floreció alrededor del año 370 a.C., desarrolló el método de agotamiento, una técnica para calcular las áreas y volúmenes de figuras curvas aproximándolas con secuencias de figuras rectilíneas de área conocida. Este método es un precursor del cálculo integral desarrollado por Newton y Leibniz dos mil años después, y Eudoxo lo utilizó para demostrar, entre otros resultados, que los volúmenes de las esferas están en razón de los cubos de sus diámetros. Eudoxo también desarrolló una teoría rigurosa de la proporción que podía manejar magnitudes irracionales, proporcionando así una base lógica para gran parte de la geometría griega.

La obra culminante de las matemáticas de la antigua Grecia fue los Elementos de Euclides, compuesta alrededor del año 300 a.C. en Alejandría en Egipto, que entonces formaba parte del mundo helenístico que Alejandro Magno había creado. Los Elementos es uno de los libros más influyentes en la historia del pensamiento. Consiste en trece libros que cubren geometría plana, teoría de números, geometría tridimensional y teoría de las proporciones, todos organizados como un sistema deductivo que parte de un pequeño número de definiciones, postulados y nociones comunes, y avanza a través de cientos de proposiciones, cada una derivada rigurosamente de lo anterior.

El logro de Euclides en los Elementos no fue principalmente el descubrimiento de nuevos resultados matemáticos, la mayoría de los cuales eran conocidos antes que él, sino la organización y codificación lógica del conocimiento matemático existente en un sistema deductivo coherente. Al identificar un conjunto mínimo de supuestos, los cinco postulados, de los cuales podía derivarse todo el resto de la geometría, Euclides demostró que las matemáticas podían hacerse completamente rigurosas y autosuficientes. Su método se convirtió en el modelo de toda la exposición matemática posterior y en el ideal de rigor lógico en cualquier campo de indagación.

Cuatro de los cinco postulados de Euclides son enunciados simples e incontrovertibles sobre puntos, líneas y círculos. El quinto postulado, conocido como el postulado de las paralelas, es mucho más complejo: afirma, en efecto, que por un punto no situado en una línea dada, existe exactamente una línea paralela a la línea dada. El estatus lógico de este postulado preocupó a los matemáticos durante más de dos mil años, ya que muchos consideraban que era demasiado complejo para servir como axioma y debía poder derivarse como teorema a partir de los otros cuatro. La resolución final de esta cuestión, a través del desarrollo de las geometrías no euclidianas en el siglo diecinueve, fue uno de los eventos más trascendentales en la historia de las matemáticas.

Los Elementos también contiene resultados importantes en teoría de números, incluida una demostración de que hay infinitos números primos, un algoritmo para encontrar el máximo común divisor de dos números (conocido aún como el algoritmo de Euclides), y una demostración de que todo entero positivo mayor que uno puede expresarse como producto de números primos de esencialmente una sola manera (el teorema fundamental de la aritmética, aunque Euclides no lo enunció en esta forma). Estos resultados en el estudio de los números primos por los matemáticos de la antigua Grecia sentaron las bases para todo el desarrollo posterior de la teoría de números.

Pitágoras y la Escuela Pitagórica

Pitágoras de Samos nació alrededor del año 570 a.C. en la isla egea de Samos y murió alrededor del año 495 a.C. en Metaponto, en el sur de Italia. Fue un filósofo, maestro religioso y matemático cuya influencia en el pensamiento occidental ha sido incalculable, aunque la dificultad de separar sus contribuciones personales de las de sus seguidores hace que su biografía sea una de las más controvertidas en la historia de las ideas. Pitágoras no dejó obras escritas, y todo lo que sabemos sobre él proviene de fuentes posteriores, algunas escritas muchos siglos después de su muerte y de dudosa confiabilidad.

Después de viajar por Egipto, Babilonia y posiblemente otras partes del mundo antiguo, Pitágoras se estableció en Crotona, en lo que hoy es el sur de Italia, y fundó una hermandad o escuela filosófica que combinaba el estudio matemático con la práctica religiosa y las normas éticas. Los miembros de esta comunidad seguían estrictos códigos dietéticos y de comportamiento, tenían la propiedad en común y estaban vinculados por votos de secreto respecto a las enseñanzas internas de la escuela. La comunidad ejerció una considerable influencia política en Crotona hasta que una reacción violenta contra su poder llevó a su dispersión en algún momento del siglo V a.C.

Los pitagóricos fueron los prim