Arquímedes

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Introducción: la mente más grande de la antigüedad

Arquímedes de Siracusa ocupa la cima misma del logro intelectual antiguo. Matemático, físico, ingeniero, astrónomo e inventor, comprimió en una sola vida un volumen de descubrimientos originales que no sería igualado durante casi dos mil años. Calculó el valor de pi con una precisión que permaneció insuperada en el mundo occidental durante siglos. Determinó el área superficial y el volumen de una esfera mediante un método que prefiguró el cálculo integral. Formuló el primer enunciado riguroso del principio de la palanca, demostró por qué los cuerpos flotantes se comportan como lo hacen, y utilizó ese conocimiento para exponer un fraude ante un rey. Diseñó máquinas de guerra de una ingeniosidad tan aterradora que mantuvieron a todo el ejército romano a raya durante tres años. Escribió cartas a los mejores matemáticos del mundo antiguo, compartiendo no solo sus conclusiones sino las intuiciones mecánicas que lo condujeron a ellas, creando en el proceso un documento que se perdería durante un milenio, sería redescubierto en un pergamino raspado por un monje medieval, y finalmente sería reconocido como lo más cercano que produjo la antigüedad a un tratado sobre los fundamentos del cálculo.

Comprender a Arquímedes es comprender algo profundo sobre la naturaleza del genio. No fue el producto de una larga tradición institucional que trabajara cuidadosamente dentro de un marco establecido. Fue un hombre que repetidamente superó todas las tradiciones que heredó, que alcanzó resultados que sus contemporáneos podían verificar pero no replicar, y que dejó obras tan adelantadas a su tiempo que los matemáticos del Renacimiento tuvieron dificultades para asimilarlas dieciséis siglos después de su muerte. El filósofo Alfred North Whitehead observó que la historia de las matemáticas occidentales podría haber sido muy diferente si Arquímedes hubiera tenido como sucesor aunque fuera un solo matemático de poder comparable. Que no lo tuviera, y que sus métodos permanecieran en gran medida inactivos hasta que Newton y Leibniz redescubrieran de forma independiente las ideas del cálculo en el siglo XVII, es una de las grandes tragedias de la historia intelectual.

Esta biografía traza el arco completo de la vida y la obra de Arquímedes: el mundo político y cultural de Siracusa en el que nació y murió; su formación temprana y sus años de estudio en Alejandría, la capital intelectual del mundo helenístico; su relación con el rey Hierón II, el ilustrado monarca que le brindó los recursos y los encargos que dieron forma a gran parte de su obra práctica; su extraordinaria serie de tratados matemáticos, cada uno de ellos una obra maestra completa y autónoma; sus invenciones prácticas, desde el celebrado tornillo hidráulico hasta las terribles máquinas de guerra que prolongaron la independencia de Siracusa; su formulación del principio físico que lleva su nombre; las circunstancias de su violenta muerte cuando los romanos finalmente traspasaron las murallas de Siracusa; y la larga y complicada historia mediante la cual sus escritos fueron preservados, perdidos, parcialmente recuperados y finalmente restituidos al mundo a través del descubrimiento de manuscritos más dramático del siglo XX.

Arquímedes vivió en la intersección de dos mundos: el sereno e intemporal mundo de la contemplación matemática pura, y el mundo violento y contingente de la geopolítica mediterránea en el siglo III antes de la era común. Sirvió a ambos con igual distinción, y la tensión entre ellos definió en última instancia tanto su vida como su muerte. Leer sus obras hoy es encontrarse con una mente de claridad casi preternatural, que avanza a través de problemas de extraordinaria dificultad con una confianza y una economía que aún hoy, después de más de dos mil años, pueden producir la sensación que los griegos antiguos llamaban thaumazein, el asombro que es el comienzo de toda filosofía.

El mundo de la antigua Siracusa

La ciudad de Siracusa, en la costa sureste de la isla de Sicilia, fue uno de los centros urbanos más magníficos del mundo mediterráneo antiguo. Fundada como colonia corintia alrededor del 734 a. e. c. en una península llamada Ortigia, se expandió rápidamente durante los siglos siguientes hasta convertirse en una ciudad extensa de quizás doscientos mil habitantes en su apogeo, rivalizando con Atenas y Cartago en riqueza, población y prestigio cultural. Su doble puerto, uno abierto al este y otro al oeste, la convirtió en un centro natural del comercio en todo el Mediterráneo central, y su fértil interior en Sicilia le proporcionaba abundante grano. El geógrafo griego Estrabón la describiría posteriormente como la mayor ciudad griega de todas, y la mayor ciudad de su época.

El mundo en el que nació Arquímedes era el mundo helenístico creado por las conquistas de Alejandro Magno, quien había muerto en el 323 a. e. c., una generación antes del nacimiento de Arquímedes. Las breves pero transformadoras campañas de Alejandro habían extendido la lengua, la cultura y las instituciones políticas griegas desde el Adriático hasta las fronteras de la India. Los reinos sucesores que se repartieron su imperio, el reino ptolemaico de Egipto, el imperio seléucida de Siria y Mesopotamia, el reino antigónida de Macedonia y Grecia, y los reinos más pequeños que proliferaron en sus márgenes, todos mantenían un barniz de civilización griega sobre poblaciones conquistadas de enorme diversidad. El griego se convirtió en la lengua del comercio, la diplomacia y la vida intelectual en toda esta vasta región, y la ciudad de Alejandría en Egipto, fundada por el propio Alejandro y desarrollada por sus sucesores los Ptolomeos, emergió como la capital intelectual indiscutible del mundo helenístico.

Siracusa existía algo al margen de los reinos helenísticos orientales. Situada en el Mediterráneo occidental, tenía su propia larga historia de conflicto político interno, alternando entre democracia y tiranía, y su propia tradición de mecenazgo cultural. A mediados del siglo III a. e. c., la ciudad estaba gobernada por Hierón II, quien llegó al poder alrededor del 270 a. e. c. tras una distinguida carrera militar y gobernaría con notable estabilidad y habilidad hasta su muerte en el 215 a. e. c., un reinado de aproximadamente cincuenta y cinco años que proporcionó a Siracusa un período de inusual paz y prosperidad. Hierón mantuvo una cuidadosa política de neutralidad entre las grandes potencias del Mediterráneo, aliándose finalmente con Roma tras la Primera Guerra Púnica mientras mantenía lazos culturales y comerciales con el oriente helenístico. Fue esta política de estabilidad y compromiso cultural la que permitió a Arquímedes prosperar.

El ambiente intelectual de Siracusa en la época de Hierón no carecía de vitalidad propia. La ciudad tenía una tradición de mecenazgo literario y artístico que se remontaba al siglo V, cuando el tirano Gelón había atraído a poetas y filósofos a su corte. Los griegos de Sicilia habían producido intelectuales notables, entre ellos el filósofo Empédocles de Akragas y el retórico Córax de Siracusa. Pero en la época de Arquímedes, el centro intelectual dominante no era Siracusa sino Alejandría, y la institución más importante del mundo antiguo para la investigación matemática y científica era el Museion, o Museo, de Alejandría, con su gran biblioteca que contenía cientos de miles de rollos de papiro. La carrera de Arquímedes no puede entenderse sin comprender su profunda conexión con este mundo intelectual alejandrino, mantenida no mediante la residencia sino a través de una activa correspondencia con los matemáticos que trabajaban allí.

El siglo III a. e. c. fue, en retrospectiva, una edad de oro de la ciencia y las matemáticas griegas antiguas. Euclides había compilado y sistematizado la geometría griega en sus Elementos probablemente alrededor del 300 a. e. c. Aristarco de Samos había propuesto un modelo heliocéntrico del sistema solar. Eratóstenes de Cirene, quien se convertiría en el bibliotecario jefe de Alejandría y corresponsal personal de Arquímedes, calculó la circunferencia de la Tierra con notable precisión. Apolonio de Perga desarrolló la teoría de las secciones cónicas hasta un nivel de sofisticación que no fue superado hasta Descartes en el siglo XVII. Arquímedes conocía y mantenía correspondencia con Eratóstenes y Conón de Samos, y estaba íntimamente familiarizado con la obra de Euclides y Apolonio. Trabajó dentro de esta tradición y simultáneamente la trascendió, alcanzando conclusiones sobre áreas, volúmenes y el comportamiento de los cuerpos físicos que requerían métodos cualitativamente diferentes de todo lo que sus predecesores habían intentado.

Nacimiento, familia y orígenes

Arquímedes nació en Siracusa alrededor del 287 a. e. c., aunque la precisión de esta fecha debe ser matizada. El año 287 es una reconstrucción académica, calculada hacia atrás a partir del relato, conservado en la tradición histórica bizantina, de que Arquímedes tenía setenta y cinco años al morir en el 212 a. e. c. No sobrevive ningún registro de nacimiento contemporáneo, y el mundo antiguo no mantenía generalmente el tipo de registro civil que permitiría establecer tales fechas con confianza. La cifra de setenta y cinco años al morir parece derivar en última instancia del erudito Tzetzes, que escribió muchos siglos después del hecho, y los historiadores la han aceptado como plausible sin poder confirmarla de forma independiente.

Lo que el propio Arquímedes nos dice sobre sus orígenes es sugerente pero limitado. En la introducción a su obra conocida como El arenario, menciona a su padre, Fidias, como astrónomo. Este es uno de los muy pocos detalles personales que Arquímedes proporciona sobre sí mismo en sus escritos supervivientes, que son casi exclusivamente técnicos. La mención es casual, hecha en el contexto de discutir estimaciones astronómicas anteriores sobre el tamaño del sol, pero es significativa: nos dice que Arquímedes creció en un hogar donde la observación astronómica y el pensamiento matemático eran realidades domésticas, no pursuits académicos lejanos. Un niño que crecía con un astrónomo en ejercicio como padre absorbería desde temprana edad los hábitos del razonamiento cuantitativo, la apreciación por la medición precisa y la comprensión de que el mundo natural podía describirse en términos matemáticos.

El nombre Fidias no aparece en ninguna otra fuente histórica, y nada más se sabe sobre él. El propio nombre Arquímedes es auténticamente griego y relativamente común, derivado de las raíces archos, que significa líder o gobernante, y medea, que significa pensamiento o consejo, de modo que el nombre puede entenderse como algo así como maestro del pensamiento o gran consejero. Los escritores antiguos coinciden unánimemente en describir a Arquímedes como siracusano de nacimiento, y no existe ninguna duda académica seria al respecto. Si su familia era de larga residencia siracusana o tenía raíces inmigrantes, se desconoce.

La tradición antigua, preservada de manera más notable en los escritos de Plutarco, relata que Arquímedes era pariente del rey Hierón II de Siracusa. Plutarco, escribiendo en el primer siglo de la era común, lo afirma como un hecho establecido. El grado y la naturaleza del parentesco no se especifican y no pueden confirmarse a partir de ninguna fuente anterior. Los historiadores han sido generalmente cautelosos ante esta afirmación, ya que la tradición biográfica posterior en la antigüedad frecuentemente adornaba las vidas de los hombres famosos con conexiones aristocráticas. Sin embargo, la cercanía de la relación de Arquímedes con Hierón a lo largo de su vida, el acceso que disfrutó al mecenazgo y los recursos reales, y los encargos que recibió de la corte sugieren como mínimo una relación de particular confianza personal y profesional que sería coherente con, aunque no prueba de, una conexión familiar.

Lo que es cierto es que Arquímedes creció en un ambiente próspero e intelectualmente comprometido. La Siracusa de su infancia era una ciudad en proceso de consolidación después de un período de inestabilidad política, y la llegada del largo y estable reinado de Hierón habría creado condiciones favorables para la vida intelectual durante los años en que Arquímedes se estaba formando como joven estudioso. La ciudad era lo suficientemente grande como para proporcionar exposición a ideas diversas, pero lo suficientemente compacta como para que las figuras intelectuales se conocieran entre sí. La influencia del trabajo astronómico de su padre, la disponibilidad de educación matemática en una ciudad conectada al mundo helenístico, y cualquier don intelectual natural que Arquímedes poseyera se combinaron para dirigirlo hacia las búsquedas matemáticas que ocuparían el resto de su vida.

Educación en Alejandría

En algún momento de su juventud o primera madurez, Arquímedes viajó a Alejandría para estudiar. El momento preciso de este viaje es desconocido, pero casi con certeza lo emprendió a finales de su adolescencia o a principios de sus veintes, como era convencional para los jóvenes griegos de ambición intelectual en el período helenístico. Alejandría era el lugar al que iba cualquiera que se tomara en serio las matemáticas o la filosofía natural para educarse, acceder a la biblioteca, encontrar el trabajo matemático más sofisticado de la época y formar las amistades intelectuales y correspondencias que sostendrían una carrera académica.

La institución intelectual alejandrina conocida como el Museion, traducible aproximadamente como la Casa de las Musas, fue una creación notable. Establecida por Ptolomeo I alrededor del 300 a. e. c. y desarrollada generosamente por sus sucesores, combinaba funciones que hoy estarían distribuidas entre una universidad, un instituto de investigación, una biblioteca y un grupo de reflexión gubernamental. Los eruditos residentes en el Museion recibían un estipendio del tesoro real, estaban exentos de impuestos, contaban con alojamiento y comidas, y tenían acceso a la gran biblioteca con su vasta colección de textos. A cambio, se esperaba que persiguieran su trabajo académico y contribuyeran al prestigio intelectual de la corte ptolemaica. Era, para su época y en muchos aspectos para cualquier época, un arreglo institucional extraordinario para el apoyo a la investigación intelectual pura.

La tradición matemática que Arquímedes encontró en Alejandría estaba dominada por el legado de Euclides, cuyos Elementos, una compilación sistemática y demostración rigurosa de los principales resultados de la geometría y la teoría de números griega, habían sido compuestos en Alejandría una generación antes. El enfoque de Euclides, la cuidadosa derivación axiomática de teoremas a partir de primeros principios usando lógica puramente deductiva, estableció el estándar del razonamiento matemático en el mundo antiguo y siguió siendo el modelo de la educación matemática hasta el siglo XIX. Arquímedes absorbió esta tradición por completo, y sus obras supervivientes muestran un dominio del método euclidiano tan profundo que fue capaz de extenderlo a territorios que Euclides ni siquiera había aproximado.

En Alejandría, Arquímedes casi con certeza estudió bajo la guía de, o junto a, el matemático Conón de Samos, uno de los matemáticos más destacados de la época. Conón era conocido por su trabajo en astronomía y geometría, y las cartas supervivientes de Arquímedes revelan una relación de profundo respeto mutuo y amistad. En varios de sus tratados, Arquímedes explica que está enviando sus resultados a Conón, confiando en que la aguda inteligencia de Conón los apreciará y verificará. La calidez e intimidad de estas referencias sugieren una amistad forjada en la intensa comunidad intelectual de los días de estudiante en Alejandría. Conón murió antes de que Arquímedes pudiera comunicarle varios de sus resultados más importantes, y en cartas posteriores Arquímedes expresa su tristeza por esta pérdida, afirmando que habría deseado que Conón fuera el primero en saber.

Arquímedes también formó una conexión en Alejandría con Eratóstenes de Cirene, quien se convirtió en el bibliotecario jefe de la biblioteca alejandrina y fue uno de los polímatas más notables del mundo antiguo. Eratóstenes era una generación más joven que Conón, y Arquímedes le dirigió uno de sus documentos más extraordinarios: el tratado conocido como El método, en el que revela las intuiciones mecánicas que lo habían conducido a sus descubrimientos matemáticos. La dedicación de esta obra a Eratóstenes, con su declaración explícita de que deseaba compartir no solo resultados sino métodos, para que otros estuvieran equipados para hacer sus propios descubrimientos, muestra que la conexión alejandrina permaneció central en la vida intelectual de Arquímedes a lo largo de su carrera, mucho después de haber regresado a Siracusa.

El período que Arquímedes pasó en Alejandría no pudo haber sido breve. La profundidad de su compromiso con la literatura matemática, su facilidad con toda la gama de técnicas geométricas disponibles en su época, y las relaciones intelectuales que allí formó sugieren un período de estudio prolongado. Algunos académicos han estimado que pudo haber pasado varios años en Alejandría. Cuando finalmente regresó a Siracusa, lo hizo no como estudiante sino como un genio matemático plenamente formado, listo para comenzar la serie de investigaciones originales que definirían la obra de su vida.

Regreso a Siracusa y el mecenazgo de Hierón II

Cuando Arquímedes regresó a Siracusa, volvió a una ciudad que estaba entrando en uno de los períodos más estables y prósperos de su larga historia. Hierón II había consolidado su poder y gobernaba con el tipo de autoritarismo ilustrado que caracterizaba a los mejores de los monarcas helenísticos. Era un genuino mecenas de la vida intelectual, un hombre que entendía que los servicios que una mente brillante podía prestar se extendían mucho más allá de lo decorativo hacia lo genuinamente práctico, y la relación que desarrolló con Arquímedes resultaría mutuamente beneficiosa de maneras que ninguno de los dos podría haber anticipado plenamente.

La naturaleza de esta relación de mecenazgo merece atención cuidadosa. Arquímedes no era simplemente un animador cortesano o un diseñador de novedades para el entretenimiento real, aunque la tradición antigua sí conserva algunas historias de este tipo. Era un pensador cuya obra se movía libremente desde los problemas más abstractos de las matemáticas puras hasta los desafíos prácticos más apremiantes de mantener la independencia y la prosperidad de una ciudad-estado. Su trabajo sobre hidrostática tenía aplicaciones directas en la construcción y gestión de barcos, que eran centrales para el poder comercial y militar de Siracusa. Sus invenciones mecánicas, incluida la celebrada bomba de tornillo, abordaban problemas reales de ingeniería e irrigación. Y cuando Siracusa fue amenazada, sus habilidades como ingeniero de máquinas de guerra resultarían indispensables.

El arreglo institucional preciso entre Arquímedes y la corte siracusana no está claro. A diferencia de los eruditos del Museion alejandrino, aparentemente no era un miembro asalariado de una institución formal. Parece haber disfrutado de los recursos que necesitaba para su trabajo, acceso a artesanos, materiales y presumiblemente espacio para la experimentación, mientras mantenía la independencia de un intelectual libre. La impresión que dan las fuentes antiguas es la de un hombre profundamente integrado en la vida de la ciudad y genuinamente valorado por su gobernante, pero que estaba impulsado principalmente por su propia curiosidad intelectual insaciable más que por la dirección real.

Plutarco, en su Vida de Marcelo, conserva un famoso pasaje en el que describe la actitud de Arquímedes hacia su propia obra práctica. Según Plutarco, Arquímedes consideraba sus invenciones mecánicas como asuntos sin importancia, meras diversiones de la geometría en juego, y declaraba que el único trabajo verdaderamente serio era las matemáticas puras, que únicamente contemplaban verdades eternas e inmutables. El Arquímedes de Plutarco es así una figura dentro de una tradición filosófica que se remonta a Platón, quien había insistido en la superioridad del conocimiento teórico sobre el práctico. Si el relato de Plutarco captura con precisión la actitud real de Arquímedes, o si refleja las preocupaciones filosóficas de la propia época de Plutarco proyectadas sobre una figura histórica, es imposible determinarlo con certeza. Lo que las obras matemáticas supervivientes muestran claramente es una mente de extraordinario poder teórico. Pero también muestran una mente profundamente interesada en la conexión entre la teoría matemática y la realidad física, y la disposición de Arquímedes a usar la intuición mecánica como herramienta heurística para el descubrimiento matemático, descrita explícitamente en El método, sugiere una relación más matizada entre teoría y práctica de la que implica el retrato de Plutarco.

La naturaleza del genio matemático de Arquímedes

Antes de pasar a los logros específicos de Arquímedes, vale la pena intentar caracterizar qué hacía a su pensamiento matemático tan distintivamente poderoso. Varios rasgos sobresalen.

El primero es su dominio del método de agotamiento. Desarrollado por Eudoxo de Cnido en el siglo IV e incorporado por Euclides, el método de agotamiento proporcionaba una manera rigurosa de calcular áreas y volúmenes aproximándolos con secuencias de figuras más simples, cada una de las cuales se aproximaba más al objetivo que la anterior. El método requería demostrar que el área o volumen en cuestión no era ni mayor ni menor que el valor afirmado, al mostrar que cualquier desviación, por pequeña que fuera, del valor afirmado conduciría a una contradicción. Esto era, en esencia, una forma geométrica del concepto moderno del límite, alcanzada mediante doble contradicción en lugar del formalismo posterior del análisis real. Arquímedes dominó este método y lo desplegó con una virtuosidad que superó con creces todo lo que había en Euclides o en cualquier matemático anterior.

El segundo rasgo distintivo es su uso del razonamiento mecánico como dispositivo heurístico. En El método, Arquímedes revela que con frecuencia descubría sus resultados imaginando figuras geométricas como objetos físicos con masa, equilibrándolas en palancas, y usando la ley de la palanca para deducir relaciones entre áreas y volúmenes. Este enfoque no es una demostración rigurosa, y Arquímedes era perfectamente claro al respecto: usa el razonamiento mecánico para descubrir resultados y métodos geométricos rigurosos para demostrarlos. Pero el uso de la intuición física como guía del descubrimiento matemático es un enfoque de extraordinaria sofisticación, que no sería sistematizado hasta el desarrollo de la física en el siglo XVII.

El tercer rasgo es la enorme dificultad de los problemas que eligió atacar. Muchos de los problemas en los que Arquímedes trabajó habían resistido los esfuerzos de matemáticos anteriores durante generaciones: la cuadratura de la parábola, la relación entre los volúmenes de esferas y cilindros, el valor preciso de pi. Arquímedes no solo resolvió estos problemas sino que lo hizo con una elegancia y economía de medios que aún impresiona a los matemáticos profesionales hoy en día.

El cuarto rasgo es su extraordinaria combinación de inteligencia práctica y teórica. La misma mente que demostró teoremas precisos sobre las áreas de segmentos parabólicos podía diseñar un dispositivo para elevar agua que aún estaría en uso dos mil años después, podía construir máquinas de guerra que paralizaron a uno de los ejércitos más poderosos del mundo antiguo, y podía determinar con precisión si la corona de un rey estaba hecha de oro puro o adulterado con plata. Esta amplitud de aplicación práctica no era incidental a su grandeza matemática; era su expresión en un medio diferente.

El tornillo de Arquímedes

Entre las invenciones prácticas atribuidas a Arquímedes, el dispositivo conocido como el tornillo de Arquímedes es quizás el que ha tenido el impacto práctico más duradero y extendido. Esencialmente un tornillo helicoidal encerrado dentro de un cilindro o tubo, eleva el agua desde una elevación más baja a una más alta a medida que gira. El dispositivo es simple en principio, robusto en construcción y eficaz en una amplia gama de condiciones. Ha sido utilizado continuamente desde la antigüedad, y variaciones del mismo siguen en uso hoy en día en irrigación, en plantas de tratamiento de agua y en entornos industriales en todo el mundo.

La atribución del tornillo a Arquímedes es antigua y persistente, pero debe tratarse con cierto cuidado. El dispositivo es atribuido por primera vez a Arquímedes por el historiador griego Diodoro Sículo, escribiendo en el siglo I a. e. c., quien afirma que Arquímedes lo inventó durante una visita a Egipto y que se usaba allí para elevar agua del Nilo para riego. Sin embargo, hay razones para ser cautelosos con esta atribución. Algunos historiadores han argumentado que dispositivos de principio similar pueden haber estado en uso en Egipto y posiblemente en Mesopotamia antes de la época de Arquímedes, y que lo que Arquímedes pudo haber hecho fue mejorar, sistematizar o teorizar sobre un dispositivo ya existente en lugar de inventarlo desde cero. El rey asirio Senaquerib pudo haber usado una forma de bomba de tornillo en el siglo VIII a. e. c. para abastecer los Jardines Colgantes de Nínive, aunque esta interpretación de los textos relevantes es disputada.

Cualquiera que sea la historia precisa de la invención, el dispositivo funciona según un principio completamente coherente con los intereses mecánicos y matemáticos que se sabe que tenía Arquímedes. Una superficie helicoidal enrollada alrededor de un eje es precisamente el tipo de objeto geométrico que habría interesado a un matemático que había escrito sobre espirales, y la ventaja mecánica lograda por el tornillo, que transforma el movimiento rotacional en el movimiento vertical de un fluido, está conectada con los principios más generales de ventaja mecánica que Arquímedes exploró en su trabajo sobre la palanca y los centros de gravedad.

El tornillo fue también reportadamente puesto a un uso dramáticamente visible en la propia Siracusa. Según la fuente antigua Ateneo de Náucratis, escribiendo en el siglo II de la era común, Arquímedes diseñó un sistema de tornillo masivo para bombear agua de la bodega de la Syracusia, un enorme barco encargado por Hierón II y que se dice que fue el barco más grande del mundo antiguo, equipado con jardines, baños, un gimnasio y un templo a Afrodita. Si la Syracusia era verdaderamente tan notable como sugieren los relatos antiguos, o si estos relatos están exagerados, es difícil de determinar. Pero la historia de Arquímedes diseñando el tornillo de achique para este buque insignia de la flota de Hierón es completamente coherente con lo que sabemos de la relación entre el rey y el matemático, y con la disposición de Arquímedes a aplicar su conocimiento matemático a los desafíos prácticos de la ingeniería.

Las versiones modernas del tornillo de Arquímedes se encuentran en sistemas de irrigación en todo el mundo en desarrollo, en el bombeo de lodos en instalaciones de tratamiento de agua, en cosechadoras utilizadas para mover grano, y en aplicaciones hidroeléctricas donde el dispositivo se hace funcionar en reversa, con agua descendente que gira el tornillo para generar electricidad. La elegante sencillez del principio, que no requiere válvulas, sellos ni tolerancias ajustadas, y que puede funcionar eficazmente incluso con agua cargada de residuos, es un testimonio de la calidad del pensamiento ingenieril original. Pocas invenciones en la historia humana han mantenido su utilidad de manera tan directa y continua como esta.

El método de agotamiento: fundamentos matemáticos

Los logros matemáticos de Arquímedes descansan sobre una base de técnica tanto como de inspiración. La herramienta técnica principal que desplegó en sus demostraciones rigurosas fue el método de agotamiento, y para apreciar su obra matemática uno debe primero comprender algo de cómo funcionaba este método y por qué era tan poderoso.

El problema fundamental que enfrentaban los matemáticos griegos antiguos cuando intentaban calcular áreas y volúmenes de figuras curvas era que los griegos no poseían notación algebraica, ningún concepto de una cantidad infinitamente pequeña, y ninguna noción de un límite en el sentido moderno. Las construcciones con regla y compás que formaban la base de la geometría euclidiana eran adecuadas para problemas que