Leonhard Euler: el Maestro de Todos Nosotros

Por CountryReports.org

INTRODUCCIÓN

Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia y, según el juicio de muchos que han estudiado su obra, el más grande. Nació en Basilea, Suiza, en 1707 y murió en San Petersburgo, Rusia, en 1783, y en los setenta y seis años transcurridos entre esas fechas produjo un conjunto de trabajo matemático tan vasto, tan variado y tan fundamentalmente importante que le tomó a la comunidad matemática más de cuarenta años después de su muerte publicarlo todo. La edición completa de sus obras, iniciada en 1911, comprende más de ochenta volúmenes grandes y aún no está del todo completa.

Los números por sí solos son asombrosos: Euler publicó más de 850 artículos y libros durante su vida y dejó tras de sí miles de páginas de manuscritos inéditos. Trabajó en prácticamente todas las áreas de las matemáticas conocidas en su época: teoría de números, álgebra, geometría, trigonometría, cálculo, series infinitas, teoría de grafos, probabilidad y combinatoria. Trabajó en física matemática: mecánica, óptica, acústica, dinámica de fluidos, astronomía y teoría del movimiento lunar. Trabajó en matemáticas aplicadas: artillería, navegación, diseño de barcos, cartografía y construcción de canales. Introdujo o estandarizó la mayor parte de la notación utilizada en las matemáticas modernas, incluidos los símbolos e (para la base del logaritmo natural), i (para la raíz cuadrada de menos uno), ? (para la razón entre la circunferencia y el diámetro), ? (para la sumatoria) y f(x) (para una función de x).

La fórmula que lleva su nombre como la ecuación más bella de las matemáticas — e^i? + 1 = 0 — une cinco de las constantes más fundamentales de las matemáticas en una sola relación asombrosa. La fórmula no es meramente bella en un sentido estético; refleja las conexiones más profundas entre la función exponencial, la trigonometría y las propiedades del sistema de números complejos, que estuvieron entre sus mayores contribuciones matemáticas. Cuando el físico Richard Feynman la llamó "la fórmula más notable de las matemáticas", expresaba un juicio compartido por prácticamente todos los que la han encontrado.

Sin embargo, el número y la fórmula no capturan lo más extraordinario de Euler. Lo más extraordinario es la calidad de la inteligencia matemática que los produjo: la combinación de virtuosismo técnico — la capacidad de calcular, de manipular expresiones algebraicas, de encontrar patrones en secuencias numéricas — con profundidad conceptual y la capacidad de ver conexiones entre áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Euler no solo resolvía problemas; creaba los marcos dentro de los cuales las generaciones siguientes resolverían problemas. Las matemáticas de los siglos XIX y XX están construidas, en gran parte, sobre cimientos que Euler estableció.

Primeros años y educación en Basilea

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, hijo mayor de Paul Euler y Marguerite Brucker. Su padre era un ministro calvinista que había estudiado teología en Basilea y también había asistido a conferencias del gran matemático Jacob Bernoulli — un detalle biográfico que resultaría significativo para la carrera del hijo. Basilea a principios del siglo XVIII era una próspera ciudad-estado de la Confederación Suiza, sede de una distinguida universidad y de la extraordinaria familia Bernoulli, que había producido tres generaciones de importantes matemáticos, entre ellos los hermanos Jacob y Johann Bernoulli.

Paul Euler trasladó a su familia a la aldea de Riehen, cerca de Basilea, donde ejerció como ministro parroquial, cuando Leonhard tenía aproximadamente un año de edad. El niño recibió su educación temprana de su padre y mostró aptitud matemática a una edad en que la mayoría de los niños aún estaban aprendiendo a leer. Cuando tenía trece años — edad estándar para ingresar a la universidad en aquella época — fue inscrito en la Universidad de Basilea, donde inicialmente estudió filosofía y teología de acuerdo con los deseos de su padre.

La relación clave de sus años de estudiante fue su introducción a Johann Bernoulli, el mayor matemático de Europa tras la muerte de Isaac Newton. Bernoulli reconoció el talento excepcional del joven Euler y dispuso que recibiera clases particulares cada sábado, que Euler describió posteriormente como "las horas más felices de mi vida". Las tutorías del sábado no eran instrucción sistemática sino conversaciones intelectuales en las que Bernoulli asignaba problemas, Euler los trabajaba durante la semana y luego discutían juntos las dificultades y las soluciones. Este método socrático de educación matemática — desarrollar la capacidad de resolución independiente de problemas del alumno en lugar de transmitir conocimiento establecido — resultó perfectamente adecuado para los dones de Euler.

Recibió su título de Maestría en Artes en 1723 a los dieciséis años, presentando una tesis que comparaba las filosofías naturales de Descartes y Newton — un tema que reflejaba la efervescencia intelectual del período, cuando la mecánica newtoniana estaba desplazando gradualmente a la filosofía natural cartesiana como el marco dominante para comprender el mundo físico. Continuó sus estudios por insistencia de su padre, cursando teología, pero el talento matemático reconocido por Bernoulli era demasiado poderoso para ser confinado. Para 1726, cuando tenía diecinueve años, ya había publicado su primer artículo — sobre la colocación óptima de un mástil en un barco — y había presentado una contribución (que recibió el segundo premio) al concurso de la Academia de Ciencias de París por el mejor diseño del mástil de un barco.

Su padre aceptó lo inevitable y le permitió dedicarse a las matemáticas a tiempo completo. Cuando su amigo Nicolas Bernoulli (hijo del hermano Nicolas de Johann) y luego el propio Nicolas recibieron posiciones en la recién fundada Academia de San Petersburgo en Rusia, Euler se encontró en línea para un puesto allí también. La Academia de San Petersburgo, fundada por Pedro el Grande y organizada por su esposa y sucesora Catalina I, era un decidido esfuerzo por llevar la cultura científica europea a Rusia reclutando a los mejores científicos y académicos disponibles sin importar su nacionalidad. La invitación a unirse a ella cambiaría la vida de Euler.

El primer período en San Petersburgo (1727-1741)

Euler llegó a San Petersburgo en mayo de 1727, el mismo día en que murió Catalina I. Las incertidumbres políticas que siguieron a su muerte amenazaron inicialmente la posición de la Academia, pero la institución sobrevivió y Euler se estableció rápidamente como su miembro más productivo. Fue nombrado inicialmente a la sección de fisiología — no de matemáticas — porque no había vacante en este último departamento, pero el nombramiento era una formalidad; trabajó en matemáticas desde el día de su llegada.

Los años de San Petersburgo fueron extraordinariamente productivos. Resolvió en 1736 el famoso problema de los puentes de Königsberg — ¿puede uno cruzar los siete puentes de la ciudad de Königsberg cada uno exactamente una vez? — demostrando que la respuesta era no y fundando en el proceso la rama matemática de la teoría de grafos. La demostración era elegante y completamente general: mostró que tal camino es posible si y solo si hay cero o exactamente dos puntos de grado impar, un resultado que podía aplicarse a cualquier red de caminos y puentes. El problema de Königsberg es ahora considerado el documento fundacional de la teoría de grafos y del campo más general de la topología.

Publicó Mechanica en 1736, una obra en dos volúmenes que reformuló la mecánica newtoniana utilizando el cálculo diferencial como su lenguaje. Antes de Euler, la mecánica se había presentado utilizando los métodos geométricos del Principia de Newton; el enfoque analítico de Euler — traducir los principios físicos a ecuaciones diferenciales y desarrollar las técnicas para resolver esas ecuaciones — fue la forma en que la mecánica se enseñaría y utilizaría en adelante. El libro de texto siguió siendo estándar durante más de un siglo.

La Introductio in Analysin Infinitorum (Introducción al análisis de infinitos), publicada en 1748, fue quizás el libro de texto de matemáticas más influyente del siglo XVIII. Presentó sistemáticamente la teoría de funciones, introduciendo el concepto de función como el objeto fundamental del análisis (en lugar de la curva, como había sido convencional); desarrolló la teoría de series y productos infinitos; y presentó las profundas conexiones entre las funciones exponenciales y trigonométricas mediante la fórmula que lleva su nombre: e^ix = cos(x) + i·sen(x). Esta fórmula, junto con el caso especial e^i? + 1 = 0, es el resultado más famoso de todas las matemáticas.

Su trabajo en teoría de números durante el período de San Petersburgo fue igualmente fundamental. Demostró el pequeño teorema de Fermat (que para cualquier primo p y entero a no divisible por p, a^(p-1) ? 1 mod p), que Fermat había enunciado sin demostración. Realizó contribuciones fundamentales a la teoría de las formas cuadráticas y a la distribución de los números primos. Su introducción de la función totiente ?(n) — que cuenta los enteros menores que n que son coprimos con n — fue una herramienta que ha seguido siendo central en la teoría de números hasta el día de hoy.

Pérdida de visión y sus notables consecuencias

En 1738, Euler desarrolló una enfermedad grave que resultó en la pérdida casi total de la visión en su ojo derecho. Las causas no estaban claras — posiblemente un absceso, posiblemente los efectos de una fiebre — y la pérdida fue permanente. Continuó trabajando con una productividad sin mengua. La capacidad de realizar cálculos complejos en su cabeza — una capacidad que siempre había poseído en un grado inusual y que había cultivado a través de décadas de práctica — le permitió continuar el trabajo matemático incluso cuando su visión se deterioraba. Su extraordinaria memoria para números y fórmulas significaba que podía retener argumentos complejos en su mente sin necesidad de plasmarlos en papel en cada paso.

La pérdida de visión en un ojo fue, en retrospectiva, una preparación para la ceguera total que vendría más adelante. Euler ya estaba desarrollando los hábitos de cálculo mental y visualización interna que le permitirían continuar produciendo matemáticas a un ritmo extraordinario incluso cuando no pudiera ver nada. El ajuste filosófico y práctico necesario para continuar una carrera de investigación matemática bajo estas condiciones fue en sí mismo un logro notable, y uno que ilumina la calidad de su constitución intelectual: profundamente práctica, sin quejas, enfocada en el trabajo mismo más que en las condiciones en que debía realizarse.

Berlín y la Academia Prusiana (1741-1766)

En 1741, Euler aceptó una invitación de Federico el Grande de Prusia para unirse a la Academia de Ciencias de Berlín, que el rey estaba reorganizando como parte de su esfuerzo más amplio por hacer de Berlín un centro de la vida intelectual europea. Euler pasó veinticinco años en Berlín, un período de extraordinaria productividad durante el cual publicó cientos de artículos y varios de sus libros más importantes.

La relación con Federico el Grande fue productiva, aunque no siempre armoniosa. Federico era un intelectual de considerable pretensión y se enorgullecía algo de su propia capacidad para evaluar el trabajo matemático; su preferencia era por el matemático francés Pierre-Louis de Maupertuis como presidente de la Academia, y por el filósofo Voltaire, quien pasó períodos en Berlín, como el tipo de ingenio y conversador que el rey disfrutaba. Euler era un tipo diferente de intelectual: tranquilo, profundamente piadoso, centrado en su trabajo, menos interesado en las actuaciones sociales de la vida cortesana que en los problemas matemáticos que ocupaban su mente. El famoso desdén de Federico hacia él como "matemático" en lugar de "filósofo" reflejaba una brecha cultural genuina.

A pesar de la fricción personal, el período de Berlín fue extraordinariamente productivo. Euler publicó las Institutiones Calculi Differentialis (1755) y las Institutiones Calculi Integralis (tres volúmenes, 1768-70), que juntas constituyeron el primer tratamiento sistemático en forma de libro de texto del cálculo diferencial e integral. Estas obras hicieron por el cálculo lo que la Mechanica había hecho por la mecánica clásica: tradujeron la materia del lenguaje geométrico de Newton y la notación idiosincrásica de Leibniz al marco analítico sistemático que las generaciones posteriores utilizarían. La notación de Euler para la derivada, su tratamiento sistemático de la integración por partes y la sustitución, su desarrollo de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias — todo esto se convirtió en los tratamientos estándar que aún se utilizan en la educación matemática actual.

Su trabajo en la teoría de números continuó sin interrupción. Enunció y demostró (o demostró parcialmente) muchos de los resultados que definirían la teoría de números durante el siguiente siglo: la ley de reciprocidad cuadrática (que enunció pero no demostró completamente; Gauss proporcionaría la primera demostración completa), resultados sobre la distribución de los primos, la teoría de las particiones y muchos otros. Su intento fallido de demostrar el Último Teorema de Fermat lo llevó a la demostración de que no existen soluciones enteras positivas a x^3 + y^3 = z^3 — el caso n=3 del teorema de Fermat — un resultado que requirió el desarrollo de técnicas algebraicas completamente nuevas.

Las cartas que Euler escribió a una princesa alemana durante el período de Berlín — explicando los principios fundamentales de las matemáticas y la filosofía natural en un lenguaje accesible para un no especialista — fueron publicadas en 1768-72 como las Cartas a una princesa alemana (Lettres à une Princesse d'Allemagne). Las Cartas se convirtieron en una de las divulgaciones científicas más leídas del siglo XVIII, con docenas de ediciones en francés, alemán, inglés, ruso, sueco, neerlandés, danés, italiano y español. Su combinación de profundidad matemática y claridad expositiva las hizo accesibles a lectores sin formación especializada e influyentes mucho más allá del público de las publicaciones técnicas de Euler.

El regreso a San Petersburgo y la ceguera total

En 1766, tras un deterioro en su relación con Federico el Grande y una atractiva oferta de Catalina la Grande de Rusia, Euler regresó a San Petersburgo con su numerosa familia. El regreso marcó el comienzo de la fase más notable de su carrera: los diecisiete años transcurridos entre 1766 y su muerte en 1783, durante los cuales produjo aproximadamente la mitad de su producción publicada total — a pesar de quedar casi completamente ciego en 1771.

La historia de cómo Euler trabajó después de perder la vista es una de las más asombrosas en la historia de la ciencia. Nunca había dependido en gran medida del cálculo visual; su pensamiento matemático era principalmente algebraico y analítico, conducido en un espacio mental interno donde las fórmulas y sus transformaciones podían manipularse sin necesidad de papel. Su extraordinaria memoria — podía recitar la Eneida de principio a fin, había memorizado vastas tablas de datos matemáticos y podía recordar los detalles de cientos de sus propios artículos anteriores — proporcionaba los recursos que habrían requerido una biblioteca de notas para una mente matemática más ordinaria.

Trabajaba dictando a sus hijos y a un pequeño grupo de asistentes, quienes escribían los argumentos matemáticos a medida que los desarrollaba mentalmente y le leían de vuelta lo que habían escrito para su corrección. La calidad del trabajo producido por este método era, si acaso, superior a lo que había producido cuando tenía visión: el carácter sistemático de su obra tardía, la generalidad de los métodos que desarrolló, la elegancia de los argumentos — todo sugiere a un matemático en la cima de sus poderes. La eliminación del laborioso proceso físico de escribir puede haberlo liberado para pensar con mayor libertad.

El incendio de 1771, que destruyó su casa en San Petersburgo y casi le costó la vida — fue rescatado del edificio en llamas por un trabajador llamado Peter Grimm, quien lo cargó sobre sus hombros a través de las llamas — fue un desastre que agravó los desafíos de su ceguera. Sus manuscritos, su biblioteca y muchas de sus posesiones personales se perdieron. Se recuperó con una velocidad notable, tanto física como intelectualmente, y retomó el trabajo casi de inmediato.

La correspondencia Euler-Lagrange y el cálculo de variaciones

Una de las relaciones intelectuales más productivas de la carrera de Euler fue su intercambio con el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange, que comenzó en 1754 cuando Lagrange tenía dieciocho años. Lagrange había desarrollado una generalización del trabajo de Euler sobre problemas isoperimétricos — problemas de encontrar curvas que maximizan o minimizan alguna cantidad sujeta a restricciones — en lo que se convirtió en el cálculo de variaciones. Comunicó sus resultados a Euler en una carta que marcó el inicio de una correspondencia matemática que duró décadas.

La respuesta de Euler al joven Lagrange fue característica de su generosidad intelectual: reconoció de inmediato la importancia del nuevo enfoque, elaboró sus implicaciones más completamente y dio a Lagrange todo el crédito por la innovación en sus propias publicaciones. El cálculo de variaciones que surgió de su colaboración — sistematizado en el tratado de Euler de 1744 sobre el tema — es una de las herramientas matemáticas más importantes de la física teórica. Subyace al principio de mínima acción, a la derivación de las ecuaciones de movimiento de Newton, a la formulación de la mecánica cuántica y a prácticamente todo principio variacional en la física clásica y moderna.

La relación entre los dos hombres ilustra también una dinámica generacional importante en la historia de las matemáticas: Euler, en la cima de sus poderes y el maestro indiscutido de su disciplina, encontrándose con un matemático más joven de dotes comparables y respondiendo con aliento y colaboración en lugar de actitud defensiva. Esta cualidad de generosidad intelectual — la disposición a reconocer, promover y reconocer las contribuciones de otros — era tan característica de Euler como su brillantez matemática.

Euler y la física

Las contribuciones de Euler a la física fueron tan fundamentales como sus contribuciones a las matemáticas puras, y las dos áreas estaban indisolublemente conectadas en su mente. No era un físico en el sentido moderno — raramente realizaba experimentos — pero su formulación analítica de las teorías físicas de su tiempo las transformó de descripciones geométricas y verbales en sistemas de ecuaciones diferenciales que podían estudiarse con todo el poder del análisis matemático.

Su reformulación de la mecánica newtoniana en Mechanica (1736) ya ha sido señalada. Su trabajo en mecánica de cuerpos rígidos — la dinámica de cuerpos sólidos en rotación — fue igualmente fundamental. Las ecuaciones de Euler para la rotación de cuerpos rígidos, que describen cómo cambia la velocidad angular de un cuerpo bajo la acción de torques externos, son las ecuaciones fundamentales del campo y siguen en uso estándar. Los ángulos de Euler que describen la orientación de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional — llamados así aunque él no fue el primero en usar tales ángulos — son la parametrización estándar utilizada en ingeniería aeroespacial, robótica y cualquier otro campo que requiera una descripción precisa de la rotación tridimensional.

Su trabajo en mecánica de fluidos fue igualmente innovador. Las ecuaciones de Euler para el flujo de fluidos ideales — un fluido perfecto sin viscosidad — son las ecuaciones más antiguas que aún se utilizan en dinámica de fluidos y siguen siendo el punto de partida para la teoría moderna de la mecánica de fluidos. Las ecuaciones de Navier-Stokes, que extienden el trabajo de Euler incluyendo la viscosidad, se encuentran entre las ecuaciones más intensamente estudiadas de la física matemática; el Problema del Milenio relativo a sus soluciones es uno de los siete Problemas del Milenio cuya solución conlleva un premio de un millón de dólares. Las ecuaciones de Euler son el límite no viscoso al que se reducen las ecuaciones de Navier-Stokes en ausencia de viscosidad.

Sus contribuciones a la óptica — recogidas en los tres volúmenes de la Dioptrica (1769-71) — desarrollaron los fundamentos teóricos del diseño de lentes y espejos. Su trabajo sobre el diseño de lentes acromáticas (lentes que enfocan todos los colores en el mismo punto, eliminando la aberración cromática) fue una contribución importante a la óptica práctica que hizo posibles los instrumentos de precisión. Sus estudios teóricos sobre la teoría ondulatoria de la luz, en un momento en que la teoría corpuscular propugnada por Newton todavía dominaba, estaban décadas por delante de su tiempo al reconocer las propiedades ondulatorias de la luz.

La identidad de Euler y su significado

La fórmula de Euler e^ix = cos(x) + i·sen(x) y el caso especial e^i? + 1 = 0 merecen un tratamiento extendido, porque ilustran la profundidad y el carácter del logro matemático de Euler con más claridad que cualquier otro resultado singular.

La fórmula surge de la definición de la función exponencial como una serie de potencias: e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... Cuando x se reemplaza por el número imaginario ix (donde i = ?(-1)), la serie se divide naturalmente en una parte real y una parte imaginaria, y estas partes resultan ser exactamente las series de potencias para cos(x) y sen(x) respectivamente. La fórmula no es, por tanto, una coincidencia numérica sino una consecuencia de la profunda estructura algebraica de las funciones exponenciales y trigonométricas.

Lo que hace esto tan sorprendente y tan hermoso es que estas funciones aparecen, en sus introducciones estándar, como completamente no relacionadas. La función exponencial e^x crece sin límite a medida que x aumenta; describe el interés compuesto, la desintegración radiactiva y el crecimiento poblacional. Las funciones trigonométricas cos(x) y sen(x) oscilan periódicamente entre -1 y 1; describen la rotación de ángulos, la forma de las ondas y el comportamiento de los péndulos. Que estas funciones aparentemente diferentes debieran estar íntimamente relacionadas a través de los números imaginarios fue uno de los conocimientos más profundos en la historia de las matemáticas.

La fórmula permite al análisis complejo — el estudio de funciones de una variable compleja — utilizar la función exponencial como su herramienta principal, ya que todo número complejo puede escribirse en la forma re^i? (donde r es la distancia al origen y ? es el ángulo). Esta "forma polar" de los números complejos es el fundamento de la teoría y la práctica del análisis de Fourier, la herramienta matemática para descomponer cualquier función periódica en sus componentes sinusoidales. El análisis de Fourier, a su vez, subyace a gran parte del procesamiento de señales moderno, las telecomunicaciones, la mecánica cuántica y el diseño de dispositivos electrónicos, desde teléfonos inteligentes hasta equipos de imágenes médicas.

El caso especial e^i? + 1 = 0 se deduce inmediatamente de la fórmula estableciendo x = ?: dado que cos(?) = -1 y sen(?) = 0, obtenemos e^i? = -1, o equivalentemente e^i? + 1 = 0. Las cinco constantes en esta ecuación — e, i, ?, 1, 0 — representan los cinco números más fundamentales de las matemáticas: la base del logaritmo natural, la unidad imaginaria, la razón entre la circunferencia y el diámetro, la identidad multiplicativa y la identidad aditiva. Su aparición en una sola ecuación elegante no es una coincidencia sino una consecuencia de la profunda unidad estructural de las matemáticas — del hecho de que las diversas áreas de las matemáticas, que desde afuera parecen desconectadas, están en realidad profunda e íntimamente relacionadas.

Teoría de números: las contribuciones duraderas de Euler

La teoría de números — el estudio de las propiedades de los enteros — fue una de las grandes pasiones de Euler a lo largo de su carrera, y sus contribuciones a ella estuvieron entre las más significativas del siglo XVIII, sentando bases sobre las que Gauss, Riemann y otros construirían.

Su demostración de la infinitud de los primos mediante la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos — estableciendo que la serie 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... diverge — fue uno de los primeros resultados que conectan los números primos con el análisis. La fórmula del producto de Euler, que expresa la función zeta de Riemann como un producto infinito sobre los primos, fue el conocimiento fundamental que conectó los números primos con las propiedades de la función zeta y finalmente condujo, a través del trabajo de Riemann un siglo después, al problema no resuelto más importante de las matemáticas actuales — la hipótesis de Riemann sobre la ubicación de los ceros de la función zeta.

Su trabajo sobre números perfectos — enteros iguales a la suma de sus divisores propios, como 6 = 1+2+3 — demostró que todos los números perfectos pares tienen la forma 2^(p-1)(2^p - 1), donde 2^p - 1 es primo (un llamado primo de Mersenne). Este resultado, combinado con el teorema anterior de Euclides sobre la suficiencia de esta condición, caracteriza completamente los números perfectos pares. La cuestión de si existen números perfectos impares sigue abierta hasta el día de hoy.

Demostró el teorema de los dos cuadrados: un número primo puede escribirse como la suma de dos cuadrados si y solo si es 2 o deja resto 1 al dividirse por 4. Este hermoso teorema, enunciado nuevamente por Fermat sin demostración, le costó a Euler veinte años de esfuerzo demostrarlo. La demostración que finalmente encontró utilizó un ingenioso método de "descenso infinito" — mostrando que si un primo tenía la propiedad, podía usarse para construir un primo más pequeño con la misma propiedad, y así sucesivamente hasta llegar a un primo lo suficientemente pequeño como para verificarlo directamente.

La ley de reciprocidad cuadrática — uno de los teoremas más bellos de la teoría de números, que relaciona si la ecuación x² ? p (mod q) tiene soluciones con si x² ? q (mod p) tiene soluciones — fue descubierta empíricamente por Euler y enunciada como conjetura (la llamó "un teorema muy hermoso"). Pasó años intentando demostrarla sin éxito completo; la primera demostración completa fue dada por Gauss en 1796, quien quedó tan encantado con el teorema que lo llamó su "theorema aureum" (teorema de oro) y finalmente ofreció ocho demostraciones diferentes.

Combinatoria y teoría de grafos

La solución de Euler al problema de los puentes de Königsberg en 1736 ya ha sido mencionada, pero sus contribuciones a la combinatoria y a lo que ahora llamaríamos matemáticas discretas merecen un tratamiento más extenso. Fue uno de los fundadores de la combinatoria como disciplina sistemática, trabajando en problemas de conteo, enumeración y propiedades combinatorias de estructuras matemáticas.

Su trabajo sobre cuadrados mágicos — matrices de números en los que cada fila, columna y diagonal suman el mismo valor — fue tanto una recreación como una investigación matemática seria. El problema de construir cuadrados latinos ortogonales (dos matrices cuadradas que pueden superponerse de manera que crean una tercera matriz sin pares repetidos) lo llevó a conjeturar en 1782 que tales cuadrados de orden 2 mod 4 (es decir, de orden 2, 6, 10, 14, ...) no pueden construirse. La conjetura fue posteriormente refutada célebremente para órdenes 10 y superiores, pero el método de intentar construir tales cuadrados es ahora un ejercicio estándar en combinatoria y teoría de códigos.

Su solución del problema de contar el número de maneras de triangular un polígono convexo fue un resultado fundacional en combinatoria enumerativa. Los números que descubrió — los números de Catalan, llamados así por un matemático posterior que los redescubrió — aparecen en toda la combinatoria, en problemas que van desde el número de maneras de aparear paréntesis hasta el número de árboles binarios distintos con n nodos.