Leonhard Euler : le maître de nous tous

Par CountryReports.org

INTRODUCTION

Leonhard Euler est le mathématicien le plus prolifique de l'histoire et, selon le jugement de nombreuses personnes ayant étudié son œuvre, le plus grand. Il est né à Bâle, en Suisse, en 1707 et est décédé à Saint-Pétersbourg, en Russie, en 1783 ; au cours des soixante-seize années séparant ces deux dates, il a produit un corpus de travaux mathématiques si vaste, si varié et si fondamentalement important qu'il a fallu à la communauté mathématique plus de quarante ans après sa mort pour tout publier. L'édition complète de ses œuvres, commencée en 1911, compte plus de quatre-vingt grands volumes et n'est toujours pas entièrement achevée.

Les chiffres seuls sont stupéfiants : Euler a publié plus de 850 articles et livres au cours de sa vie et a laissé derrière lui des milliers de pages de manuscrits inédits. Il a travaillé dans pratiquement tous les domaines des mathématiques alors connus : théorie des nombres, algèbre, géométrie, trigonométrie, calcul infinitésimal, séries infinies, théorie des graphes, probabilités et combinatoire. Il a travaillé en physique mathématique : mécanique, optique, acoustique, dynamique des fluides, astronomie et théorie du mouvement lunaire. Il a travaillé en mathématiques appliquées : artillerie, navigation, conception navale, cartographie et construction de canaux. Il a introduit ou normalisé la plupart des notations utilisées en mathématiques modernes, notamment les symboles e (pour la base du logarithme naturel), i (pour la racine carrée de moins un), ? (pour le rapport de la circonférence au diamètre), ? (pour la somme) et f(x) (pour une fonction de x).

La formule qui porte son nom en tant qu'équation la plus belle des mathématiques — e^i? + 1 = 0 — unit cinq des constantes les plus fondamentales des mathématiques en une relation unique et stupéfiante. La formule n'est pas seulement belle au sens esthétique ; elle reflète les connexions les plus profondes entre la fonction exponentielle, la trigonométrie et les propriétés du système des nombres complexes, qui comptaient parmi ses plus grandes contributions mathématiques. Lorsque le physicien Richard Feynman l'a qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques », il exprimait un jugement partagé par pratiquement tous ceux qui l'ont rencontrée.

Pourtant, le nombre et la formule ne saisissent pas ce qu'il y a de plus extraordinaire chez Euler. Ce qui est le plus extraordinaire, c'est la qualité de l'intelligence mathématique qui les a produits : la combinaison de virtuosité technique — la capacité à calculer, à manipuler des expressions algébriques, à trouver des schémas dans des suites numériques — avec la profondeur conceptuelle et la capacité à voir des connexions entre des domaines mathématiques apparemment sans rapport. Euler ne se contentait pas de résoudre des problèmes ; il créait les cadres dans lesquels les générations suivantes résoudraient les problèmes. Les mathématiques des XIXe et XXe siècles sont construites, en grande partie, sur des fondations qu'Euler a posées.

Jeunesse et formation à Bâle

Leonhard Euler est né le 15 avril 1707 à Bâle, en Suisse, fils aîné de Paul Euler et de Marguerite Brucker. Son père était un pasteur calviniste qui avait étudié la théologie à Bâle et avait également assisté aux cours du grand mathématicien Jacob Bernoulli — un détail biographique qui se révélerait significatif pour la carrière du fils. Bâle, au début du XVIIIe siècle, était une cité-État prospère de la Confédération helvétique, siège d'une université distinguée et de l'extraordinaire famille Bernoulli, qui avait produit trois générations de mathématiciens majeurs, notamment les frères Jacob et Johann Bernoulli.

Paul Euler déménagea sa famille au village de Riehen, près de Bâle, où il exerçait comme pasteur de la paroisse, alors que Leonhard avait environ un an. Le garçon reçut son éducation précoce de son père et manifesta des aptitudes pour les mathématiques à un âge où la plupart des enfants apprenaient encore à lire. À treize ans — âge habituel d'entrée à l'université à l'époque — il fut inscrit à l'Université de Bâle, où il étudia d'abord la philosophie et la théologie conformément aux souhaits de son père.

La relation clé de ses années d'étudiant fut son introduction à Johann Bernoulli, le plus grand mathématicien d'Europe après la mort d'Isaac Newton. Bernoulli reconnut le talent exceptionnel du jeune Euler et prit les dispositions nécessaires pour qu'il reçoive des cours particuliers chaque samedi, qu'Euler décrivit plus tard comme « les heures les plus heureuses de ma vie ». Les séances du samedi n'étaient pas un enseignement systématique, mais des conversations intellectuelles au cours desquelles Bernoulli posait des problèmes, Euler les travaillait pendant la semaine, et ils discutaient ensemble des difficultés et des solutions. Cette méthode socratique d'éducation mathématique — développant la capacité de résolution autonome de problèmes de l'élève plutôt que de transmettre des connaissances établies — s'avéra parfaitement adaptée aux dons d'Euler.

Il reçut son diplôme de maîtrise ès arts en 1723 à l'âge de seize ans, présentant une thèse comparant les philosophies naturelles de Descartes et de Newton — un sujet qui reflétait la fermentation intellectuelle de l'époque, où la mécanique newtonienne déplaçait progressivement la philosophie naturelle cartésienne comme cadre dominant pour comprendre le monde physique. Il poursuivit ses études à l'insistance de son père, en étudiant la théologie, mais le talent mathématique reconnu par Bernoulli était trop puissant pour être contenu. En 1726, à l'âge de dix-neuf ans, il avait déjà publié son premier article — sur le placement optimal d'un mât sur un navire — et avait soumis une contribution (qui reçut un deuxième prix) au concours de l'Académie des sciences de Paris pour la meilleure conception d'un mât de navire.

Son père accepta l'inévitable et lui permit de se consacrer pleinement aux mathématiques. Lorsque son ami Nicolas Bernoulli (fils du frère de Johann, Nicolas) puis Nicolas lui-même reçurent des postes à la nouvelle Académie de Saint-Pétersbourg en Russie, Euler se trouva en position d'y obtenir un poste également. L'Académie de Saint-Pétersbourg, fondée par Pierre le Grand et organisée par son épouse et successeure Catherine Ire, était un effort déterminé pour introduire la culture scientifique européenne en Russie en recrutant les meilleurs savants et scientifiques disponibles, sans égard à leur nationalité. L'invitation à la rejoindre allait changer la vie d'Euler.

La première période de Saint-Pétersbourg (1727-1741)

Euler arriva à Saint-Pétersbourg en mai 1727, le jour même de la mort de Catherine Ire. Les incertitudes politiques qui suivirent sa mort menacèrent initialement la position de l'Académie, mais l'institution survécut et Euler s'imposa rapidement comme son membre le plus productif. Il fut initialement nommé à la section de physiologie — et non de mathématiques — parce qu'il n'y avait pas de poste vacant dans ce dernier département, mais la nomination était une formalité ; il travailla sur les mathématiques dès le jour de son arrivée.

Les années de Saint-Pétersbourg furent extraordinairement productives. Il résolut en 1736 le célèbre problème des ponts de Königsberg — peut-on traverser les sept ponts de la ville de Königsberg chacun exactement une fois ? — prouvant que la réponse était non et fondant par là même le domaine mathématique de la théorie des graphes. La preuve était élégante et entièrement générale : il montra qu'un tel chemin est possible si et seulement si il y a zéro ou exactement deux points de degré impair, un résultat applicable à tout réseau de chemins et de ponts. Le problème de Königsberg est désormais considéré comme le document fondateur de la théorie des graphes et du domaine plus général de la topologie.

Il publia la Mechanica en 1736, un ouvrage en deux volumes qui reformulait la mécanique newtonienne en utilisant le calcul différentiel comme langage. Avant Euler, la mécanique était présentée à l'aide des méthodes géométriques des Principia de Newton ; l'approche analytique d'Euler — traduisant les principes physiques en équations différentielles et développant les techniques pour résoudre ces équations — fut la forme sous laquelle la mécanique serait désormais enseignée et utilisée. Le manuel resta standard pendant plus d'un siècle.

L'Introductio in Analysin Infinitorum (Introduction à l'analyse des infinités), publiée en 1748, fut peut-être le manuel de mathématiques le plus influent du XVIIIe siècle. Il présentait de manière systématique la théorie des fonctions, introduisant le concept de fonction comme objet fondamental de l'analyse (plutôt que la courbe, comme cela avait été conventionnel) ; il développait la théorie des séries et des produits infinis ; et il présentait les connexions profondes entre les fonctions exponentielles et trigonométriques à travers la formule qui porte son nom : e^ix = cos(x) + i·sin(x). Cette formule, ainsi que le cas particulier e^i? + 1 = 0, est le résultat le plus célèbre de toutes les mathématiques.

Son travail sur la théorie des nombres durant la période de Saint-Pétersbourg fut tout aussi fondateur. Il prouva le petit théorème de Fermat (que pour tout nombre premier p et tout entier a non divisible par p, a^(p-1) ? 1 mod p), que Fermat avait énoncé sans preuve. Il apporta des contributions fondamentales à la théorie des formes quadratiques et à la distribution des nombres premiers. Son introduction de la fonction indicatrice ?(n) — comptant les entiers inférieurs à n qui sont premiers avec n — fut un outil qui est resté central en théorie des nombres jusqu'à nos jours.

La perte de la vue et ses remarquables conséquences

En 1738, Euler développa une grave maladie qui entraîna la perte presque totale de la vision de son œil droit. Les causes n'étaient pas claires — peut-être un abcès, peut-être les effets d'une fièvre — et la perte fut permanente. Il continua à travailler avec une productivité inchangée. La capacité à effectuer des calculs complexes mentalement — une aptitude qu'il avait toujours possédée à un degré inhabituel et qu'il avait cultivée au fil de décennies de pratique — lui permit de poursuivre ses travaux mathématiques même lorsque sa vision se détériora. Sa mémoire extraordinaire des nombres et des formules signifiait qu'il pouvait retenir des arguments complexes dans son esprit sans avoir besoin de les coucher sur papier à chaque étape.

La perte de vision d'un œil était, rétrospectivement, une préparation à la cécité totale qui viendrait plus tard. Euler développait déjà les habitudes de calcul mental et de visualisation intérieure qui lui permettraient de continuer à produire des mathématiques à un rythme extraordinaire même lorsqu'il ne pourrait plus rien voir. L'ajustement philosophique et pratique nécessaire pour poursuivre une carrière de recherche mathématique dans ces conditions était lui-même une réalisation remarquable, qui illustre la qualité de sa constitution intellectuelle : profondément pratique, sans plainte, concentré sur le travail lui-même plutôt que sur les conditions dans lesquelles il devait être accompli.

Berlin et l'Académie de Prusse (1741-1766)

En 1741, Euler accepta une invitation de Frédéric le Grand de Prusse à rejoindre l'Académie des sciences de Berlin, que le roi réorganisait dans le cadre de son effort plus large pour faire de Berlin un centre de la vie intellectuelle européenne. Euler passa vingt-cinq ans à Berlin, une période d'extraordinaire productivité au cours de laquelle il publia des centaines d'articles et plusieurs de ses ouvrages les plus importants.

La relation avec Frédéric le Grand était productive mais pas toujours harmonieuse. Frédéric était lui-même un intellectuel de prétention considérable et se flattait quelque peu de sa propre capacité à évaluer les travaux mathématiques ; sa préférence allait au mathématicien français Pierre-Louis de Maupertuis comme président de l'Académie, et au philosophe Voltaire, qui séjourna à Berlin, comme type d'esprit et de causeur que le roi appréciait. Euler était un type d'intellectuel différent : silencieux, profondément pieux, concentré sur son travail, moins intéressé par les performances sociales de la vie de cour que par les problèmes mathématiques qui occupaient son esprit. Le célèbre dédain de Frédéric à son égard, le qualifiant de « mathématicien » par opposition à un « philosophe », reflétait un véritable fossé culturel.

Malgré les frictions personnelles, la période berlinoise fut extraordinairement productive. Euler publia les Institutiones Calculi Differentialis (1755) et les Institutiones Calculi Integralis (trois volumes, 1768-70), qui constituaient ensemble le premier traitement manuel systématique du calcul différentiel et intégral. Ces travaux firent pour le calcul ce que la Mechanica avait fait pour la mécanique classique : ils traduisirent le sujet du langage géométrique de Newton et de la notation idiosyncrasique de Leibniz dans le cadre analytique systématique que les générations suivantes utiliseraient. La notation d'Euler pour la dérivée, son traitement systématique de l'intégration par parties et par substitution, son développement de la théorie des équations différentielles ordinaires — tout cela devint les traitements standards encore utilisés aujourd'hui dans l'enseignement des mathématiques.

Son travail sur la théorie des nombres se poursuivit sans interruption. Il énonça et prouva (ou prouva partiellement) de nombreux résultats qui définiraient la théorie des nombres pour le siècle suivant : la loi de réciprocité quadratique (qu'il énonça mais ne prouva pas entièrement ; Gauss fournirait la première preuve complète), des résultats sur la distribution des nombres premiers, la théorie des partitions, et bien d'autres. Sa tentative infructueuse de prouver le dernier théorème de Fermat le conduisit à la preuve qu'il n'existe pas de solutions en nombres entiers positifs à x^3 + y^3 = z^3 — le cas n=3 du théorème de Fermat — un résultat qui nécessita le développement de techniques algébriques entièrement nouvelles.

Les lettres qu'Euler écrivit à une princesse allemande pendant la période berlinoise — expliquant les principes fondamentaux des mathématiques et de la philosophie naturelle dans un langage accessible à un non-spécialiste — furent publiées en 1768-72 sous le titre Lettres à une Princesse d'Allemagne. Les Lettres devinrent l'une des vulgarisations scientifiques les plus largement lues du XVIIIe siècle, paraissant en dizaines d'éditions en français, allemand, anglais, russe, suédois, néerlandais, danois, italien et espagnol. Leur combinaison de profondeur mathématique et de clarté expositoire les rendit accessibles à des lecteurs sans formation spécialisée et influentes bien au-delà du public des publications techniques d'Euler.

Le retour à Saint-Pétersbourg et la cécité totale

En 1766, à la suite d'une détérioration de ses relations avec Frédéric le Grand et d'une offre attrayante de Catherine la Grande de Russie, Euler retourna à Saint-Pétersbourg avec sa nombreuse famille. Ce retour marqua le début de la phase la plus remarquable de sa carrière : les dix-sept années entre 1766 et sa mort en 1783, au cours desquelles il produisit environ la moitié de sa production publiée totale — malgré une quasi-cécité totale survenue en 1771.

L'histoire de la manière dont Euler travailla après avoir perdu la vue est l'une des plus stupéfiantes de l'histoire des sciences. Il ne s'était jamais beaucoup appuyé sur le calcul visuel ; sa pensée mathématique était principalement algébrique et analytique, conduite dans un espace mental interne où les formules et leurs transformations pouvaient être manipulées sans nécessiter de papier. Sa mémoire extraordinaire — il pouvait réciter l'Énéide du début à la fin, avait mémorisé de vastes tables de données mathématiques et pouvait se souvenir des détails de centaines de ses propres articles antérieurs — fournissait les ressources qui auraient nécessité une bibliothèque de notes pour un esprit mathématique plus ordinaire.

Il travaillait en dictant à ses fils et à un petit groupe d'assistants, qui notaient les arguments mathématiques au fur et à mesure qu'il les développait mentalement et lui relisaient ce qu'ils avaient écrit pour correction. La qualité du travail produit par cette méthode était, si tant est que cela soit possible, supérieure à ce qu'il avait produit lorsqu'il voyait encore : le caractère systématique de ses travaux tardifs, la généralité des méthodes qu'il développa, l'élégance des arguments — tout cela suggère un mathématicien au faîte de ses capacités. Le retrait du laborieux processus physique d'écriture l'a peut-être véritablement libéré pour penser plus librement.

L'incendie de 1771, qui détruisit sa maison à Saint-Pétersbourg et faillit lui coûter la vie — il fut sauvé du bâtiment en flammes par un ouvrier nommé Peter Grimm, qui le porta sur ses épaules à travers les flammes — fut un désastre qui s'ajouta aux défis de sa cécité. Ses manuscrits, sa bibliothèque et de nombreuses possessions personnelles furent perdus. Il se remit avec une rapidité remarquable, tant physiquement qu'intellectuellement, et reprit le travail presque immédiatement.

La correspondance Euler-Lagrange et le calcul des variations

L'une des relations intellectuelles les plus fructueuses de la carrière d'Euler fut son échange avec le mathématicien franco-italien Joseph-Louis Lagrange, qui débuta en 1754 alors que Lagrange avait dix-huit ans. Lagrange avait développé une généralisation du travail d'Euler sur les problèmes isopérimétriques — problèmes consistant à trouver des courbes qui maximisent ou minimisent une certaine quantité sous des contraintes — qui allait devenir le calcul des variations. Il communiqua ses résultats à Euler dans une lettre qui marqua le début d'une correspondance mathématique s'étendant sur plusieurs décennies.

La réponse d'Euler au jeune Lagrange fut caractéristique de sa générosité intellectuelle : il reconnut immédiatement l'importance de la nouvelle approche, en développa plus complètement les implications et attribua à Lagrange tout le mérite de l'innovation dans ses propres publications. Le calcul des variations qui émergea de leur collaboration — systématisé dans le traité d'Euler de 1744 sur le sujet — est l'un des outils mathématiques les plus importants de la physique théorique. Il sous-tend le principe de moindre action, la dérivation des équations du mouvement de Newton, la formulation de la mécanique quantique et pratiquement tout principe variationnel de la physique classique et moderne.

La relation entre les deux hommes illustre également une dynamique générationnelle importante dans l'histoire des mathématiques : Euler, au faîte de ses capacités et maître incontesté de sa discipline, rencontrant un mathématicien plus jeune aux dons comparables et répondant avec encouragement et collaboration plutôt que par la défensive. Cette qualité de générosité intellectuelle — la volonté de reconnaître, de promouvoir et d'admettre les contributions des autres — était aussi caractéristique d'Euler que sa brillance mathématique.

Euler et la physique

Les contributions d'Euler à la physique étaient aussi fondamentales que ses contributions aux mathématiques pures, et les deux domaines étaient inséparablement liés dans son esprit. Il n'était pas un physicien au sens moderne du terme — il effectuait rarement des expériences — mais sa formulation analytique des théories physiques de son temps les transforma de descriptions géométriques et verbales en systèmes d'équations différentielles pouvant être étudiés avec toute la puissance de l'analyse mathématique.

Sa reformulation de la mécanique newtonienne dans la Mechanica (1736) a déjà été mentionnée. Son travail sur la mécanique des solides rigides — la dynamique des corps solides en rotation — fut tout aussi fondateur. Les équations d'Euler pour la rotation des corps rigides, qui décrivent comment la vitesse angulaire d'un corps change sous l'action de couples extérieurs, sont les équations fondamentales du domaine et restent d'un usage standard. Les angles d'Euler qui décrivent l'orientation d'un corps rigide dans l'espace tridimensionnel — nommés d'après lui bien qu'il ne fût pas le premier à utiliser de tels angles — constituent la paramétrisation standard utilisée en ingénierie aérospatiale, en robotique et dans tout autre domaine nécessitant une description précise de la rotation tridimensionnelle.

Son travail sur la mécanique des fluides fut tout aussi novateur. Les équations d'Euler pour l'écoulement d'un fluide idéal — un fluide parfait sans viscosité — sont les équations les plus anciennes encore utilisées en dynamique des fluides et restent le point de départ de la théorie moderne de la mécanique des fluides. Les équations de Navier-Stokes, qui étendent le travail d'Euler en incluant la viscosité, sont parmi les équations les plus intensivement étudiées de la physique mathématique ; le problème du Millénaire concernant leurs solutions est l'un des sept problèmes du Millénaire dont la solution rapporte un prix d'un million de dollars. Les équations d'Euler constituent la limite non visqueuse vers laquelle les équations de Navier-Stokes se réduisent en l'absence de viscosité.

Ses contributions à l'optique — rassemblées dans la Dioptrica en trois volumes (1769-71) — développèrent les fondements théoriques de la conception de lentilles et de miroirs. Son travail sur la conception de lentilles achromatiques (lentilles qui focalisent toutes les couleurs au même point, éliminant l'aberration chromatique) fut une contribution importante à l'optique pratique qui rendit possibles les instruments de précision. Ses études théoriques de la théorie ondulatoire de la lumière, à une époque où la théorie corpusculaire défendue par Newton dominait encore, étaient en avance de plusieurs décennies sur leur temps dans la reconnaissance des propriétés ondulatoires de la lumière.

L'identité d'Euler et sa signification

La formule d'Euler e^ix = cos(x) + i·sin(x) et le cas particulier e^i? + 1 = 0 méritent une discussion approfondie, car ils illustrent la profondeur et le caractère de la réalisation mathématique d'Euler plus clairement que tout autre résultat unique.

La formule découle de la définition de la fonction exponentielle comme une série entière : e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... Lorsque x est remplacé par le nombre imaginaire ix (où i = ?(-1)), la série se divise naturellement en une partie réelle et une partie imaginaire, et ces parties se révèlent être exactement les séries entières de cos(x) et sin(x) respectivement. La formule n'est donc pas une coïncidence numérique mais une conséquence de la structure algébrique profonde des fonctions exponentielles et trigonométriques.

Ce qui rend cela si surprenant et si beau, c'est que ces fonctions apparaissent, dans leurs introductions standard, comme entièrement sans rapport. La fonction exponentielle e^x croît sans limite à mesure que x augmente ; elle décrit les intérêts composés, la désintégration radioactive et la croissance démographique. Les fonctions trigonométriques cos(x) et sin(x) oscillent périodiquement entre -1 et 1 ; elles décrivent la rotation des angles, la forme des vagues et le comportement des pendules. Que ces fonctions apparemment différentes soient intimement liées à travers les nombres imaginaires était l'une des intuitions les plus profondes de l'histoire des mathématiques.

La formule permet à l'analyse complexe — l'étude des fonctions d'une variable complexe — d'utiliser la fonction exponentielle comme outil principal, puisque tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme re^i? (où r est la distance à l'origine et ? est l'angle). Cette « forme polaire » des nombres complexes est le fondement de la théorie et de la pratique de l'analyse de Fourier, l'outil mathématique permettant de décomposer toute fonction périodique en ses composantes sinusoïdales. L'analyse de Fourier sous-tend à son tour une grande partie du traitement moderne du signal, des télécommunications, de la mécanique quantique et de la conception de dispositifs électroniques, des smartphones aux équipements d'imagerie médicale.

Le cas particulier e^i? + 1 = 0 découle immédiatement de la formule en posant x = ? : puisque cos(?) = -1 et sin(?) = 0, on obtient e^i? = -1, soit de manière équivalente e^i? + 1 = 0. Les cinq constantes de cette équation — e, i, ?, 1, 0 — représentent les cinq nombres les plus fondamentaux des mathématiques : la base du logarithme naturel, l'unité imaginaire, le rapport de la circonférence au diamètre, l'identité multiplicative et l'identité additive. Leur apparition dans une seule équation élégante n'est pas une coïncidence mais la conséquence de l'unité structurelle profonde des mathématiques — du fait que les différents domaines des mathématiques, qui semblent de l'extérieur être déconnectés, sont en réalité profondément et intimement liés.

Théorie des nombres : les contributions durables d'Euler

La théorie des nombres — l'étude des propriétés des entiers — fut l'une des grandes passions d'Euler tout au long de sa carrière, et ses contributions à ce domaine comptèrent parmi les plus significatives du XVIIIe siècle, posant des fondements sur lesquels Gauss, Riemann et d'autres allaient construire.

Sa preuve de l'infinité des nombres premiers par la divergence de la somme des inverses des nombres premiers — établissant que la série 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... diverge — fut l'un des premiers résultats reliant les nombres premiers à l'analyse. La formule du produit d'Euler, qui exprime la fonction zêta de Riemann comme un produit infini sur les nombres premiers, fut l'intuition fondamentale qui relia les nombres premiers aux propriétés de la fonction zêta et conduisit finalement, à travers les travaux de Riemann un siècle plus tard, au problème non résolu le plus important des mathématiques actuelles — l'hypothèse de Riemann sur la localisation des zéros de la fonction zêta.

Son travail sur les nombres parfaits — les entiers égaux à la somme de leurs diviseurs propres, comme 6 = 1+2+3 — prouva que tous les nombres parfaits pairs ont la forme 2^(p-1)(2^p - 1), où 2^p - 1 est premier (un nombre premier de Mersenne, comme on dit). Ce résultat, combiné au théorème antérieur d'Euclide sur la suffisance de cette condition, caractérise complètement les nombres parfaits pairs. La question de l'existence de nombres parfaits impairs reste ouverte à ce jour.

Il prouva le théorème des deux carrés : un nombre premier peut s'écrire comme la somme de deux carrés si et seulement si il est égal à 2 ou laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 4. Ce beau théorème, à nouveau énoncé par Fermat sans preuve, nécessita vingt ans d'efforts à Euler pour être prouvé. La preuve qu'il trouva finalement utilisait une ingénieuse méthode de « descente infinie » — montrant que si un nombre premier avait la propriété, on pouvait l'utiliser pour construire un nombre premier plus petit avec la même propriété, et ainsi de suite jusqu'à un nombre premier suffisamment petit pour être vérifié directement.

La loi de réciprocité quadratique — l'un des théorèmes les plus beaux de la théorie des nombres, reliant la question de savoir si l'équation x² ? p (mod q) a des solutions à celle de savoir si x² ? q (mod p) en a — fut découverte empiriquement par Euler et