Euclides

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INTRODUCCIÓN

Pocas figuras en la larga historia del pensamiento humano han moldeado el panorama intelectual tan profundamente como Euclides de Alejandría, el antiguo matemático griego que floreció alrededor del año 300 a. C. y le dio al mundo uno de los libros más trascendentales jamás escritos. Su obra maestra, los Elementos, no es simplemente un libro de texto de geometría en el sentido moderno restringido; es un monumento imponente del razonamiento lógico, una exploración sistemática del espacio, el número y la naturaleza de la verdad matemática que estableció los estándares del argumento riguroso por más de dos milenios. En una época en que las superficies de escritura eran escasas, cuando el conocimiento se transmitía mediante laboriosas copias a mano, y cuando la propia idea de la demostración aún estaba siendo elaborada, Euclides logró organizar la sabiduría geométrica y aritmética acumulada del mundo griego antiguo en una única estructura deductiva conectada de manera continua que se enseñaría en escuelas desde Alejandría hasta Oxford, desde Bagdad hasta Boston, desde los días de los faraones ptolemaicos hasta la era de la revolución industrial.

El nombre de Euclides se ha vuelto tan inseparable de la geometría misma que muchas generaciones de estudiantes aprendieron a hablar de "hacer Euclides" como una forma abreviada de referirse a toda la empresa del razonamiento geométrico. Los navegantes trazaban sus rutas según los principios euclidianos, los arquitectos diseñaban catedrales y palacios con ellos, los ingenieros calculaban tensiones y esfuerzos a partir de ellos, y los filósofos utilizaban el método de Euclides como modelo de lo que debería ser una argumentación rigurosa. Thomas Hobbes encontró los Elementos y quedó tan impresionado por la fuerza de sus demostraciones que, según se cuenta, exclamó que era imposible que tales demostraciones pudieran estar equivocadas. Baruch Spinoza escribió su Ética al estilo de las proposiciones y demostraciones euclidianas, creyendo que las verdades éticas podían derivarse con la misma certeza que las geométricas. Isaac Newton organizó su Principia Mathematica siguiendo líneas euclidianas, presentando sus leyes del movimiento y la gravitación universal como teoremas que debían derivarse de definiciones y axiomas.

Lo que hace este legado aún más notable es que casi nada se conoce sobre el hombre mismo. Euclides no dejó ninguna autobiografía, ninguna carta, ninguna reflexión personal. El mundo antiguo produjo sorprendentemente poca información biográfica sobre él, y los escasos fragmentos que sobreviven fueron escritos siglos después de que vivió. No sabemos dónde nació, cuándo nació, cuándo murió, ni nada sobre su vida personal, sus maestros o su familia. Sabemos que trabajó en Alejandría, la deslumbrante capital del Egipto ptolemaico, y sabemos aproximadamente cuándo estuvo activo. Más allá de eso, Euclides existe para nosotros casi exclusivamente a través de sus matemáticas.

Este artículo es una exploración exhaustiva de lo que sabemos y lo que podemos inferir razonablemente sobre Euclides de Alejandría: el mundo intelectual en el que vivió y trabajó, la gran compilación que son los Elementos y su contenido libro por libro, el método axiomático que perfeccionó y su influencia duradera en el pensamiento occidental, sus otros tratados supervivientes, su lugar en la historia de las matemáticas griegas, y el extraordinario recorrido de sus ideas a través de los eruditos árabes del mundo islámico medieval, a través de las imprentas renacentistas de Venecia, a través de la revolución no euclidiana del siglo XIX, y hacia las matemáticas de nuestra propia era. Al rastrear la vida y el legado de este antiguo matemático griego, nos encontramos con uno de los logros intelectuales más sostenidos y de mayor alcance en la historia de la civilización humana.

Lo que sabemos de la vida de Euclides

El historiador que se propone escribir una biografía de Euclides enfrenta un desafío peculiar: la vida del sujeto está casi completamente oculta a la vista. Los antiguos griegos tenían una viva tradición de escritura biográfica, produciendo relatos de poetas, filósofos, generales y estadistas con considerable detalle. Sin embargo, Euclides, que fue uno de los intelectos más influyentes que produjo el mundo antiguo, dejó prácticamente ningún rastro biográfico. Las obras sobreviven; el hombre ha desaparecido.

Nuestra fuente principal para lo poco que sabemos es el filósofo Proclo de Licia, que vivió aproximadamente del año 410 al 485 d. C., más de siete siglos después de la época del propio Euclides. En su Comentario al Primer Libro de los Elementos de Euclides, Proclo registró un breve relato sobre Euclides que se ha convertido en el fundamento de todos los intentos biográficos posteriores. Proclo nos dice que Euclides "reunió los Elementos, recopilando muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos de los de Teeteto, y también llevando a demostración irrefragable las cosas que habían sido demostradas solo de manera imprecisa por sus predecesores." Agrega que Euclides vino después de los primeros discípulos de Platón pero antes de la época de Eratóstenes y Arquímedes, situándolo en el tiempo del primer Ptolomeo. Proclo también registra dos famosas anécdotas que han sido repetidas a lo largo de los siglos.

La primera concierne al propio rey Ptolomeo I, quien le preguntó a Euclides si no existía un camino más corto para dominar la geometría que estudiar los Elementos. Se dice que Euclides respondió: "No hay camino real hacia la geometría." La frase se ha vuelto proverbial, con un significado que se extiende mucho más allá de la geometría para abarcar la naturaleza democrática del logro intelectual genuino: no hay atajos para la comprensión, ni privilegio de rango que exima a nadie del arduo trabajo del aprendizaje. Si el intercambio ocurrió realmente no podemos saberlo, pero tiene el sabor de un relato pedagógico bien elaborado que captura algo esencial sobre el enfoque de Euclides hacia las matemáticas. La segunda anécdota, relatada no por Proclo sino por el matemático del siglo IV Estobeo, involucra a un estudiante que preguntó qué ganaría con aprender geometría. Euclides supuestamente le dijo a su sirviente que le diera al estudiante una pequeña moneda, "ya que debe obtener ganancia de lo que aprende." Esto también puede ser apócrifo, pero ambas historias sugieren que Euclides era conocido en el mundo antiguo como un maestro de estándares inflexibles e ingenio seco.

Una fuente secundaria es el matemático Pappus de Alejandría, que escribió alrededor del año 320 d. C., y que describió a Euclides como "el más justo y bien dispuesto hacia todos los que podían en alguna medida hacer avanzar las matemáticas." Pappus proporciona una pista de una personalidad colaboradora y generosa bajo la austera superficie matemática. Otra breve referencia proviene del filósofo e historiador Apuleyo, que vivió en el siglo II d. C., quien menciona a Euclides pero añade poco al registro factual.

Lo que puede establecerse con razonable certeza es lo siguiente: Euclides estuvo activo en Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I Soter, que gobernó Egipto del 323 al 285 a. C. Esto sitúa el período principal de productividad de Euclides en el primer cuarto del siglo III a. C., aproximadamente alrededor del año 300 a. C., una fecha que es tradicional y ampliamente aceptada entre los historiadores de las matemáticas. Sus fechas de nacimiento y muerte son totalmente desconocidas. Las estimaciones varían ampliamente, con algunos eruditos sugiriendo que nació alrededor del 325 a. C. y murió alrededor del 265 a. C., pero estas son especulaciones fundadas basadas en el momento de su actividad documentada y en las esperanzas de vida típicas del período. La convención académica antigua de fecharlo como "fl. 300 a. C.", es decir, en pleno apogeo de su actividad alrededor del año 300 a. C., sigue siendo la formulación más defendible.

Si Euclides nació en Alejandría o llegó allí desde otro lugar es desconocido. El relato de Proclo sugiere que recibió su formación matemática en la tradición de la Academia de Platón en Atenas, y comúnmente se supone que Euclides o sus maestros estaban conectados a esa institución ateniense. La Academia había sido el centro de la actividad matemática en el mundo griego durante el siglo IV a. C., y muchos de los resultados que aparecen en los Elementos fueron desarrollados originalmente por matemáticos asociados a ella, incluidos Teeteto, Eudoxo de Cnido y Menaecmo. Euclides pudo haber estudiado allí antes de ser invitado a Alejandría, pero incluso esto es una inferencia más que un hecho establecido. También existe una confusión persistente en las fuentes antiguas entre Euclides de Alejandría y Euclides de Megara, un filósofo y contemporáneo de Sócrates que vivió unos cien años antes. Los eruditos europeos medievales a veces los confundían, una confusión que la erudición moderna ha resuelto hace tiempo.

A pesar de esta escasez de información personal, la evidencia interna de las obras de Euclides nos dice algo sobre el tipo de intelecto que era. Era, ante todo, un maestro de la organización y la síntesis lógica. Los Elementos no son principalmente una obra de descubrimiento original —Euclides era claro en que estaba elaborando y sistematizando el trabajo de matemáticos anteriores— pero es una obra de extraordinaria inteligencia arquitectónica. La habilidad requerida para organizar cientos de proposiciones en una secuencia deductiva coherente, para elegir exactamente los axiomas correctos al principio, para ordenar los resultados de modo que cada uno dependa solo de lo ya establecido, es inmensa, y Euclides la poseía en plena medida. También era, claramente, un maestro dotado, y sus otras obras muestran una gama de intereses matemáticos que se extiende desde la geometría pura hasta la óptica, la astronomía y la teoría de números. Si podemos conocer al hombre detrás de las matemáticas debe permanecer incierto, pero las propias matemáticas hablan de una mente de excepcional poder y disciplina.

Alejandría y la corte ptolemaica

Para comprender el mundo en el que Euclides vivió y trabajó, es necesario comprender la ciudad de Alejandría y la notable cultura intelectual que surgió alrededor de la corte ptolemaica en los años posteriores a la muerte de Alejandro Magno en el 323 a. C. Alejandría no era una ciudad antigua; era una creación nueva, fundada por el propio Alejandro en el 331 a. C. en el extremo occidental del delta del Nilo, en un lugar elegido por su puerto natural y su posición estratégica entre el mundo mediterráneo y el corazón de Egipto. Cuando Alejandro murió sin un heredero en edad de gobernar, sus generales se dividieron su enorme imperio entre ellos. Egipto cayó en manos de Ptolomeo hijo de Lago, uno de los comandantes de mayor confianza de Alejandro, quien estableció la dinastía conocida como los Ptolomeos y gobernó Egipto como Ptolomeo I Soter —Ptolomeo el Salvador— hasta su muerte alrededor del año 283 a. C.

Ptolomeo I era un gobernante de inusual ambición cultural. Comprendió que una nueva dinastía, incluso una militarmente fuerte, necesitaba legitimarse ante los ojos de las diversas poblaciones que gobernaba —griegos, macedonios, egipcios y judíos— y eligió hacerlo en parte mediante un generoso programa de patrocinio del aprendizaje, la religión y las artes. Fundó, o comenzó a fundar, dos extraordinarias instituciones que convertirían a Alejandría en la capital intelectual del mundo antiguo durante siglos: la Biblioteca de Alejandría, que aspiraba a recopilar todos los libros del mundo, y el Mouseion, o Museo, una institución de investigación adjunta a la Biblioteca donde los eruditos de todo el mundo griego podían vivir, trabajar y enseñar a expensas del rey, libres de las presiones económicas ordinarias de la vida académica.

El Mouseion estaba modelado en parte en las escuelas filosóficas de Atenas —la Academia de Platón y el Liceo de Aristóteles— pero operaba a una escala mucho mayor, con financiamiento real, instalaciones permanentes, comidas comunes y un salario para sus eruditos. Es aquí, en este invernadero del patronazgo ptolemaico, donde se cree que Euclides vivió y trabajó. Proclo nos dice que Euclides estuvo activo "en tiempos del primer Ptolomeo," y la anécdota sobre Ptolomeo I pidiendo un atajo a la geometría sitúa a Euclides en la corte. Es natural suponer que Euclides estaba entre los primeros eruditos atraídos a Alejandría por el patronazgo ptolemaico, posiblemente invitado por Demetrio de Falero, el estadista e intelectual ateniense que sirvió a Ptolomeo I como asesor y al que se le atribuye la iniciación del gran proyecto de recopilación de libros.

La Biblioteca de Alejandría se volvió legendaria. Las fuentes antiguas informan que aspiraba a poseer una copia de cada libro escrito en griego, y se decía que los agentes de Ptolomeo abordaban cada barco que entraba al puerto de Alejandría y confiscaban los libros que encontraban a bordo, haciendo copias y devolviendo las copias mientras conservaban los originales. Si esta historia es perfectamente precisa importa menos que lo que sugiere sobre el ambiente: aquí había una ciudad y una corte donde la recopilación y el avance del conocimiento eran asuntos de política de Estado, donde los eruditos eran valorados y apoyados, y donde el aprendizaje acumulado del mundo griego estaba siendo reunido y organizado. Para un matemático con los dones y el temperamento organizativo de Euclides, este era un entorno ideal.

La propia Alejandría era una maravilla del mundo antiguo, trazada en un plan de cuadrícula a lo largo de la costa mediterránea, con amplias avenidas, magníficos edificios públicos y el famoso faro de Pharos —una de las Siete Maravillas del Mundo Antiguo— que protegía su doble puerto. Era una ciudad cosmopolita desde sus primeros días, que atraía a comerciantes, eruditos, filósofos y artesanos de todo el Mediterráneo y el Cercano Oriente. La cultura greco-egipcia bilingüe que fomentó era diferente a cualquier cosa que hubiera existido antes. El griego siguió siendo el idioma del aprendizaje y la administración, pero las tradiciones religiosas, las convenciones artísticas y las prácticas intelectuales egipcias se mezclaron con las helénicas de maneras que produjeron una cultura rica y distintiva.

En este entorno, las matemáticas florecieron. El Mouseion atraía no solo a matemáticos puros sino también a astrónomos, médicos, ingenieros, poetas y filósofos, y la fertilización cruzada entre disciplinas fue una de las grandes fuentes de vitalidad intelectual en el período ptolemaico temprano. La propia gama de intereses de Euclides —escribió sobre óptica y astronomía además de sobre matemáticas puras— refleja esta atmósfera interdisciplinaria. Su obra sobre la Óptica, por ejemplo, aplica el razonamiento geométrico al comportamiento de los rayos visuales, un problema que se situaba en la intersección de las matemáticas y la filosofía natural. Su Fenómenos aplica la geometría esférica a preguntas de astronomía. La corte ptolemaica no solo le proporcionó a Euclides un lugar donde trabajar; le proporcionó una cultura en la que la conexión entre las matemáticas abstractas y la comprensión del mundo natural era tomada en serio y perseguida con respaldo real.

La posición de Alejandría en la desembocadura del Nilo le dio un acceso incomparable a las rutas comerciales del antiguo Mediterráneo y el Cercano Oriente. Barcos de Grecia, Roma, Cartago, Fenicia, los puertos del Mar Negro, Arabia e India pasaban por su puerto, trayendo bienes, ideas y eruditos de cada rincón del mundo conocido. La población de la ciudad fue estimada por algunas fuentes antiguas en cerca de medio millón en su apogeo, convirtiéndola en una de las ciudades más grandes del mundo antiguo. Era una ciudad de extraordinaria complejidad cultural, en la que las comunidades griega, judía, egipcia y muchas otras mantenían sus identidades distintas mientras participaban en una cultura urbana compartida. La vida intelectual de semejante ciudad era inevitablemente enriquecida por esta diversidad: el Mouseion no era simplemente una institución griega trasplantada a suelo extranjero, sino genuinamente cosmopolita, que se nutrría de múltiples tradiciones intelectuales y servía a una audiencia de diversos orígenes e intereses académicos.

El Egipto en el que trabajó Euclides también era heredero de una tradición matemática muy antigua. Los escribas egipcios habían estado realizando cálculos de superficie de tierra, volumen de grano y dimensiones de pirámides durante milenios antes de que Euclides naciera. El Papiro Matemático Rhind y el Papiro Matemático de Moscú, que son anteriores a Euclides en más de mil años, muestran a matemáticos egipcios trabajando con problemas geométricos prácticos de manera metódica aunque no teórica. El enfoque de Euclides era completamente diferente —abstracto, teórico, basado en la demostración— pero trabajaba en una tierra que siempre había valorado el cálculo práctico, y su hogar institucional en la Biblioteca y el Mouseion le daba acceso a tradiciones escritas de Egipto, Babilonia y el mundo griego en general. Los Elementos eran en cierto sentido la culminación de toda esta tradición, el punto en el que el conocimiento computacional práctico del mundo del Cercano Oriente, la geometría teórica de los matemáticos griegos y el rigor lógico de la tradición filosófica platónica se unieron en una sola obra definitiva.

Los Elementos: estructura y visión general

Los Elementos de Euclides —Stoicheia en griego— son una colección de trece libros que cubren una vasta gama de matemáticas, desde los principios más elementales de la geometría plana hasta la teoría de números, la teoría de las proporciones y la geometría sólida, culminando en la construcción y clasificación de los cinco poliedros regulares conocidos como los sólidos platónicos. Es a la vez un libro de texto, un compendio de investigación y una declaración filosófica sobre la naturaleza del conocimiento matemático y cómo debe organizarse.

El genio de los Elementos no radica en ningún teorema individual, la mayoría de los cuales eran conocidos antes de Euclides, sino en la arquitectura lógica general. Euclides comienza cada libro, y especialmente el gran Libro I, estableciendo fundamentos explícitos: definiciones que dicen qué son los objetos matemáticos, postulados que son las propiedades básicas asumidas de estos objetos, y nociones comunes que son principios lógicos generales aplicables en cualquier dominio. A partir de estos fundamentos, deriva cada resultado posterior únicamente mediante argumento lógico, dejando en claro en cada paso de qué resultados anteriores depende la nueva proposición. El resultado es una magnífica estructura jerárquica en la que los resultados posteriores se construyen sobre los anteriores, y cada conexión en la cadena lógica es visible.

Este enfoque —lo que ahora llamamos el método axiomático— no fue completamente original de Euclides. Matemáticos griegos anteriores habían utilizado la demostración y la argumentación lógica, y habían existido colecciones o libros de texto de geometría anteriores a los Elementos de Euclides. Proclo menciona varios escritores anteriores de Elementos, incluido Hipócrates de Quíos en el siglo V a. C. Pero el logro de Euclides fue producir una síntesis de tal alcance, rigor y completitud lógica que todas las obras anteriores se volvieron superfluas y eventualmente se perdieron, con sus contenidos absorbidos en los Elementos. El historiador de las matemáticas D. E. Smith observó que los Elementos es el libro de texto más exitoso jamás escrito, y este juicio se sostiene: los Elementos fue utilizado como texto de enseñanza estándar, con solo modificaciones menores, durante más de dos mil años, desde su composición alrededor del 300 a. C. hasta bien entrado el siglo XIX.

Los trece libros de los Elementos se dividen naturalmente en tres grandes secciones. Los Libros I al VI tratan la geometría plana —figuras en dos dimensiones, incluidos triángulos, rectángulos, círculos y las relaciones entre ellos. Los Libros VII al IX abordan la aritmética y la teoría elemental de números, explorando las propiedades de los números enteros, los números primos y las razones. El Libro X se sitúa un poco aparte como una investigación notable y elaborada de las cantidades irracionales —magnitudes que no pueden expresarse como razones de números enteros. Los Libros XI al XIII tratan la geometría sólida, la geometría del espacio tridimensional, culminando en la demostración de que existen exactamente cinco poliedros regulares.

Euclides se apoyó en el trabajo de muchos predecesores. La teoría de la proporción en el Libro V se debe en gran medida a Eudoxo de Cnido, quien la desarrolló como una forma de manejar razones de magnitudes que podrían ser inconmensurables. El tratamiento de las magnitudes irracionales en el Libro X está estrechamente relacionado con el trabajo realizado por Teeteto, el matemático inmortalizado en el diálogo de Platón del mismo nombre, a quien se le atribuye la clasificación de las irracionales. La teoría de números de los Libros VII–IX se apoya en una larga tradición de investigación aritmética griega. Lo que Euclides aportó no fue originalidad en el sentido de descubrir nuevos teoremas, sino originalidad del más alto orden organizativo: eligió los puntos de partida correctos, ordenó los teoremas en el orden correcto y proporcionó demostraciones rigurosas para resultados que anteriormente solo habían sido demostrados de manera imprecisa o incompleta.

Los Elementos no son, a pesar del nombre, una obra únicamente sobre geometría en el sentido moderno restringido. Se describen mejor como un tratamiento sistemático del conocimiento matemático considerado más fundamental por los griegos cultos del período. El concepto griego antiguo de las matemáticas era considerablemente más amplio de lo que sugieren nuestras fronteras disciplinares modernas, abarcando lo que hoy llamaríamos geometría, teoría de números y aspectos de lo que más tarde se llamaría álgebra. Los Elementos de Euclides cubren todas estas áreas, unificadas por un único método deductivo y un único conjunto de supuestos fundamentales.

Libro I: fundamentos y el postulado de las paralelas

El Libro I es la parte más famosa y más estudiada de los Elementos, y con buena razón. Es aquí donde Euclides establece los fundamentos lógicos sobre los que descansa todo lo demás, y aquí donde demuestra algunos de los resultados más célebres en la historia de las matemáticas, incluido el teorema universalmente conocido hoy como el teorema de Pitágoras. La estructura del Libro I ha sido estudiada, admirada, criticada e imitada más que cualquier otra pieza de escritura matemática en la tradición occidental.

Euclides abre el Libro I con veintitrés definiciones. Estas van desde las más elementales —"Un punto es lo que no tiene partes," "Una línea es una longitud sin anchura"— hasta construcciones más complejas. Algunas de las definiciones resultan desconcertantes o incompletas para los lectores modernos; por ejemplo, la definición de una línea recta como "una línea que yace uniformemente con los puntos sobre sí misma" no es tan precisa como desearía un matemático moderno. Pero estas definiciones iniciales cumplen un propósito importante: introducen el vocabulario que se utilizará a lo largo del libro y dejan en claro qué tipos de objetos se están estudiando. Si tienen éxito como definiciones lógicas rigurosas es una pregunta que plantearían matemáticos posteriores, pero como forma de orientar al lector en la materia son notablemente efectivas.

Tras las definiciones vienen cinco postulados. Estas son las cinco oraciones más famosas de las matemáticas. Los primeros tres son relativamente incontrovertidos, estableciendo que es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto, que cualquier línea recta finita puede extenderse continuamente en línea recta, y que se puede trazar un círculo con cualquier centro y cualquier radio. El cuarto postulado establece que todos los ángulos rectos son iguales entre sí —una afirmación que funciona como una especie de aserción sobre la uniformidad del plano. Pero es el quinto postulado el que ha generado más controversia matemática que cualquier otra afirmación en toda la historia de la materia.

El quinto postulado establece: si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarán en el lado en que los ángulos son menores que dos ángulos rectos. Esta es una afirmación sobre lo que ocurre con dos líneas cortadas por una transversal cuando los ángulos formados no son iguales a dos ángulos rectos. En la forma ahora más familiar, a veces llamada el axioma de Playfair, es equivalente a la afirmación de que por un punto dado fuera de una línea dada, se puede trazar exactamente una línea paralela a la línea dada. Este es el famoso postulado de las paralelas.

Lo que llamó la atención de los lectores griegos y de los matemáticos posteriores sobre el quinto postulado es su complejidad. Los otros cuatro postulados son breves e intuitivamente obvios; el quinto es largo, condicional y requiere un tipo de intuición espacial que es más difícil de precisar. Casi inmediatamente después de Euclides, los matemáticos griegos comenzaron a sospechar que el postulado de las paralelas no era verdaderamente independiente —que debería ser demostrable a partir de los otros cuatro. Durante dos mil años, las mentes matemáticas más brillantes del mundo intentarían demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros axiomas, y cada intento sería finalmente revelado como defectuoso. Esta larga historia de fracasos llevaría eventualmente, en el siglo XIX, a uno de los descubrimientos intelectuales más revolucionarios de la historia: la comprensión de que existen geometrías consistentes en las que el postulado de las paralelas es falso.

Después de los cinco postulados, Euclides enuncia cinco nociones comunes. Estas son principios lógicos generales no específicos de la geometría, como "Las cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre sí" y "El todo es mayor que la parte." Estas nociones comunes se distinguen de los postulados en que se aplican universalmente, no solo a las figuras geométricas.

Con estas veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco nociones comunes establecidos, Euclides procede a derivar cuarenta y siete proposiciones. Las primeras proposiciones son construcciones —cómo construir un triángulo equilátero sobre un segmento de línea dado, cómo bisectar un ángulo, cómo trazar una perpendicular. A estas les sigue una serie de teoremas sobre triángulos y las condiciones bajo las cuales los triángulos son congruentes. La parte media del libro trata sobre líneas paralelas y paralelogramos. Y el clímax del Libro I es la Proposición 47, que demuestra lo que llamamos el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados.

La demostración de Euclides del teorema de Pitágoras es una de las más admiradas de toda la matemática. Procede construyendo cuadrados sobre cada lado de un triángulo rectángulo, trazando una perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, y demostrando luego mediante una serie de pasos que involucran áreas de triángulos y paralelogramos que el cuadrado sobre la hipotenusa está dividido en dos rectángulos iguales en área a los cuadrados sobre los respectivos catetos. La demostración es rigurosa, elegante y completamente autocontenida dentro del marco de las primeras cuarenta y seis proposiciones. Muestra el genio organizativo de Euclides en su máxima expresión: cuando llegamos a la Proposición 47, cada herramienta necesaria para la demostración ya ha sido establecida. Nada se asume; todo se gana.

La proposición final del Libro I, la Proposición 48, es la recíproca: si el cuadrado sobre un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto al primer lado es un ángulo recto. Esta elegante simetría —teorema seguido inmediatamente por su recíproco— es un toque característico que aparece a lo largo de los Elementos.

El Libro I también es notable por el cuidado con