Euclide

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INTRODUCTION

Peu de figures dans la longue histoire de la pensée humaine ont façonné le paysage intellectuel aussi profondément qu'Euclide d'Alexandrie, le mathématicien grec ancien qui florissait vers 300 avant notre ère et qui a offert au monde l'un des livres les plus importants jamais écrits. Son œuvre maîtresse, les Éléments, n'est pas simplement un manuel de géométrie au sens moderne et étroit du terme ; c'est un monument imposant du raisonnement logique, une exploration systématique de l'espace, du nombre et de la nature de la vérité mathématique qui a établi les normes de l'argumentation rigoureuse pendant plus de deux millénaires. À une époque où les supports d'écriture étaient rares, où le savoir se transmettait par des copies manuscrites laborieuses, et où l'idée même de preuve était encore en cours d'élaboration, Euclide parvint à organiser la sagesse géométrique et arithmétique accumulée du monde grec ancien en une seule structure déductive parfaitement cohérente, qui serait enseignée dans les écoles d'Alexandrie à Oxford, de Bagdad à Boston, depuis l'époque des pharaons ptolémaïques jusqu'à l'ère de la révolution industrielle.

Le nom d'Euclide est devenu à ce point indissociable de la géométrie elle-même que des générations de siècles d'étudiants ont appris à parler de « faire de l'Euclide » comme d'un raccourci désignant l'ensemble de l'entreprise du raisonnement géométrique. Les navigateurs traçaient leurs routes selon les principes euclidiens, les architectes concevaient cathédrales et palais à l'aide de ces mêmes principes, les ingénieurs calculaient contraintes et tensions grâce à eux, et les philosophes utilisaient la méthode d'Euclide comme modèle de ce à quoi devait ressembler une argumentation rigoureuse. Thomas Hobbes découvrit les Éléments et fut si frappé par la force de leurs démonstrations qu'il se serait écrié qu'il était impossible que de telles démonstrations fussent erronées. Baruch Spinoza rédigea son Éthique dans le style des propositions et des preuves euclidiennes, convaincu que les vérités éthiques pouvaient être déduites avec la même certitude que les vérités géométriques. Isaac Newton organisa ses Principia Mathematica selon les lignes euclidiennes, présentant ses lois du mouvement et de la gravitation universelle comme des théorèmes à dériver de définitions et d'axiomes.

Ce qui rend cet héritage encore plus remarquable, c'est que l'on ne sait presque rien de l'homme lui-même. Euclide n'a laissé ni autobiographie, ni lettres, ni réflexions personnelles. Le monde antique a produit étonnamment peu d'informations biographiques à son sujet, et les rares fragments qui ont survécu ont été rédigés des siècles après sa mort. Nous ne savons pas où il est né, quand il est né, quand il est mort, ni rien sur sa vie personnelle, ses maîtres ou sa famille. Nous savons qu'il a travaillé à Alexandrie, la capitale resplendissante de l'Égypte ptolémaïque, et nous savons approximativement à quelle époque il était actif. Au-delà de cela, Euclide n'existe pour nous presque entièrement qu'à travers ses mathématiques.

Cet article est une exploration complète de ce que nous savons et de ce que nous pouvons raisonnablement inférer concernant Euclide d'Alexandrie : le monde intellectuel dans lequel il a vécu et travaillé, la grande compilation que constituent les Éléments et leur contenu livre par livre, la méthode axiomatique qu'il a perfectionnée et son influence durable sur la pensée occidentale, ses autres traités qui nous sont parvenus, sa place dans l'histoire des mathématiques grecques, et le voyage extraordinaire de ses idées à travers les savants arabes du monde islamique médiéval, les imprimeries de la Renaissance à Venise, la révolution non euclidienne du dix-neuvième siècle, et jusqu'aux mathématiques de notre époque. En retraçant la vie et l'héritage de ce mathématicien grec ancien, nous rencontrons l'une des réalisations intellectuelles les plus soutenues et les plus profondes de l'histoire de la civilisation humaine.

Ce que nous savons de la vie d'Euclide

L'historien qui entreprend d'écrire une biographie d'Euclide se heurte à un défi singulier : la vie du sujet est presque entièrement dissimulée. Les Grecs anciens avaient une tradition biographique vivante, produisant des récits détaillés sur des poètes, des philosophes, des généraux et des hommes d'État. Pourtant, Euclide, qui fut l'un des esprits les plus influents que le monde antique ait produits, n'a laissé pratiquement aucune trace biographique. Les œuvres ont survécu ; l'homme a disparu.

Notre source principale pour le peu que nous savons est le philosophe Proclus de Lycie, qui vécut d'environ 410 à 485 de notre ère — soit plus de sept siècles après l'époque d'Euclide lui-même. Dans son Commentaire sur le premier livre des Éléments d'Euclide, Proclus a consigné un bref récit d'Euclide qui est devenu le fondement de toutes les tentatives biographiques ultérieures. Proclus nous dit qu'Euclide « compila les Éléments, rassemblant de nombreux théorèmes d'Eudoxe, perfectionnant de nombreux théorèmes de Théétète, et apportant également une démonstration irréfragable aux choses qui n'avaient été que loosement démontrées par ses prédécesseurs ». Il ajoute qu'Euclide vint après les premiers élèves de Platon mais avant l'époque d'Ératosthène et d'Archimède, le situant au temps du premier Ptolémée. Proclus consigne également deux anecdotes célèbres qui ont été répétées à travers les âges.

La première concerne le roi Ptolémée I lui-même, qui demanda à Euclide s'il n'existait pas un chemin plus court pour maîtriser la géométrie que de travailler à travers les Éléments. Euclide aurait répondu : « Il n'y a pas de voie royale vers la géométrie. » La formule est devenue proverbiale, son sens s'étendant bien au-delà de la géométrie pour englober la nature démocratique de la véritable réalisation intellectuelle : il n'existe pas de raccourcis vers la compréhension, aucun privilège de rang qui épargne à quiconque le dur labeur de l'apprentissage. Nous ne pouvons pas savoir si cet échange a jamais eu lieu, mais il a la saveur d'un récit pédagogique bien forgé qui capture quelque chose d'essentiel dans l'approche d'Euclide des mathématiques. La seconde anecdote, rapportée non par Proclus mais par le mathématicien du quatrième siècle Stobée, concerne un élève qui demanda ce qu'il gagnerait à apprendre la géométrie. Euclide aurait ordonné à son serviteur de donner à l'élève une petite pièce de monnaie, « puisqu'il doit tirer profit de ce qu'il apprend ». Cela aussi est peut-être apocryphe, mais les deux histoires suggèrent qu'Euclide était connu dans le monde antique comme un enseignant aux exigences inflexibles et à l'humour pince-sans-rire.

Une source secondaire est le mathématicien Pappus d'Alexandrie, qui écrivit vers 320 de notre ère et qui décrivit Euclide comme « le plus juste et le mieux disposé envers tous ceux qui étaient capables, dans quelque mesure que ce soit, de faire avancer les mathématiques ». Pappus laisse entrevoir une personnalité collaborative et généreuse sous la surface mathématique austère. Une autre brève référence provient du philosophe et historien Apulée, qui vécut au deuxième siècle de notre ère, mentionnant Euclide sans rien ajouter de substantiel au dossier factuel.

Ce qui peut être établi avec une certitude raisonnable est la suivante : Euclide était actif à Alexandrie sous le règne de Ptolémée I Soter, qui gouverna l'Égypte de 323 à 285 avant notre ère. Cela situe la principale période de productivité d'Euclide dans le premier quart du troisième siècle avant notre ère, vers 300 avant notre ère environ, une date traditionnelle et largement acceptée parmi les historiens des mathématiques. Ses dates de naissance et de mort sont entièrement inconnues. Les conjectures varient considérablement, certains érudits suggérant qu'il serait né vers 325 avant notre ère et mort vers 265 avant notre ère, mais ce ne sont là que des spéculations éclairées fondées sur la chronologie de son activité documentée et les espérances de vie typiques de la période. La convention universitaire traditionnelle qui le date « fl. 300 avant notre ère » — c'est-à-dire florissant, ou au sommet de son activité, vers 300 avant notre ère — demeure la formulation la plus défendable.

Que ce soit à Alexandrie qu'Euclide soit né ou qu'il y soit venu d'ailleurs est inconnu. Le récit de Proclus suggère qu'il reçut sa formation mathématique dans la tradition de l'Académie de Platon à Athènes, et il est généralement supposé qu'Euclide ou ses maîtres étaient liés à cette institution athénienne. L'Académie avait été le centre de l'activité mathématique dans le monde grec au quatrième siècle avant notre ère, et de nombreux résultats qui figurent dans les Éléments furent initialement développés par des mathématiciens qui lui étaient associés, notamment Théétète, Eudoxe de Cnide et Ménaechme. Euclide y aurait peut-être étudié avant d'être invité à Alexandrie, mais même cela relève de l'inférence plutôt que du fait établi. Il existe également une confusion persistante dans les sources anciennes entre Euclide d'Alexandrie et Euclide de Mégare, un philosophe et contemporain de Socrate qui vécut quelque cent ans plus tôt. Les érudits européens médiévaux confondaient parfois les deux, une confusion que la recherche moderne a depuis longtemps résolue.

En dépit de cette rareté d'informations personnelles, les témoignages internes des œuvres d'Euclide nous révèlent quelque chose sur le type d'intellect qu'il était. Il était, avant tout, un maître de l'organisation et de la synthèse logique. Les Éléments ne constituent pas principalement une œuvre de découverte originale — Euclide précisait clairement qu'il s'appuyait sur le travail de mathématiciens antérieurs et le systématisait — mais c'est une œuvre d'une intelligence architecturale extraordinaire. La compétence requise pour organiser des centaines de propositions en une séquence déductive cohérente, pour choisir exactement les bons axiomes au départ, pour ordonner les résultats de façon que chacun ne dépende que de ce qui a déjà été établi, est immense, et Euclide la possédait pleinement. Il était également, de toute évidence, un professeur doué, et ses autres œuvres témoignent d'un éventail d'intérêts mathématiques s'étendant de la géométrie pure à l'optique, à l'astronomie et à la théorie des nombres. Que nous puissions connaître l'homme derrière les mathématiques doit demeurer incertain, mais les mathématiques elles-mêmes témoignent d'un esprit d'une puissance et d'une discipline exceptionnelles.

Alexandrie et la cour ptolémaïque

Pour comprendre le monde dans lequel Euclide a vécu et travaillé, il est nécessaire de comprendre la ville d'Alexandrie et la remarquable culture intellectuelle qui s'est développée autour de la cour ptolémaïque dans les années suivant la mort d'Alexandre le Grand en 323 avant notre ère. Alexandrie n'était pas une ville ancienne ; c'était une création nouvelle, fondée par Alexandre lui-même en 331 avant notre ère sur la bordure occidentale du delta du Nil, en un site choisi pour son port naturel et sa position stratégique entre le monde méditerranéen et le cœur de l'Égypte. Quand Alexandre mourut sans héritier en âge de gouverner, ses généraux se partagèrent son immense empire. L'Égypte échut à Ptolémée fils de Lagos, l'un des commandants les plus proches d'Alexandre, qui établit la dynastie connue sous le nom des Ptolémées et gouverna l'Égypte en tant que Ptolémée I Soter — Ptolémée le Sauveur — jusqu'à sa mort vers 283 avant notre ère.

Ptolémée I était un souverain d'une ambition culturelle peu commune. Il comprenait qu'une nouvelle dynastie, même militairement puissante, avait besoin de se légitimer aux yeux des populations diverses qu'elle gouvernait — Grecs, Macédoniens, Égyptiens et Juifs — et il choisit de le faire en partie par un programme fastueux de mécénat en faveur du savoir, de la religion et des arts. Il fonda, ou commença de fonder, deux institutions extraordinaires qui feraient d'Alexandrie la capitale intellectuelle du monde antique pendant des siècles : la Bibliothèque d'Alexandrie, qui visait à rassembler tous les livres du monde, et le Mouseion, ou Musée, un établissement de recherche rattaché à la Bibliothèque où des savants de tout le monde grec pouvaient vivre, travailler et enseigner aux frais du roi, libérés des pressions économiques ordinaires de la vie académique.

Le Mouseion était modelé en partie sur les écoles philosophiques d'Athènes — l'Académie de Platon et le Lycée d'Aristote — mais fonctionnait à une échelle bien plus grande, avec un financement royal, des installations permanentes, une restauration collective et un salaire pour ses savants. C'est ici, dans cette serre du mécénat ptolémaïque, qu'Euclide est supposé avoir vécu et travaillé. Proclus nous dit qu'Euclide était actif « du temps du premier Ptolémée », et l'anecdote sur Ptolémée I demandant un raccourci vers la géométrie situe Euclide à la cour. Il est naturel de supposer qu'Euclide faisait partie des premiers savants attirés à Alexandrie par le mécénat ptolémaïque, peut-être invité par Démétrius de Phalère, l'homme d'État et intellectuel athénien qui servit Ptolémée I en tant que conseiller et à qui l'on attribue l'initiative du grand projet de collecte de livres.

La Bibliothèque d'Alexandrie devint légendaire. Les sources anciennes rapportent qu'elle visait à posséder un exemplaire de chaque livre écrit en grec, et les agents de Ptolémée auraient monté à bord de chaque navire entrant dans le port d'Alexandrie pour confisquer les livres qui s'y trouvaient, faisant établir des copies et rendant les copies tout en conservant les originaux. Que cette histoire soit parfaitement exacte importe moins que ce qu'elle suggère sur l'atmosphère qui régnait : voici une ville et une cour où la collecte et l'avancement du savoir relevaient de la politique d'État, où les savants étaient valorisés et soutenus, et où le savoir accumulé du monde grec était rassemblé et organisé. Pour un mathématicien aux dons et au tempérament organisateur d'Euclide, c'était un environnement idéal.

Alexandrie elle-même était une merveille du monde antique, tracée selon un plan en grille le long de la côte méditerranéenne, avec de larges boulevards, de magnifiques édifices publics, et le célèbre phare de Pharos — l'une des Sept Merveilles du monde antique — gardant son double port. C'était une ville cosmopolite dès ses premiers jours, attirant marchands, savants, philosophes et artisans de tout le pourtour méditerranéen et du Proche-Orient. La culture bilingue gréco-égyptienne qu'elle favorisa était sans précédent. Le grec demeura la langue du savoir et de l'administration, mais les traditions religieuses égyptiennes, les conventions artistiques et les pratiques intellectuelles se mêlèrent aux pratiques helléniques de façons qui produisirent une culture riche et distinctive.

Dans cet environnement, les mathématiques prospérèrent. Le Mouseion attira non seulement des mathématiciens purs mais aussi des astronomes, des médecins, des ingénieurs, des poètes et des philosophes, et la fécondation croisée entre les disciplines fut l'une des grandes sources de vitalité intellectuelle de la première période ptolémaïque. L'éventail des propres intérêts d'Euclide — il écrivit sur l'optique et l'astronomie aussi bien que sur les mathématiques pures — reflète cette atmosphère interdisciplinaire. Son travail sur l'Optique, par exemple, applique le raisonnement géométrique au comportement des rayons visuels, un problème qui se situait à l'intersection des mathématiques et de la philosophie naturelle. Ses Phénomènes appliquent la géométrie sphérique à des questions d'astronomie. La cour ptolémaïque ne fournissait pas simplement à Euclide un lieu de travail ; elle lui offrait une culture dans laquelle le lien entre les mathématiques abstraites et la compréhension du monde naturel était pris au sérieux et poursuivi avec l'appui royal.

La position d'Alexandrie à l'embouchure du Nil lui donnait un accès sans égal aux routes commerciales de la Méditerranée antique et du Proche-Orient. Des navires de Grèce, de Rome, de Carthage, de Phénicie, des ports de la mer Noire, d'Arabie et d'Inde passaient par son port, apportant marchandises, idées et savants de tous les coins du monde connu. La population de la ville était estimée par certaines sources anciennes à près d'un demi-million au moment de son apogée, ce qui en faisait l'une des plus grandes villes du monde antique. C'était une ville d'une complexité culturelle extraordinaire, dans laquelle les communautés grecque, juive, égyptienne et de nombreuses autres maintenaient leurs identités distinctes tout en participant à une culture urbaine partagée. La vie intellectuelle d'une telle ville était inévitablement enrichie par cette diversité : le Mouseion n'était pas simplement une institution grecque transplantée sur un sol étranger, mais une institution véritablement cosmopolite, puisant dans de multiples traditions intellectuelles et servant un public aux origines et aux intérêts savants divers.

L'Égypte dans laquelle Euclide travaillait était également héritière d'une très ancienne tradition mathématique. Les scribes égyptiens effectuaient des calculs de superficie de terres, de volume de grains et de dimensions de pyramides depuis des millénaires avant la naissance d'Euclide. Le Papyrus mathématique de Rhind et le Papyrus mathématique de Moscou, qui précèdent Euclide de plus de mille ans, montrent des mathématiciens égyptiens travaillant sur des problèmes géométriques pratiques d'une manière méthodique, bien que non théorique. L'approche d'Euclide était entièrement différente — abstraite, théorique, fondée sur la preuve — mais il travaillait dans un pays qui avait toujours valorisé le calcul pratique, et sa demeure institutionnelle à la Bibliothèque et au Mouseion lui donnait accès aux traditions écrites d'Égypte, de Babylone et du monde grec au sens large. Les Éléments constituaient en un sens la culmination de toute cette tradition, le point où la connaissance computationnelle pratique du monde proche-oriental, la géométrie théorique des mathématiciens grecs et la rigueur logique de la tradition philosophique platonicienne se rejoignirent en une seule œuvre définitive.

Les Éléments : structure et présentation générale

Les Éléments d'Euclide — Stoicheia en grec — sont un ensemble de treize livres couvrant un vaste domaine des mathématiques, des principes les plus élémentaires de la géométrie plane à la théorie des nombres, à la théorie des proportions et à la géométrie solide, culminant dans la construction et la classification des cinq polyèdres réguliers connus sous le nom de solides de Platon. C'est à la fois un manuel, un compendium de recherche et un manifeste philosophique sur la nature de la connaissance mathématique et sur la façon dont elle doit être organisée.

Le génie des Éléments ne réside pas dans un théorème individuel, dont la plupart étaient connus avant Euclide, mais dans l'architecture logique d'ensemble. Euclide commence chaque livre, et surtout le grand Livre I, en posant des fondements explicites : des définitions qui indiquent ce que sont les objets mathématiques, des postulats qui constituent les propriétés fondamentales supposées de ces objets, et des notions communes qui sont des principes logiques généraux applicables dans tout domaine. À partir de ces fondements, il dérive chaque résultat ultérieur par la seule argumentation logique, en précisant à chaque étape de quels résultats antérieurs la nouvelle proposition dépend. Le résultat est une magnifique structure hiérarchique dans laquelle les résultats ultérieurs sont construits sur les résultats antérieurs, et chaque connexion dans la chaîne logique est visible.

Cette approche — ce que nous appelons aujourd'hui la méthode axiomatique — n'était pas entièrement originale chez Euclide. Les mathématiciens grecs antérieurs avaient utilisé la preuve et l'argumentation logique, et il avait existé des compilations ou des manuels de géométrie avant l'époque d'Euclide. Proclus mentionne plusieurs auteurs antérieurs d'Éléments, dont Hippocrate de Chios au cinquième siècle avant notre ère. Mais la réalisation d'Euclide fut de produire une synthèse d'une telle portée, d'une telle rigueur et d'une telle complétude logique que toutes les œuvres antérieures devinrent superflues et furent finalement perdues, leur contenu étant absorbé dans les Éléments. L'historien des mathématiques D. E. Smith a observé que les Éléments constituent le manuel le plus réussi jamais écrit, et ce jugement tient : les Éléments furent utilisés comme texte d'enseignement standard, avec seulement des modifications mineures, pendant plus de deux mille ans, de leur composition vers 300 avant notre ère jusqu'au cœur du dix-neuvième siècle.

Les treize livres des Éléments se divisent naturellement en trois grandes sections. Les livres I à VI traitent de la géométrie plane — les figures en deux dimensions, incluant les triangles, les rectangles, les cercles et les relations entre eux. Les livres VII à IX abordent l'arithmétique et la théorie élémentaire des nombres, explorant les propriétés des nombres entiers, des nombres premiers et des rapports. Le Livre X constitue à lui seul une investigation remarquable et élaborée des quantités irrationnelles — les grandeurs qui ne peuvent être exprimées comme des rapports de nombres entiers. Les livres XI à XIII traitent de la géométrie solide, la géométrie de l'espace en trois dimensions, culminant dans la démonstration qu'il existe exactement cinq polyèdres réguliers.

Euclide s'est appuyé sur le travail de nombreux prédécesseurs. La théorie des proportions du Livre V est largement due à Eudoxe de Cnide, qui la développa comme un moyen de traiter les rapports de grandeurs qui pourraient être incommensurables. Le traitement des grandeurs irrationnelles dans le Livre X est étroitement lié aux travaux réalisés par Théétète, le mathématicien immortalisé dans le dialogue de Platon portant le même nom, auquel est attribuée la classification des irrationnels. La théorie des nombres des Livres VII à IX s'appuie sur une longue tradition d'investigation arithmétique grecque. Ce qu'Euclide apporta ne fut pas l'originalité au sens de la découverte de nouveaux théorèmes, mais une originalité du plus haut niveau organisationnel : il choisit les bons points de départ, arrangea les théorèmes dans le bon ordre et fournit des preuves rigoureuses pour des résultats qui n'avaient été auparavant que vaguement ou incomplètement démontrés.

Les Éléments ne constituent pas, malgré leur nom, une œuvre consacrée exclusivement à la géométrie dans le sens moderne étroit du terme. Il est préférable de les décrire comme un traitement systématique des connaissances mathématiques considérées comme les plus fondamentales par les Grecs cultivés de l'époque. Le concept grec ancien des mathématiques était considérablement plus large que nos frontières disciplinaires modernes ne le suggèrent, englobant ce que nous appellerions aujourd'hui géométrie, théorie des nombres et aspects de ce qui serait appelé plus tard algèbre. Les Éléments d'Euclide couvrent tous ces domaines, unifiés par une seule méthode déductive et un seul ensemble d'hypothèses fondamentales.

Livre I : fondements et le postulat des parallèles

Le Livre I est la partie la plus célèbre et la plus étudiée des Éléments, et ce pour de bonnes raisons. C'est ici qu'Euclide pose les fondements logiques sur lesquels tout le reste repose, et c'est ici qu'il démontre certains des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques, notamment le théorème universellement connu aujourd'hui sous le nom de théorème de Pythagore. La structure du Livre I a été étudiée, admirée, critiquée et imitée plus qu'aucun autre écrit mathématique dans la tradition occidentale.

Euclide ouvre le Livre I avec vingt-trois définitions. Celles-ci vont des plus élémentaires — « Un point est ce qui n'a aucune partie », « Une ligne est une longueur sans largeur » — à des constructions plus complexes. Certaines définitions déconcertent les lecteurs modernes ou leur semblent incomplètes ; par exemple, la définition d'une ligne droite comme « une ligne qui est disposée également par rapport aux points qui sont sur elle » n'est pas aussi précise qu'un mathématicien moderne le souhaiterait. Mais ces définitions initiales remplissent une fonction importante : elles introduisent le vocabulaire qui sera utilisé tout au long du livre et précisent quels types d'objets sont étudiés. Qu'elles réussissent en tant que définitions logiques rigoureuses est une question que les mathématiciens ultérieurs soulèveraient, mais comme moyen d'orienter le lecteur dans le sujet elles sont remarquablement efficaces.

Après les définitions viennent cinq postulats. Ce sont les cinq phrases les plus célèbres des mathématiques. Les trois premières sont relativement peu controversées, affirmant qu'il est possible de tracer une ligne droite d'un point quelconque à un autre point quelconque, que toute ligne droite finie peut être prolongée continûment en ligne droite, et qu'un cercle peut être tracé avec n'importe quel centre et n'importe quel rayon. Le quatrième postulat affirme que tous les angles droits sont égaux entre eux — une affirmation qui fonctionne comme une sorte d'assertion sur l'uniformité du plan. Mais c'est le cinquième postulat qui a suscité plus de controverses mathématiques qu'aucune autre affirmation dans toute l'histoire du sujet.

Le cinquième postulat énonce : si une droite, tombant sur deux droites, fait que les angles intérieurs du même côté sont inférieurs à deux angles droits, ces deux droites, si elles sont prolongées indéfiniment, se rencontreront du côté où les angles sont inférieurs aux deux droits. C'est une affirmation sur ce qui se passe lorsque deux droites sont coupées par une sécante et que les angles formés ne sont pas égaux à deux angles droits. Sous la forme désormais plus familière, parfois appelée axiome de Playfair, c'est l'équivalent de l'affirmation que par un point donné n'appartenant pas à une droite donnée, il est possible de tracer exactement une droite parallèle à la droite donnée. C'est le célèbre postulat des parallèles.

Ce qui frappa les lecteurs grecs et les mathématiciens ultérieurs dans le cinquième postulat, c'est sa complexité. Les quatre autres postulats sont brefs et intuitivement évidents ; le cinquième est long, conditionnel et requiert une sorte d'intuition spatiale plus difficile à cerner. Presque immédiatement après Euclide, les mathématiciens grecs commencèrent à soupçonner que le postulat des parallèles n'était pas véritablement indépendant — qu'il devrait pouvoir être démontré à partir des quatre autres. Pendant deux mille ans, les esprits mathématiques les plus brillants du monde tenteraient de prouver le postulat des parallèles à partir des autres axiomes, et chaque tentative serait finalement révélée comme défectueuse. Cette longue histoire d'échecs mènerait finalement, au dix-